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NO. 124
三人购物
甲乙丙三人上街购物，每个人都买了几件商品A和几件商品B（每个人A和B都买了），最后发现甲一共买了9件；乙一共买了13件；丙一共买了16件，恰好每人都花了595元。已知商品B比商品A贵，问商品B的单价是多少（单价不一定是整数）?
来源：@mark 花生
问题分析解答
（不定方程解法）设甲乙丙各买A商品x、y、z个，相应买B商品9-x、13-y、16-z个，再设AB单价各为a、b元，列出三个方程：
ax+b(9-x)=595
ay+b(13-y)=595
az+b(16-z)=595
消去a、b得不定方程：
3x-7y+4z=0
进一步得到
y=x+4(z-x)/7
由于甲乙丙三个购买的总价是一样，但是甲乙丙购买商品的件数依次增加，可看成是乙在甲的基础上减少商品B而增加商品A，丙同样，因此有：
x<y<z
9-x>13-y>16-z
0<x<9, 0<y<13, 0<z<16
所以z-x>7。考虑到x、y、z都为正整数，因此，z-x只能是14，且z=15，x=1，从而y=9。代入方程组可得a=35，b=70。（根据题友 @进的解法整理而成）
题友解答精选
◎题友 @陈红伟的解答：
先说答案70。因为买的东西个数只能是自然数，又有诸多条件限制，比如说甲买的A或者B的个数都不能超过9，所以只能小于等于8。又如知道B更贵，所以甲买的B的个数比其他人都多。代数法从最特殊的情况甲买了8个B和一个A，很容易顺势推倒出乙分别买了4个和9个，丙买了1个和15个，计算出B=2A，所以B=70。
方程组解法，设甲乙丙分别买了x, y, z 个B和9-x, 13-y, 和16-z个A，金额都是595列3个方程组，两两相减，得出7(x-y) = 4(x-z)，x,y,z都是自然数且都小于9，所以x=8, y=4, z=1, 同理可得B的单价是70。
◎题友 @卞爱华 的解答：
列方程当然也可以，但初等问题用组合分析法更锻炼思维。三个人不变的是总价，数量增多是因为少买了B而多买了A。可以想成是将部分B换成等量的A，形成的差价再全部买A。从甲到乙(乙到丙)时，差价可以买4(3)个A，所以一定量的差价正好可以买1个A，问题是确定几个差价。从甲到丙的差价可以买7个A，而甲总共才买了9个，所以1个差价可以买1个A。再考虑三个人两样都买了，故分别买了8,4,1个B，继而可知A,B单价分别为35,70元。该题本质上还是一个整数方程（丢番图方程）问题，出题者强调单价不一定是整数，是为了防止有人在总价上做文章。
◎题友 @白兔先生的解答：
其实这个题很简单，我用精炼的回答来献给大家。以9个为基础进行分析，总价不变的情况下变为13个，只能是B减少，A增加，且对应组合为1～5，2～6，3～7，4～8，……即后者比前者多4个(这样才能满足总数多4个)；然后从13个变为16个时，对应组合为x~x+3,那么(x+3)/x的值必定与前面某个组合对应的比值等，即(x+3)/x的值为5／1或者6/2或者8/4或者9/5……且x只能是整数(因为x是B增加的数目)，经计算只有当(x+3)/x的值为8/4时，x才为整数且为3，于是得出在13个变为16个时，B增加3个，A减少6个；在9个变为13个时，B增加4个，A增加5个，且B的单价是A的二倍。故得出9个的必定为B8个，A1个，这样才能满足后面B先后减少4个，3个共7个，且还有剩余。结合B=2A,解的B=70。
本期答案整理：子曰 编辑：子曰
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