如果你也用北师大版的数学课本，就会知道，九年级有一个知识点，叫做“垂径定理”，它的具体内容是这样的：“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧”。
过去两年，我都是跟着课本来教这个知识点，先让学生观察图形，从中归纳垂径定理，接着来个严格的证明，然后就是讲例题和做练习了。有了例题，学生还是可以依葫芦画瓢，把一些习题做出来，可是对于垂径定理，他们还是感觉不怎么理解。
今年教这个知识点，我换了一个做法，先抛出一个问题：“给你一个圆圆的西瓜，你有什么办法把它半切开？”学生动了脑筋，又讨论过之后，我引导他们思考一种方法，就是让刀经过西瓜的圆心，并且垂直西瓜的黑色条纹切下去，这样就能保证对半分。其中的原理，就是垂径定理了。讲了以后，学生感觉挺简单：“原来垂径定理就是切西瓜啊！”
用“切西瓜”来解释垂径定理，学生感觉很简单
同样的内容，对学生来讲，后一种教法会更加通俗易懂。为什么呢？原因就是我使用了一个策略：语义情境化。
什么是语义情境化？
语义是客观事物在人们头脑中反映的语言表现，比如“天空”、“歌曲”、“课堂”等等；而数学中的语义，指的就是数学的概念和命题，比如“三角形”、“勾股定理”等等。
语义情境化，就是在教学过程中，合理地引入或创设一些场景，帮助学生理解语义。这里的场景需要满足两个条件，一是能引起学生适当的积极情绪，二是以具体形象为主体。
让概念和命题变得通俗易懂的一种思路，是语义情境化
为什么呢？
学习的过程，也是认知的过程。情绪心理学告诉我们，情绪对认知活动具有组织的功能。一般来说，像愉快、轻松这样的积极情绪，对认知活动能起到协调和促进的作用；而像担忧、沮丧这样的消极情绪，则会对认知活动起到阻碍和抑制的作用。
相信大家都有这样的感觉，当自己心情舒畅的时候，脑子似乎特别灵活，做什么都能成；可是如果心情不爽，脑子就像一块木头一样僵硬呆板，做什么都不耐烦，更不用说还要动脑筋了。
积极情绪是个好东西，但是它对认知的促进作用也不是一成不变的，这取决于情绪的强度水平。研究发现，中等强度的愉快情绪下，认知活动的水平最优；过低或过高的愉快情绪，都不利于认知活动的开展。有经验的教师，会有意识地关注学生的情绪强度，课堂沉闷就想办法活跃一下气氛，学生过于兴奋就想办法静一静，合适就好。
适当的积极情绪能促进学生的学习
另外，认知的过程，也是大脑加工信息的过程。在20世纪70年代，加拿大心理学家佩维奥提出了双重编码理论。该理论提出，人的大脑有两个独立又相互联系的编码系统，对信息进行加工。一个是言语编码，另一个是表象编码。
言语编码处理的，是以语言为形式所感知的信息，这些信息以顺序性和层级性的方式来运作。比如当看到“床前明月光”，会背的学生会脱口而出：“疑是地上霜”；当看到“（a+b）（a-b）”时，知道的学生会说出：“a²-b²”。不过，如果反过来，看到“a²-b²”，能说出“（a+b）（a-b）”的学生就没那么多了，因为这跟平时学习的顺序不大一样。
表象编码处理的，是以非语言形式所感知的事物、事件和情景等信息，这些信息以整体丛簇和相似勾连的方式来运作。比如提到学校，学生就会想到操场、教学楼、行政楼、食堂等等，这些场景会一下子在脑海中涌现出来，这是整体丛簇；又比如学生上了初中，看到新学校的操场，就会想起小学时学校的操场，这是相似勾连。
佩维奥指出，对于学习来说，言语编码和表象编码的结合比单一的言语编码要好，同时以图像方式和语言形式呈现的信息，更容易让学生识别和记忆。有的教师上课喜欢照着书念，板书也是纯文字，这时学生很容易会跟不上，因为言语编码超负荷运转；而有些教师会选择用思维导图来讲概念，具体的线条能激发学生的想象力，让学生从整体上看到概念之间的关系，表象编码的加入会大大降低言语编码的负荷，学生学习起来会更轻松，效果也会更好。
图象和文字结合呈现的信息，更容易提高学生的学习效果
有的教师认为数学靠练，所以讲知识的时间越短越好，最好三两分钟把概念讲完，然后就是练。其实不必着急，为知识找一个具体形象的情境，让学生心情愉悦地学习，时间可能会多花一些，但是学生理解也会更为踏实。
那么在教学中，我们可以创设什么样的情境呢？
1.视觉情境
有句俗话说：“耳听为虚，眼见为实。”许多数学的概念和命题本身就抽象，我们再怎么努力地描述，都不如提供一个视觉情境来得清楚。视觉情境有三种：一种是场景可视化，用具体的形象来解释抽象的概念，比如要区分锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，直接在黑板上画出三个三角形，学生可能就明白了。第二种是过程可视化，用视觉方式呈现信息的变化，比如画二次函数的图象，学生经常会提出疑问：“为什么要取五个点，还要用光滑曲线连起来，而不是用直线？”比起解释半天，不如用超级画板来画一次，学生可能就秒懂了。第三种是关系可视化，用视觉方式呈现概念之间关系，最常见的例子就是思维导图，保留核心概念，用线条和箭头代替冗长的表达，让学生更容易关注知识的本质。下图就是我的一个学生对“圆”的梳理。
用思维导图梳理知识，能帮助学生关注本质
2.语言情境
同样是讲知识，我们有两种选择：一种是用“概念化”的语言，就是用纯粹的数学术语来讲，这样表达的确很严谨规范，但是学生会糊里糊涂；另一种使用“生活化”的语言，就是结合学生的生活来讲，尽管放弃了一部分的严谨，但是学生会更容易理解。
要想语言变得生活化，多用比喻和类比就能做到。比如讲“代数式”，我曾试过用课本上的说法：“把数字和字母用运算符号连接起来的式子”，发现学生听了一脸茫然；后来我换了一种解释：“现在有一个碗，两包调味料，一包是数字，另一包是字母，把它们倒进碗里搅在一起，就会变成代数式”，学生表示这样更好理解。
又比如有学生问：“求一个数的倒数，符号会不会改变？”我过去解释了半天，学生求倒数还是会把符号也变了。后来我换了一种解释：“怎么理解倒数？就是两个整数住同一间宿舍，一个睡上铺，另一个睡下铺，把它们的床位对调，就变成倒数，但宿舍的性质有没有变？没有嘛，原来是男生宿舍，现在还是男生宿舍，总不会换个床位，就变成女生宿舍了吧！”当时底下的学生爆笑，后来就很少出现类似的错误了。
用生活化的语言，能帮助学生理解知识
3.故事情境
有的老师喜欢干讲知识，这样做的确干货十足，但是没有“水”的话，学生的大脑或许很难“咽”下去。那怎样加“水”呢？讲故事就是其中一种办法，故事天生就有启发思考、打动人心的力量。有的老师可能觉得自己没有讲故事的天分，其实不用担心，我们有三种故事题材可供选择。
一种是人物的故事，比如教无理数时，不妨讲讲毕达哥拉斯因为对无理数的抗拒，把自己的学生淹死的故事，相信学生会特想知道无理数到底是什么东西。另一种是世界的故事，比如教实数的分类时，不妨讲讲人类是如何从生活中抽象出自然数，然后逐步扩充到分数和无理数的过程，相信学生会觉得实数的分类是一个神奇的过程，而不是无理取闹。
还有一种是生活的故事，比如教特殊四边形时，有个同事用一个故事来梳理：“从前有个平行四边形，生了两个孩子，一个是菱形，一个是矩形。两个孩子长大后，不但继承了母亲的财产（性质），还有了自己的私有财产，像菱形的四条边相等和对角线垂直，矩形额四个角为直角和对角线相等。后来，他们又有了自己的孩子，就是正方形。很明显，它继承了所有人的财产（性质）。”相信同事讲完这个故事，学生也把知识理解了。
干讲知识，不如让知识融入一个故事
4.体验情境
体验情境有点像我们常说的“做中学”。有些时候，我们说上半天，还不如让学生动手做一遍。因为亲身实践能给学生带来活动经验，有了经验，再从中抽象出知识就没那么难了。
比如七年级有个内容叫“截面”，有的老师会直接板书知识点，让学生做笔记；有的老师会从网上找一个PPT，演示给学生看；还有的老师直接带着萝卜、豆腐和刀走进了课室，让学生亲自切......谁的学生更容易理解知识，就不用说了。
听一个同事说，她曾在教“黄金分割”时，就穿着高跟鞋上课，让学生帮她量身高，用黄金分割计算出她穿多高的高跟鞋最好看。尽管学生忙乎了一节课，但是对这个知识点的理解，那可是相当深刻！
有些知识，解释半天，不如让学生动手做一遍
5.案例情境
案例情境就是提供一个问题，让学生在思考和解决问题的过程中，顺便学到新的知识。我们可以提供两种类型的问题，一种是“概念化”的问题，就是用数学语言表述的问题，也是我们通常说的例题；另一种是“生活化”的问题，就是以生活实际为背景的问题。相比之下，后一种会更容易被学生接受。
比如九年级有个知识点叫做“圆周角定理”，它的具体内容是“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”。教的时候，我的做法是设计了一个问题：“学校要举行一场足球射门比赛，规定每位参赛选手的射门角等于60°，你有什么办法可以做到这一点？”学生思考之后，会尝试着提出一些想法。顺着他们的讨论，我提出一种思路：“把球门看成一条线段AB，在它的中垂线上找一点O，使得∠AOB等于120°；接着，以O为圆心，OA为半径画一个圆，这样，比赛场地就设计好了。每个参赛选手一上场，只要保证把球放在这个圆上，就能保证射门角一定是15°。”说完以后，我让学生思考这背后的原理，其实也就引出了圆周角定理。
细心的朋友可能已经发现，文章开头讲的“垂径定理”的例子，其实就是提供了一个案例情境。
设计射门比赛的场地，让学生在解决问题中学习新知识
翻一下数学课本，你会发现它对概念和命题的表达都是科学严谨的，于是有些老师会陷入一种执念，觉得在课堂上的讲解一定要严肃精确，否则教的就不是数学了。其实对学生来讲，科学严谨是学习的结果，光靠直接灌输几乎没办法学会；他们更需要的，是经历从具体到抽象，从合理到严谨的学习过程。选择创设情境，就是给学生一个阶梯，让他们带上愉悦的心情，满怀期待地向前进。