2017 年山东省临沂市中考数学试卷
一、选择题（本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分）
1．﹣ 的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2017 D．﹣2017
2．如图，将直尺与含 30°角的三角尺摆放在一起，若∠1=20°，则∠2 的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
3．下列计算正确的是（ ）
A．﹣（a﹣b）=﹣a﹣b B．a2+a2=a4 C．a2•a3=a6 D．（ab2）2=a2b4
4．不等式组 中，不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C．
D．
5．如图所示的几何体是由五个小正方体组成的，它的左视图是（ ）[来源:中国#教育^@出版网*%]
A． B． C． D．
6．小明和小华玩"石头、剪子、布"的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是（ ）
~@]A． B． C． D．
7．一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
8．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90 个所用时间与乙做 60 个所用
时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做 x 个，那么所列方程是（ ）
A． = B． = C． = D． =
9．某公司有 15 名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示：
部门 人数 每人创年利润（万元）
A 1 10
B 3 8
C 7 5
D 4 3
这 15 名员工每人所创年利润的众数、中位数分别是（ ）
A．10，5 B．7，8 C．5，6.5 D．5，5
10．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，BT 是⊙O 的切线，若∠ATB=45°，AB=2，则阴影部分的面积是
（ ）
A．2 B． ﹣ π C．1 D． + π
11．（3 分）将一些相同的"○"按如图所示摆放，观察每个图形中的"○"的个数，若第 n 个图形中"○"
的个数是 78，则 n 的值是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
12．（3 分）在△ABC 中，点 D 是边 BC 上的点（与 B，C 两点不重合），过点 D 作 DE∥AC，DF∥AB，
分别交 AB，AC 于 E，F 两点，下列说法正确的是（ ）
A．若 AD⊥BC，则四边形 AEDF 是矩形 B．若 AD 垂直平分 BC，则四边形 AEDF 是矩形
C．若 BD=CD，则四边形 AEDF 是菱形 D．若 AD 平分∠BAC，则四边形 AEDF 是菱形
13．（3 分）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不
考虑空气阻力，足球距离地面的高度 h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间 t（单位：s）之间的
关系如下表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论：①足球距离地面的最大高度为 20m；②足球飞行路线的对称轴是直线 t= ；③足球被踢
出 9s 时落地；④足球被踢出 1.5s 时，距离地面的高度是 11m，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y= （x＞0）的图象
与边长是 6 的正方形 OABC 的两边 AB，BC 分别相交于 M，N 两点，△OMN
的面积为 10．若动点 P 在 x 轴上，则 PM+PN 的最小值是（ ）
A．6 B．10 C．2 D．2
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
15．（3 分）分解因式：m3﹣9m= ．
16．（3 分）已知 AB∥CD，AD 与 BC 相交于点 O．若 = ，AD=10，则 AO= ．
17．（3 分）计算： ÷（x﹣ ）= ．
18．（3 分）在▱ ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，若 AB=4，BD=10，sin∠BDC= ，则▱ ABCD
的面积是 ．
19．（3 分）在平面直角坐标系中，如果点 P 坐标为（m，n），向量 可以用点 P 的坐标表示为 =
（m，n）．
已知： =（x1，y1）， =（x2，y2），如果 x1•x2+y1•y2=0，那么 与 互相垂直，下列四组向量：
① =（2，1）， =（﹣1，2）；
② =（cos30°，tan45°）， =（1，sin60°）；
③ =（ ﹣ ，﹣2）， =（ + ， ）；
④ =（π0，2）， =（2，﹣1）．
其中互相垂直的是 （填上所有正确答案的符号）．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 63 分）
20．（7 分）计算：|1﹣ |+2cos45°﹣ +（ ）﹣1．
21．（7 分）为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视
节目的喜爱情况，随机抽取了 x 名学生进行调查统计 9 要求每名学生选出并且只能选出一个自己最
喜爱的节目），并将调查结果绘制成如下统计图表：[中国教&#育出*版网@~]
学生最喜爱的节目人数统计表
节目 人数（名） 百分比
最强大脑 5 10%
朗读者 15 b%
中国诗词大会 a 40%
出彩中国人 10 20%
根据以上提供的信息，解答下列问题： [www.z&^zs#tep. c*o~m]
（1）x= ，a= ，b= ；
（2）补全上面的条形统计图；
（3）若该校共有学生 1000 名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生
有多少名．
22．（7 分）如图，两座建筑物的水平距离 BC=30m，从 A 点测得 D 点的俯角α为 30°，测得 C 点的俯
角β为 60°，求这两座建筑物的高度．
23．（9 分）如图，∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点 D，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC 外接圆的半径．
24．（9 分）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费
y（元）与每月用水量 x（m3）之间的关系如图所示．
（1）求 y 关于 x 的函数解析式；
（2）若某用户二、三月份共用水 40cm3（二月份用水量不超过 25cm3），缴纳水费 79.8 元，则该用
户二、三月份的用水量各是多少 m3？
25．（11 分）数学课上，张老师出示了问题：如图 1，AC，BD 是四边形 ABCD 的对角线，若∠ACB=
∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段 BC，CD，AC 三者之间有何等量关系？[中国&%@教育^出版~网]
经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图 2，延长 CB 到 E，使 BE=CD，连接 AE，证得△ABE≌
△ADC，从而容易证明△ACE 是等边三角形，故 AC=CE，所以 AC=BC+CD．
小亮展示了另一种正确的思路：如图 3，将△ABC 绕着点 A 逆时针旋转 60°，使 AB 与 AD 重合，从而
容易证明△ACF 是等边三角形，故 AC=CF，所以 AC=BC+CD．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图 4，如果把"∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°"改为"∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠
ADB=45°"，其它条件不变，那么线段 BC，CD，AC 三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，
请你写出结论，并给出证明．
（2）小华提出：如图 5，如果把"∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°"改为"∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠
ADB=α"，其它条件不变，那么线段 BC，CD，AC 三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请
你写出结论，不用证明．
26．（13 分）如图，抛物线 y=ax2+bx﹣3 经过点 A（2，﹣3），与 x 轴负半轴交于点 B，与 y 轴交于点
C，且 OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 D 在 y 轴上，且∠BDO=∠BAC，求点 D 的坐标；
（3）点 M 在抛物线上，点 N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
p.^com]
2017 年山东省临沂市中考数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 14小题，每小题 3分，共 42分） [来源:#zzst*ep.%co@^m]
1．﹣ 的相反数是（ ）[中*^%国教育@出版网#]
A． B．﹣ C．2017 D．﹣2017
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣ 的相反数是： ．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数的定义，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．如图，将直尺与含 30°角的三角尺摆放在一起，若∠1=20°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°[w~ww.zzs* tep^.&com@]
【分析】首先根据三角形外角的性质求出∠BEF 的度数，再根据平行线的性质得到∠2
的度数．
【解答】解：∵∠BEF 是△AEF的外角，∠1=20°，∠F=30°，
∴∠BEF=∠1+∠F=50°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠BEF=50°，
故选 A．[ww^w.#&zzstep*.@com]
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质，此题难
度不大．
3. 下列计算正确的是（ ）
A．﹣（a﹣b）=﹣a﹣b B．a2+a2=a4 C．a2•a3=a6 D．（ab2）2=a2b4
【分析】根据去括号、同底数幂的乘法底数不变指数相加，积的乘方，可得答案．
【解答】解：A、括号前是负号，去括号全变号，故 A 不符合题意；
B、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故 B 不符合题意；
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故 C 不符合题意；
D、积的乘方等于乘方的积，故 D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了积的乘方，熟记法则并根据法则计算是解题关键．[来~@^#&源:中教网]
4．不等式组 中，不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中
间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得：x＜1，
解不等式②，得：x≥﹣3，[www.z*~zs t^%ep@.com]
则不等式组的解集为﹣3≤x＜1，[来&源:中国^%教@育出版~网]
故选：B．[来源 :^zz#* step.~co&m]
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
"同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到"的原则是解答此题的关键
5．如图所示的几何体是由五个小正方体组成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三视图定义分别作出三视图即可判断．
【解答】解：该几何体的三视图如下：
主视图： ；俯视图： ；左视图： ，
故选：D．
【点评】本题主要考查三视图，掌握三视图的定义和作法是解题的关键．
[来%^源~:&中教网@]
6．小明和小华玩"石头、剪子、布"的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是
（ ）[www.%zzs@t^ep#*. com]
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小华获胜的
情况数，再利用概率公式即可求得答案．[来~源 :%中教*&网@]
【解答】解：画树状图得：
[www.zzs%t*ep.~#co@m]
∵共有 9 种等可能的结果，小华获胜的情况数是 3 种，
∴小华获胜的概率是： = ．
故选 C．
【点评】此题主要考查了列表法和树状图法求概率知识，用到的知识点为：概率=所求
情况数与总情况数之比．
7．一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形[来^&源 :中教网@~%]
【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．
【解答】解：设所求正 n 边形边数为 n，由题意得
（n﹣2）•180°=360°×2
解得 n=6．[中&国教育*%出@~版网 ]
则这个多边形是六边形．
故选：C．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与
外角和的特征：任何多边形的外角和都等于 360°，多边形的内角和为（n﹣2）•180°．[来~*源:
中&国教育出版网@#]
[来@^源~:中国教育#出版网%]
8．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90 个所用时间与乙
做 60 个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做 x 个，那
么所列方程是（ ）
A． = B． = C． = D． =
【分析】根据甲乙的效率，可设未知数，根据甲乙的工作时间，可列方程．
【解答】解：设乙每小时做 x个，甲每小时做（x+6）个，
根据甲做 90 个所用时间与乙做 60个所用时间相等，得[来源 :中国教&育~出版网@%#]
= ，
故选：B．[中国教@&%育出^版~网]
【点评】本题考查了分是方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问
题的关键．
9．某公司有 15名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示：
部门 人数 每人创年利润（万
元）
A 1 10
B 3 8
C 7 5
D 4 3
这 15 名员工每人所创年利润的众数、中位数分别是（ ）
A．10，5 B．7，8 C．5，6.5 D．5，5
【分析】根据表格中的数据可以将这组数据按照从小到大的顺序排列起来，从而可以找
到这组数据的中位数和众数．
【解答】解：由题意可得，[中@~国教育出#&版*网 ]
这 15 名员工的每人创年利润为：10、8、8、8、5、5、5、5、5、5、5、3、3、3、3，[来源 :z@*#zstep%.c^om]
∴这组数据的众数是 5，中位数是 5，
故选 D．[来*源&~@^:中教网]
【点评】本题考查众数和中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一
组数据的众数和中位数．
10．如图，AB 是⊙O 的直径，BT是⊙O 的切线，若∠ATB=45°，AB=2，则阴影部分的面
积是（ ）
A．2 B． ﹣ π C．1 D． + π
【分析】设 AC 交⊙O 于 D，连结 BD，先根据圆周角定理得到∠ADB=90°，则可判断△
ADB、△BDC 都是等腰直角三角形，所以 AD=BD=CD= AB= ，然后利用弓形 AD 的面
积等于弓形 BD 的面积得到阴影部分的面积=S△BTD．
【解答】解：∵BT是⊙O 的切线；
设 AT交⊙O 于 D，连结 BD，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
而∠ATB=45°，
∴△ADB、△BDT都是等腰直角三角形，
∴AD=BD=TD= AB= ，[来~@^#源&:中教网]
∴弓形 AD 的面积等于弓形 BD的面积，
∴阴影部分的面积=S△BTD= × × =1．
故选 C．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用等腰
直角三角形的性质把阴影部分的面积转化为三角形的面积．
11．将一些相同的"○"按如图所示摆放，观察每个图形中的"○"的个数，若第 n 个图形
中"○"的个数是 78，则 n 的值是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】根据小圆个数变化规律进而表示出第 n 个图形中小圆的个数，进而得出答案．
【解答】解：第 1 个图形有 1 个小圆；
第 2 个图形有 1+2=3个小圆；[中~国#教育出版网^&%]
第 3 个图形有 1+2+3=6个小圆；
第 4 个图形有 1+2+3+4=10个小圆；
第 n 个图形有 1+2+3+…+n= 个小圆；
∵第 n 个图形中"○"的个数是 78，
∴78= ，
解得：n1=12，n2=﹣13（不合题意舍去），
故选：B．
【点评】此题主要考查了图形变化类，正确得出小圆个数变化规律是解题关键．
12．在△ABC 中，点 D 是边 BC 上的点（与 B，C 两点不重合），过点 D 作 DE∥AC，DF
∥AB，分别交 AB，AC 于 E，F 两点，下列说法正确的是（ ）
A．若 AD⊥BC，则四边形 AEDF是矩形
B．若 AD垂直平分 BC，则四边形 AEDF 是矩形
C．若 BD=CD，则四边形 AEDF是菱形
D．若 AD平分∠BAC，则四边形 AEDF是菱形[来~源:zz^* st%@ep.com]
【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．
【解答】解：若 AD⊥BC，则四边形 AEDF 是平行四边形，不一定是矩形；选项 A错误；
若 AD 垂直平分 BC，则四边形 AEDF 是菱形，不一定是矩形；选项 B 错误；[来%^源~:&中教网@]
若 BD=CD，则四边形 AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项 C错误；
若 AD 平分∠BAC，则四边形 AEDF是菱形；正确；故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题
的关键．
13．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，
不考虑空气阻力，足球距离地面的高度 h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间 t（单
位：s）之间的关系如下表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论：①足球距离地面的最大高度为 20m；②足球飞行路线的对称轴是直线 t= ；
③足球被踢出 9s 时落地；④足球被踢出 1.5s 时，距离地面的高度是 11m，其中正确结
论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意，抛物线的解析式为 y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得 a=﹣1，可得
y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．
【解答】解：由题意，抛物线的解析式为 y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得 a=﹣1，
∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，[中国教@&育出*版网~#]
∴足球距离地面的最大高度为 20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴 t=4.5，故②正确，[w@ww.zzs*&te#p.com~]
∵t=9时，y=0，
∴足球被踢出 9s 时落地，故③正确，
∵t=1.5 时，y=11.25，故④错误．
∴正确的有②③，
故选 B．
【点评】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键，属于中考常考
题型．
14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y= （x＞0）的图象与边长是 6 的正方形
OABC 的两边 AB，BC 分别相交于 M，N 两点，△OMN的面积为 10．若动点 P在 x 轴上，
则 PM+PN 的最小值是（ ）
A．6 B．10 C．2 D．2
【分析】由正方形 OABC 的边长是 6，得到点 M的横坐标和点 N 的纵坐标为 6，求得 M
（6， ），N（ ，6），根据三角形的面积列方程得到 M（6，4），N（4，6），作 M 关
于 x 轴的对称点 M′，连接 NM′交 x 轴于 P，则 NM′的长=PM+PN的最小值，根据勾股定
理即可得到结论．
【解答】解：∵正方形 OABC 的边长是 6，
∴点 M 的横坐标和点 N的纵坐标为 6，
∴M（6， ），N（ ，6），
∴BN=6﹣ ，BM=6﹣ ，
∵△OMN 的面积为 10，
∴6×6﹣ ×6× ﹣ 6× ﹣ ×（6﹣ ）2=10，
∴k=24，
∴M（6，4），N（4，6），
作 M 关于 x轴的对称点 M′，连接 NM′交 x轴于 P，则 NM′的长=PM+PN的最小值，
∵AM=AM′=4，
∴BM′=10，BN=2，
∴NM′= = =2 ，
故选 C．[中~国&^教育#出*版网 ]
[中国教育@出版网&^*%]
【点评】本题考查了反比例函数的系数 k 的几何意义，轴对称﹣最小距离问题，勾股定
理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15分） [来^%&源#:中@教网 ]
15．分解因式：m3﹣9m= m（m+3）（m﹣3） ．
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）
（a﹣b）．
【解答】解：m3﹣9m，[中国#教育出@~版%网*]
=m（m2﹣9），
=m（m+3）（m﹣3）．
故答案为：m（m+3）（m﹣3）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式
首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分
解为止．
16. 已知 AB∥CD，AD与 BC 相交于点 O．若 = ，AD=10，则 AO= 4 ．[来#源:%*^中教网&]
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴ = = ，即 = ，
解得，AO=4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题
的关键．
17．计算： ÷（x﹣ ）= ．[中^国教*~育&%出版网]
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：原式= ÷
= •
= ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确运用分式的运算法则进行化简是解此题的
关键，注意运算顺序．
18．在▱ ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，若 AB=4，BD=10，sin∠BDC= ，则▱ ABCD
的面积是 24 ．
【分析】作 OE⊥CD 于 E，由平行四边形的性质得出 OA=OC，OB=OD= BD=5，CD=AB=4，
由 sin∠BDC= ，证出 AC⊥CD，OC=3，AC=2OC=6，得出▱ ABCD 的面积=CD•AC=24．
【解答】解：作 OE⊥CD 于 E，如图所示：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD= BD=5，CD=AB=4，
∵sin∠BDC= = ，
∴OE=3，
∴DE= =4，
∵CD=4，
∴点 E 与点 C重合，
∴AC⊥CD，OC=3，
∴AC=2OC=6，
∴▱ ABCD 的面积=CD•AC=4×6=24；[来源@:zzs*te#%^p.com]
故答案为：24．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角函数、勾股定理等知识；熟练掌握平行四
边形的性质，得出 AC⊥CD是关键
19．在平面直角坐标系中，如果点 P 坐标为（m，n），向量 可以用点 P 的坐标表示为
=（m，n）．
已知： =（x1，y1）， =（x2，y2），如果 x1•x2+y1•y2=0，那么 与 互相垂直，下列
四组向量：
① =（2，1）， =（﹣1，2）；
② =（cos30°，tan45°）， =（1，sin60°）；
③ =（ ﹣ ，﹣2）， =（ + ， ）；
④ =（π0，2）， =（2，﹣1）．
其中互相垂直的是 ①③④ （填上所有正确答案的符号）．
【分析】根据向量垂直的定义进行解答．
【解答】解：①因为 2×（﹣1）+1×2=0，所以 与 互相垂直；[中国教~@育*出版#网^]
②因为 cos30°×1+tan45°•sin60°= ×1+1× = ≠0，所以 与 不互相垂直；
③因为（ ﹣ ）（ + ）+（﹣2）× =3﹣2﹣1=0，所以 与 互相垂直；
④因为π0×2+2×（﹣1）=2﹣2=0，所以 与 互相垂直．
综上所述，①③④互相垂直．
故答案是：①③④．
【点评】本题考查了平面向量，零指数幂以及解直角三角形．解题的关键是掌握向量垂
直的定义．[中%&国教*育^出版~网]
三、解答题（本大题共 7 小题，共 63 分）
20．（7分）计算：|1﹣ |+2cos45°﹣ +（ ）﹣1．
【分析】根据绝对值的意义、特殊角的三角函数值、二次根式的化简和负指数幂的运算，
分别求得每项的值，再进行计算即可．
【解答】解：
|1﹣ |+2cos45°﹣ +（ ）﹣1
= ﹣1+2× ﹣2 +2
= ﹣1+ ﹣2 +2
=1．
【点评】本题主要考查实数的运算及特殊角的三角函数值，注意绝对值和负指数幂的运
算法则是解题的关键．
21．为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个
电视节目的喜爱情况，随机抽取了 x名学生进行调查统计 9 要求每名学生选出并且只能
选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如下统计图表：[来~源 :zz^*st%@ep.com]
学生最喜爱的节目人数统计表
节目 人数
（名）
百分比
最强大脑 5 10%
朗读者 15 b%
中国诗词大会 a 40%
出彩中国人 10 20%
根据以上提供的信息，解答下列问题：[来源 :%中国#@教*育~出版网]
（1）x= 50 ，a= 20 ，b= 30 ；
（2）补全上面的条形统计图；
（3）若该校共有学生 1000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》
节目的学生有多少名．
【分析】（1）根据最强大脑的人数除以占的百分比确定出 x 的值，进而求出 a 与 b 的值
即可；
（2）根据 a 的值，补全条形统计图即可；
（3）由中国诗词大会的百分比乘以 1000 即可得到结果．[来源 :中~国教育出^*版网&@]
【解答】解：（1）根据题意得：x=5÷10%=50，a=50×40%=20，b= ×100=30；
故答案为：50；20；30；[来&源:中国^%教@育出版~网 ]
（2）中国诗词大会的人数为 20人，补全条形统计图，如图所示：[来~源 :zzs&tep.*co#%m]
（3）根据题意得：1000×40%=400（名），
则估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有 400名．
【点评】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及统计表，弄清题中的数据是解
本题的关键．
22．（7 分）（2017•临沂）如图，两座建筑物的水平距离 BC=30m，从 A 点测得 D 点的俯
角α为 30°，测得 C点的俯角β为 60°，求这两座建筑物的高度．
【分析】延长 CD，交 AE 于点 E，可得 DE⊥AE，在直角三角形 ABC 中，由题意确定出
AB 的长，进而确定出 EC 的长，在直角三角形 AED中，由题意求出 ED的长，由 EC﹣ED
求出 DC 的长即可．[www.z%^*z~ step.co#m]
【解答】解：延长 CD，交 AE 于点 E，可得 DE⊥AE，
在 Rt△AED中，AE=BC=30m，∠EAD=30°，
∴ED=AEtan30°=10 m，
在 Rt△ABC 中，∠BAC=30°，BC=30m，
∴AB=30 m，
则 CD=EC﹣ED=AB﹣ED=30 ﹣10 =20 m．
[来源 :zz#s tep&.%^~com]
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义
是解本题的关键．
23．如图，∠BAC的平分线交△ABC 的外接圆于点 D，∠ABC 的平分线交 AD于点 E，
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC 外接圆的半径．[来^%&源@:中#教网 ]
【分析】（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出 ，由圆周角定
理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，
即可得出 DE=DB；
（2）由（1）得： ，得出 CD=BD=4，由圆周角定理得出 BC 是直径，∠BDC=90°，
由勾股定理求出 BC= =4 ，即可得出△ABC 外接圆的半径．
【解答】（1）证明：∵BE 平分∠BAC，AD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，
∴ ，[来~源:z%z^st&ep.c@om]
∴∠DBC=∠CAD，[来源:&中%国教育出^版~网@]
∴∠DBC=∠BAE，
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB；
（2）解：连接 CD，如图所示：
由（1）得： ，
∴CD=BD=4，
∵∠BAC=90°，[来源:zz#s tep^.%&~com]
∴BC 是直径，
∴∠BDC=90°，
∴BC= =4 ，
∴△ABC 外接圆的半径= ×4 =2 ．
【点评】本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定
理等知识；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
24．某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的
水费 y（元）与每月用水量 x（m3）之间的关系如图所示．[www&.zz~*st#ep.com@]
（1）求 y 关于 x 的函数解析式；
（2）若某用户二、三月份共用水 40cm3（二月份用水量不超过 25cm3），缴纳水费 79.8
元，则该用户二、三月份的用水量各是多少 m3？
【分析】（1）根据函数图象可以分别设出各段的函数解析式，然后根据函数图象中的数
据求出相应的函数解析式；
（2）根据题意对 x 进行取值进行讨论，从而可以求得该用户二、三月份的用水量各是
多少 m3．
【解答】解：（1）当 0≤x≤15时，设 y 与 x的函数关系式为 y=kx，
15k=27，得 k=1.8，
即当 0≤x≤15时，y 与 x的函数关系式为 y=1.8x，[中~国教#育出&%版网@]
当 x＞15 时，设 y 与 x的函数关系式为 y=ax+b，
，得 ，
即当 x＞15 时，y 与 x的函数关系式为 y=2.4x﹣9，
由上可得，y 与 x 的函数关系式为 y= ；
（2）设二月份的用水量是 xm3，
当 15＜x≤25时，2.4x﹣9+2.4（40﹣x）﹣9=79.8，
解得，x无解，
当 0＜x≤15时，1.8x+2.4（40﹣x）﹣9=79.8，
解得，x=12，[中国教@~育*出版网#^]
∴40﹣x=28，
答：该用户二、三月份的用水量各是 12m3、28m3．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出相应的函数
解析式，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．[来~源*:中国教育出版^&@网]
25．数学课上，张老师出示了问题：如图 1，AC，BD 是四边形 ABCD 的对角线，若∠ACB=
∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段 BC，CD，AC三者之间有何等量关系？
经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图 2，延长 CB 到 E，使 BE=CD，连接 AE，
证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故 AC=CE，所以 AC=BC+CD．
小亮展示了另一种正确的思路：如图 3，将△ABC 绕着点 A 逆时针旋转 60°，使 AB 与 AD
重合，从而容易证明△ACF 是等边三角形，故 AC=CF，所以 AC=BC+CD．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图 4，如果把"∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°"改为"∠ACB=∠ACD=
∠ABD=∠ADB=45°"，其它条件不变，那么线段 BC，CD，AC 三者之间有何等量关系？针
对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．
（2）小华提出：如图 5，如果把"∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°"改为"∠ACB=∠ACD=
∠ABD=∠ADB=α"，其它条件不变，那么线段 BC，CD，AC 三者之间有何等量关系？针对
小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．[来源 :z^z#s* tep.~co&m]
【分析】（1）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE 是等腰三角形，再得出∠AEC=45°，
即可得出等腰直角三角形，即可；（判断∠ADE=∠ABC 也可以先判断出点 A，B，C，D
四点共圆）[来^#源:%中教&@网]
（2）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE 是等腰三角形，再用三角函数即可得出结
论．[w*ww.zz&^step.c~om@]
【解答】解：（1）BC+CD= AC；
理由：如图 1，
延长 CD 至 E，使 DE=BC，
∵∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°，
∵∠ACB=∠ACD=45°，[来源:zz@s%tep~.c*&om]
∴∠ACB+∠ACD=45°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠ADE=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC 和△ADE中， ，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，
∴△ACE 是等腰直角三角形，
∴CE= AC，
∵CE=CE+DE=CD+BC，[来源#:zzs t*ep.~com@^]
∴BC+CD= AC；
（2）BC+CD=2AC•cosα．理由：如图 2，
延长 CD 至 E，使 DE=BC，
∵∠ABD=∠ADB=α，
∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α，[来@&^%源:#中教网]
∵∠ACB=∠ACD=α，
∴∠ACB+∠ACD=2α，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠ADE=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC 和△ADE中， ，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE，
∴∠AEC=α，
过点 A 作 AF⊥CE 于 F，
∴CE=2CF，在 Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC•cos∠ACD=AC•cosα，[来*源:中@教网&^%]
∴CE=2CF=2AC•cosα，
∵CE=CD+DE=CD+BC，
∴BC+CD=2AC•cosα．
[www*.^z#zstep. co&m%]
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，四边形的内角和，等
腰三角形的判定和性质，解本题的关键是构造全等三角形，是一道基础题目．
26．如图，抛物线 y=ax2+bx﹣3 经过点 A（2，﹣3），与 x 轴负半轴交于点 B，与 y 轴交
于点 C，且 OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 D在 y 轴上，且∠BDO=∠BAC，求点 D 的坐标；
（3）点 M在抛物线上，点 N在抛物线的对称轴上，是否存在以点 A，B，M，N 为顶点
的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说
明理由．
【分析】（1）待定系数法即可得到结论；[中国教育出版&网^*@%]
（2）连接 AC，作 BF⊥AC 交 AC 的延长线于 F，根据已知条件得到 AF∥x 轴，得到 F（﹣
1，﹣3），设 D（0，m），则 OD=|m 即可得到结论；
（3）设 M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以 AB 为边，则 AB∥MN，AB=MN，如图 2，
过 M 作 ME⊥对称轴 y 于 E，AF⊥x 轴于 F，于是得到△ABF≌△NME，证得 NE=AF=3，
ME=BF=3，得到 M（4，5）或（﹣2，11）；②以 AB 为对角线，BN=AM，BN∥AM，如
图 3，则 N在 x 轴上，M与 C重合，于是得到结论．
【解答】解：（1）由 y=ax2+bx﹣3得 C（0．﹣3），[中国教@^育*出版网#%]
∴OC=3，
∵OC=3OB，[来源 :zz~s tep.^c%&#om]
∴OB=1，
∴B（﹣1，0），[来源*#:~zzst@ep^.com]
把 A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入 y=ax2+bx﹣3 得 ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为 y=x2﹣2x﹣3；
（2）设连接 AC，作 BF⊥AC 交 AC的延长线于 F，
∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），
∴AF∥x 轴，
∴F（﹣1，﹣3），[来源 :z@&zstep.^#%com]
∴BF=3，AF=3，
∴∠BAC=45°，
设 D（0，m），则 OD=|m|，
∵∠BDO=∠BAC，
∴∠BDO=45°，[来源^:*&中教%网~]
∴OD=OB=1，
∴|m|=1，
∴m=±1，
∴D1（0，1），D2（0，﹣1）；
（3）设 M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），
①以 AB 为边，则 AB∥MN，AB=MN，如图 2，过 M 作 ME⊥对称轴 y 于 E，AF⊥x轴于
F，
则△ABF≌△NME，
∴NE=AF=3，ME=BF=3，
∴|a﹣1|=3，
∴a=3 或 a=﹣2，
∴M（4，5）或（﹣2，11）；
②以 AB 为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图 3，
则 N 在 x轴上，M 与 C重合，
∴M（0，﹣3），[来源#*:中国%教育出~&版网 ]
综上所述，存在以点 A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，
11）或（0，﹣3）．[来#%源&:~中教网^]
[中&国^教育出#版网~@]
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行
四边形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．