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NO. 122
三人下棋
甲乙丙三人下棋，规则是输了的下台，其他俩人接着比，如此继续，没有平局。最后发现甲赢了20局，乙赢了25局，丙赢了10局。问乙输了几局？
来源：@mark 花生
问题分析解答
尝试一
甲赢20局，相当于是乙+丙共输20局；乙赢25局，相当于甲+丙共输25局；丙赢10局，相当于甲+乙共输10局。然后列一个方程组，解方程组即可。好像没有错，但是解方程组时你会发现没有整数解。这提醒你：难道这个想法错了？是的，确实错了！因为乙输包括乙输给甲和乙输给丙两种情况，甲输和丙输的情况一样。甲赢20局，应该等价于：乙输甲+丙输甲=20，而不是：乙输+丙输=20。
原来这里给我们挖了一个陷阱，这不得不让我们重新审视、思考这个问题。
尝试二
甲乙丙三人共下棋局数为：20+25+10=55，乙赢了25局，那也就是说乙输了30局。啊！不对！不对！乙除了输赢之外还有第三种状态——旁观，所以剩下的30局有一部分是在输棋，有一部分是在旁观。那么乙输棋和旁观的局数分别是多少呢？回过头我们分析一下下棋规则就会发现：对于每一个人来说，输局紧接着就是旁观。也就是对于乙来说，剩下的30局，有一半是输棋，有一半是在旁观，因此，乙共输15局。
但是细心的题友可能会发现，按照这种推理方法在计算甲和丙输的局数时却出现了新的问题，因为输的局数加旁观的局数为奇数。这不得不让我们再一次思考。
先研究甲的情况，甲共赢20局，剩下的35局一部分在输棋，一部分在旁观。输棋和旁观是连在一起的——输棋、旁观，输棋、旁观，……，输棋；或者是——旁观，输棋、旁观，输棋、旁观，……，输棋、旁观；前一种情况是最后一局甲为输局，后一种情况是第一局甲旁观，这两种情况会导致出现奇数局的情形。无论哪一种情况，乙最后一局都为旁观（想一想为什么）。
对于第一种情况，最后一局为甲输，其他34局输局和旁观各占一半，甲共输18局。而此时，对于丙来说，第一局为肯定为旁观，共输22局。
对于第二种情况，第一局甲为旁观，其他34局输局和旁观各占一半，甲共输17局。而此时，对于丙来来说，最后一局肯定为输棋，共输23局。
其他思考方法
题友 @卞爱华的思考方法也很值得借鉴：
考察每盘棋的旁观者和最后一局的负者组成的序列x1,……,x56，这56个元素的任意选择排列，都可以确定且唯一确定整个棋局。另外，序列的前55个是每个人旁观的情况，后55个是每个人输棋的情况。如果x1=x56，则说明每个人输棋和旁观的次数相同，否则只有一个人相同，其它两个人相差1。在已知赢棋的情况下(输棋和旁观的和相同)，可以先根据奇偶性确定是哪一种情况，第一种情况的棋局唯一，第二种则有两个可能棋局。本题中三个人“输棋+旁观”分别为35,30,45，属于第二种情况，甲输棋17或18，乙输棋15，丙输棋23或22。甚至还可以知道，两种答案最先的旁观者为甲和丙。
数学就是一个大胆猜想、小心求证、勇于探索的过程。
题友解答精选
◎题友 @Tomly 的解答：
15局。 三人共下(20+25+10=55)局， 乙赢25局，剩下30局一半在输一半在看。
◎题友 @瀚海泛舟的解答：
每一局必仅产生一个赢家，于是总局数55局。假设三人每一局比赛的状态为一个有序数组，其元素包含赢，输和旁观，记为x，y，z。注意到y后必为z，z后可能为y或x，x后可能为z或y。将每一个y和z绑定，于是乙数组就相当于预先在随机位置插入若干个（y,z）连续组合，然后将x插入剩余空位。当第55号不为y时，y与z比相等。对于乙，y+z=30，于是y=15。
◎题友 @背包客的解答：
乙输15局。因为谁输谁下，甲赢了20局，所以这20局中乙和丙各输了10局；同理，丙赢了10局，所以这10局中甲乙各输5局。加起来，乙输了15局。
本期答案整理：子曰 编辑：子曰
感谢各位题友的积极参与，下期再见！
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