运动的合成与分解 平抛运动
1．由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道。当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行。已知同步卫星的环绕速度约为3.1×10 3 m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×10 3 m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图所示。发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为( )
B．东偏南方向，1.9×10 3 m/s
C．西偏北方向，2.7×10 3 m/s
D．东偏南方向，2.7×10 3 m/s
2．如图所示，虚线是小球由空中某点水平抛出的运动轨迹， A 、 B 为其运动轨迹上的两点。小球经过 A 点时，速度大小为10 m/s、与竖直方向夹角为60°；它运动到 B 点时，速度方向与竖直方向夹角为30°，不计空气阻力，取重力加速度 g ＝10 m/s 2 。下列说法中正确的是( )
B．小球的抛出速度为5 m/s
C．小球从 A 点运动到 B 点的时间为1 s
D． A 、 B 之间的距离为6 m
1．在足球场上罚任意球时，运动员踢出的足球，在行进中绕过“人墙”转弯进入了球门，守门员“望球莫及”，轨迹如图所示。关于足球在这一飞行过程中的受力方向和速度方向，下列说法中正确的是( )
A．合外力的方向与速度方向在一条直线上
B．合外力的方向沿轨迹切线方向，速度方向指向轨迹内侧
C．合外力方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向
D．合外力方向指向轨迹外侧，速度方向沿轨迹切线方向
2．两个互成角度的匀加速直线运动，初速度分别为 v 1 和 v 2 ，加速度分别为 a 1 和 a 2 。关于它们的合运动的轨迹，下列说法正确的是( )
A．如果 v 1 ＝ v 2 ＝0，那么轨迹可能是曲线
B．如果 v 1 ＝ v 2 ≠0，那么轨迹一定是曲线
C．如果 a 1 ＝ a 2 ，那么轨迹一定是直线
D．如果 a 1 ∶ a 2 ＝ v 1 ∶ v 2 ，那么轨迹一定是直线
3．如图所示，长为 L 的直棒一端可绕固定轴 O 转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度 v 匀速上升。当棒与竖直方向的夹角为 α 时，棒的角速度为( )
A． B．
C． D．
4．河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为 v 水 ，各点到较近河岸的距离为 x ， v 水 与 x 的关系为 v 水 ＝ x (m/s)。让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为 v 船 ＝4 m/s。下列说法中正确的是( )
A．小船渡河的轨迹为直线
B．小船在河水中的最大速度是5 m/s
C．小船在距离南岸200 m处的速度小于距北岸200 m处的速度
D．小船渡河的时间是160 s
5．某弹射管每次弹出的小球速度相等。在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球。忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的( )
A．时刻相同，地点相同 B．时刻相同，地点不同
C．时刻不同，地点相同 D．时刻不同，地点不同
6．如图所示，水平光滑长杆上套有一物块 Q ，跨过悬挂于 O 点的轻小光滑圆环的轻绳一端连接 Q ，另一端悬挂一物块 P 。设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为 θ ，初始时 θ 很小。现将 P 、 Q 由静止同时释放，关于 P 、 Q 以后的运动下列说法正确的是( )
A．当 θ ＝60°时， P 、 Q 的速度之比是 ∶2
B．当 θ ＝90°时， Q 的速度最大
C．当 θ ＝90°时， Q 的速度为零
D．当 θ 向90°增大的过程中 Q 的合力一直增大
7．(多选)小球 A 做平抛运动，以小球被抛出的位置为原点 O ，以初速度 v 0 的方向为 x 轴的正方向、竖直向下的方向为 y 轴的正方向，建立平面直角坐标系。如图所示，沿两坐标轴分别放置两个光屏。两束平行光分别沿着与坐标轴平行的方向照射，小球 A 在两个光屏上分别留下的两个“影子”的坐标分别为( x ′，0)、(0， y ′)，则下列选项中关于两个影子的横、纵坐标随时间变化关系的图像可能正确的是( )
8．如图1和图2所示是物体在相互垂直的 x 方向(图1)和 y 方向(图2)运动的 v t 图像。以下判断正确的是( )
A．在0～1 s内，物体做匀速直线运动
B．在0～1 s内，物体做匀变速直线运动
C．在1～2 s内，物体做匀变速直线运动
D．在1～2 s内，物体做匀变速曲线运动
9．在公园里我们经常可以看到大人和小孩都喜欢玩的一种游戏——“套圈”，如图所示是“套圈”游戏的场景。假设某小孩和大人从同一条竖直线上距离地面的不同高度处分别水平抛出两个小圆环，大人抛出圆环时的高度为小孩抛出圆环高度的 倍，结果恰好都套中地面上同一物体。不计空气阻力，则大人和小孩所抛出的圆环( )
B．速度变化率之比为4∶9
C．水平初速度之比为2∶3
D．落地时速度之比为3∶2
10．如图所示，水平面上固定有一个斜面，从斜面顶端向右平抛一个小球，当初速度为 v 0 时，小球恰好落到斜面底端，平抛后飞行的时间为 t 0 。现用不同的初速度 v 从该斜面顶端向右平抛这个小球，则下列图像中能正确表示平抛后飞行的时间 t 随 v 变化的函数关系的是( )
11．如图甲所示，在距地面高为 h ＝0.4 m处，有一小球 A 以初速度 v 0 水平抛出，与此同时，在 A 的右方等高处有一物块 B 以大小相同的初速度 v 0 沿倾角为45°的光滑斜面滑下，如图乙所示，若 A 、 B 同时到达地面， A 、 B 均可看成质点，空气阻力不计，重力加速度 g 取10 m/s 2 ，则 v 0 的大小是( )
A．1 m/s B． m/s C．2 m/s D．2 m/s
12．如图（a），在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用 v 表示他在竖直方向的速度，其 v － t 图象如图（b）所示， t 1 和 t 2 是他落在倾斜雪道上的时刻。则( )
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第一次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为 v 1 时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
13．一小船渡河，河宽 d ＝180 m，水流速度 v 1 ＝2.5 m/s。
(1)若船在静水中的速度为 v 2 ＝5 m/s，求：
①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)若船在静水中的速度 v 2 ＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
14．用如图甲所示的水平—斜面装置研究平抛运动。一物块(可视为质点)置于粗糙水平面上的 O 点， O 点与斜面顶端 P 点的距离为 s 。每次用水平拉力 F ，将物块由 O 点从静止开始拉动，当物块运动到 P 点时撤去拉力 F 。实验时获得物块在不同拉力作用下落在斜面上的不同水平射程，作出了如图乙所示的图像。若物块与水平面间的动摩擦因数为0.5，斜面与水平地面之间的夹角 θ ＝45°， g 取10 m/s 2 ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求 O 、 P 间的距离 s 。(保留两位有效数字)
1． 【答案】 B
2． 【答案】 C
【解析】 由平抛运动规律知 v 0 ＝ v A sin 60°， v 0 ＝ v B sin 30°，解得 v 0 ＝5 m/s， v B ＝10 m/s，选项A、B错误；竖直速度 v Ay ＝ v A cos 60°， v By ＝ v B cos 30°， v By ＝ v Ay ＋ gt ，解得 t ＝1 s，选项C正确；由 v By 2 － v Ay 2 ＝2 gy ， x ＝ v 0 t ， s ＝ ，解得 s ＝5 m，选项D错误。
1． 【答案】 C
【解析】 足球做曲线运动，则其速度方向为轨迹的切线方向，根据物体做曲线运动的条件可知，合外力的方向一定指向轨迹的内侧，故C正确。
2． 【答案】 D
【解析】 当 v 1 ＝ v 2 ＝0，将沿着合加速度方向，做匀加速直线运动，那么轨迹一定是直线，故A错误；如果 v 1 ≠0， v 2 ≠0，当合初速度方向与合加速度方向共线时，做直线运动，若两者不共线，那么轨迹一定是曲线，故B错误；如果 a 1 ＝ a 2 ，只有当合初速度与合加速度共线时，才能做直线运动，因此轨迹不一定是直线，故C错误；当 a 1 ∶ a 2 ＝ v 1 ∶ v 2 时，即合初速度的方向与合加速度的方向在同一条直线上时，运动轨迹一定为直线，故D正确。
3． 【答案】 B
【解析】 由题图可知，棒与平台接触点的实际运动即合运动，其速度方向是垂直于棒指向左上方，合速度沿竖直向上的分量等于 v ，即 ωL sin α ＝ v ，所以 ω ＝ ，B正确。
4． 【答案】 B
【解析】 因水流速度大小与离河岸的距离大小有关，故小船的速度与河水速度的合速度大小和方向是变化的，小船渡河的轨迹为曲线，A错误；河水速度最大为 v 水max ＝ ×400 m/s＝3 m/s，故小船在水中的最大速度为 v max ＝ m/s＝5 m/s，B正确；小船距岸200 m处，水流速度均为1.5 m/s，故小船的速度大小相等，C错误；小船渡河时间与水流速度大小无关， t min ＝ ＝200 s，D错误。
5． 【答案】 B
【解析】 弹射管自由下落，两只小球始终处于同一水平面，因此同时落地。水平方向的分运动为匀速直线运动，且速度相等，但两只小球弹出后在空中运动的时间不相等，所以水平位移不相等，落地点不同。
6． 【答案】 B
【解析】 P 、 Q 用同一根绳连接，则 Q 沿绳子方向的速度与 P 的速度大小相等，则当 θ ＝60°时， Q 的速度 v Q cos 60°＝ v P ，解得 ＝ ，故选项A错误；当 θ ＝90°时，即 Q 到达 O 点正下方，垂直 Q 运动方向上的分速度为0，即 v P ＝0，此时 Q 的速度最大，故选项B正确，C错误；当 θ 向90°增大的过程中 Q 的合力逐渐减小，当 θ ＝90°时， Q 的速度最大，加速度为零，合力为零，故选项D错误。
7． 【答案】 AC
【解析】 两束平行光分别将小球沿水平方向和竖直方向投影在了两个坐标轴上，由于小球在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动，所以 x ′＝ v 0 t ， y ′＝ gt 2 ，选项A、C正确，B、D错误。
8． 【答案】 C
【解析】 在0～1 s内，物体在水平方向做匀速运动，竖直方向做匀加速运动，合运动为匀变速曲线运动，故A、B错误；在1～2 s内，水平方向初速度大小为 v 0 x ＝4 m/s，加速度大小为 a x ＝4 m/s 2 ，竖直方向初速度大小为 v 0 y ＝3 m/s，加速度大小为 a y ＝3 m/s 2 ，根据平行四边形定则可以得到合速度大小为 v ＝5 m/s，合加速度大小为 a ＝5 m/s 2 ，而且二者方向在同一直线上，合运动为匀变速直线运动，故C正确，D错误。
9． 【答案】 C
【解析】 根据 t ＝ 可知大人和小孩所抛出的圆环运动时间之比为3∶2，选项A错误；速度变化率等于加速度，因为加速度均为 g ，可知速度变化率之比为1∶1，选项B错误；大人和小孩的水平位移相等，根据 v ＝ 可知水平初速度之比等于2∶3，选项C正确；根据 v y ＝ 可知，落地的竖直速度之比为3∶2，则根据 v ＝ 可知落地时速度之比不等于3∶2，选项D错误。
10． 【答案】 C
【解析】 设斜面倾角为 θ ，当小球落在斜面上时，有：tan θ ＝ ＝ ，解得 t ＝ ，与速度 v 成正比。当小球落在地面上，根据 h ＝ gt 2 ，得 t ＝ ，知运动时间不变。可知 t 与 v 的关系图线先是过原点的一条倾斜直线，然后是平行于横轴的直线。故C正确，A、B、D错误。
11． 【答案】 A
【解析】 A 球做平抛运动，由 h ＝ gt 1 2 ，解得运动时间 t 1 ＝ ； B 物块下滑的加速度 a ＝ g sin 45°＝ g ，由匀变速直线运动的规律得 h ＝ v 0 t 2 ＋ at 2 2 ，根据题述， A 、 B 同时到达地面， t 1 ＝ t 2 ，联立解得 v 0 ＝ ＝1 m/s，故A正确，B、C、D错误。
12． 【答案】 BD
【解析】 根据 v － t 图线与横轴所围图形的面积表示位移，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的大，选项A错误；根据 v － t 图线的斜率表示加速度，综合分析可知，第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的小，选项C错误；第二次滑翔过程中在竖直方向的位移比第一次的大，又运动员每次滑翔过程中竖直位移与水平位移的比值相同(等于倾斜雪道与水平面夹角的正切值)，故第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大，选项B正确；竖直方向上的速度大小为 v 1 时，根据 v － t 图线的斜率表示加速度可知，第二次滑翔过程中在竖直方向上的加速度比第一次的小，由牛顿第二定律有 mg － f ＝ ma ，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上所受阻力比第一次的大，选项D正确。
13． 【解析】 (1)若 v 2 ＝5 m/s，
①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向，当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为 v 2 ＝5 m/s
t ＝ ＝ s＝36 s
v 合 ＝ ＝ m/s
x 1 ＝ v 合 t ＝90 m。
②欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向。船头应朝图乙中的 v 2 方向。
垂直河岸过河要求 v 水平 ＝0，如图乙所示，有 v 2 sin α ＝ v 1 ，得 α ＝30°
所以当船头与上游河岸成60°时航程最短， x 2 ＝ d ＝180 m
t ＝ ＝ ＝ s＝24 s。
(2)若 v 2 ＝1.5 m/s，
与(1)中②不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为 θ ，则航程 x 3 ＝ 。欲使航程最短，需 θ 最大，如图丙所示，由出发点 A 作出 v 1 矢量，以 v 1 矢量末端为圆心， v 2 大小为半径作圆， A 点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使 v 合 与水平方向夹角最大，应使 v 合 与圆相切，即 v 合 ⊥ v 2 。
sin θ ＝ ＝ ，得 θ ＝37°
所以船头应朝上游与河岸成53°方向， t ＝ ＝ ＝ s＝150 s
v 合 ＝ v 1 cos 37°＝2 m/s
x 3 ＝ ＝300 m。
14． 【解析】 根据牛顿第二定律，在 OP 段有 F － μmg ＝ ma
又2 as ＝ v P 2
由平抛运动规律和几何关系有
物块的水平射程 x ＝ v P t
物块的竖直位移 y ＝ gt 2
由几何关系有 y ＝ x tan θ
联立以上各式可以得到 x ＝
解得 F ＝ x ＋ μmg
由题图乙知 μmg ＝5， ＝10
代入数据解得 s ＝0.25 m。