莎士比亚的零

05 用直觉解决问题

电视节目的编剧人员在创意枯竭的时候，偶尔会拉个有身份的“倒霉鬼”下水，让他出点洋相。

例如，主持人会对着随行摄像头做出夸张的表情，戳戳自己的笔记本，清清喉咙，然后说：“请教您最后一个问题，8×7等于多少？”

这样的场景总是令我叹气。数学最后竟然掉价到用来为难别人是否记得起课堂口诀的地步，真是令人悲哀。

在一档这样的节目中，出席者往往需要回答类似“如果4支笔的价格为2.42欧元，14支笔是多少钱”这样的问题。

“倒霉鬼”嗫嚅道：“我算不出来。”观众报以哄堂大笑。

当然，这种问题就是要人答不出来。

就我所知，对数学的研究是没有终点的，目前我们对于数学的了解还有很多盲区。就我个人来说，我得承认我不喜欢代数，这要归咎于我中学时的数学老师巴克斯特先生。

我得每周上两次巴克斯特先生的课，在课堂上，我会尽可能地低下头。当时我十三四岁，之前在其他数学老师的课堂上都拿了高分，无论是数论、统计学还是概率论，我都能轻松应对。直到我发现自己是个代数白痴。

事情在变，我也在变。每次上代数课我都会手心冒汗、头脑发涨，感觉突然间自己好像有了三头六臂，但却又不知道该怎么使用。学校那低矮的桌面、狭窄的走道此时就像要吞噬掉我的四肢似的。然而，巴克斯特先生却忽视了我的困境。身体对数学来说是多余的，至少我这么认为。每个周二和周四各有一个小时，同学们那凌乱的头发、难闻的气味和长痘的皮肤都消失不见了，大家仿佛赤裸着身体一般，直上纯粹理性的穹空。书本的每一页都变成了四边形，城市变成了周长，菜谱变成了比例。我们因乱流而失去了方向，只能在稀薄的空气里摸索前进。

就是在这样的氛围里，我学到了代数的基本原理。algebra（代数）这个词来自阿拉伯语。公元9世纪，波斯数学家、天文学家、地理学家阿尔·花拉子密（Al-Khwarizmi）在一篇论述的标题里就用了这个词，该词由此沿用至今。无独有偶，拉丁文中的algorithm（演算法）一词，也是采用了花拉子密名字的拉丁文变体。这个带有异域风情的出处给我留下了深刻的印象。代数那像蛇一般蜿蜒的算式，虽然让我想起了阿拉伯语的书法作品，但我却并不觉得这些算式有何漂亮。

教科书上的每一页都挤满了字母的碎片，即一堆像x、y、z之类的东西。使用这几个我最不熟悉的字母更加深了我对代数的偏见。它们那丑陋的样子，完美地破坏了漂亮的数学算式。

就拿x2+10x=39为例，这样的写法叫我畏缩。我更喜欢说人话，比如，一个数的平方（12、22、32等等）加上这个数乘以10（1×10、2×10、3×10等等）等于39，而9+30=39，3满足两边的条件，因此x=3。很多年后，我才知道花拉子密对遇到的所有问题，也都是用文字进行表达的。

巴克斯特先生又矮又胖，常常喘不过气来，他坚持让我们做书中的练习题。他根本没有耐心用不同的方式来讲题。每当我们举手发问，他都会皱起眉头，并警告我们：“把这节再读一遍。”巴克斯特先生坚持要用教科书上的方法解题。当我给他展示我的解题方法时，他会抱怨我没照着课本上的去做，我没有在等式两边减掉相同的值，我没有处理括弧，等等。他的红笔字迹至今仍在我认真写下的答案上燃烧着。

容我进一步解释我那“离经叛道”的算法，以x2=2x+15为例，我是这样用文字进行描述的：

有个数的平方（12、22、32等等）等于该数乘以2（1×2、2×2、3×2等等）再加上15。换句话说，我们找的是大于17（也就是15再加2）的某个平方数。第一个可能的平方数是25，而25的的确确是15再加10（2的倍数），因此，x=5。

有几个同学学到了巴克斯特先生的方法，但大部分同学跟我一样，从未理解过这些方法。当然，我不能代表其他人说话，但就我自己而言，这段学习体验是痛苦的。那年结束之后，我非常开心，因为终于可以继续学数学的其他部分了，但对于无法理解代数这件事，我还是感到有些羞愧。巴克斯特先生的课让我对所有的等式都产生了永久的怀疑。代数和我似乎从来没真正和解过。

不过，起码我从巴克斯特先生身上学到了重要的一点，那就是千万不要像他那样教书。这一点在今后帮助了我无数次。

在毕业两年之后的一个早上，我打开报纸，看到了一则聘请老师的广告。我曾在立陶宛教过英文，发现自己还挺喜欢教书的，于是我申请了那份工作。面试我的是一位上了年纪的女士，名叫格雷斯，面试地点是在她家客厅的一隅。我坐在格雷斯的书桌前，椅子不大，上面放了块针织的靠垫。如果我没记错的话，她家壁纸上有小鸟和蜜蜂的图案。

这次会面很简短。

“你喜欢帮助别人学习新事物吗？”

“你会特别留心学生的个人学习状况吗？”

“你会遵循课程大纲授课吗？”

这些问题本身就包含着答案，我只用像在外语课上对话一样回答就可以了：“是的，我会遵循课程大纲授课。”

这类问题问了10分钟后，格雷斯说：“太好了，你一定能融入这份工作。但我们已经有好几个教英文的老师了，其他外语也没有缺。你就教小学数学吧，如何？”教数学如何？我也没得选。

格雷斯的安排确实让我忙个不停。其中最远的家教课，我得先坐公交再走路才能到达上课地点，路上花去的时间和上课时间一样长。得知自己得到那份工作后，我很紧张，但我的学生及他们的家人帮助我平复了情绪。我的学生年龄从7岁到11岁，都很有礼貌，也都会认真学习，他们家长的点头称赞和微笑鼓励，舒缓了我紧绷的神经。没过多久，我就不再担心了，甚至还开始对每周的家教课抱有期待。

我承认，我也有我喜欢的学生。我最喜欢的那个学生有一头棕发，脸上有雀斑，他虽然已经8岁了，但个头要比同龄的孩子矮一些。我第一次去见他的时候，他还因为胆怯而抖个不停。我拿着格雷斯借给我的教科书开始上课，但那些书已经很旧了，有股味道，书皮还破烂不堪，而且后来很快就脱页了。那个男孩收到一本崭新的彩色教科书作为圣诞礼物，但书中的术语对他来说太难了。因此我们干脆丢开了这些书，开始找些更好的方法来度过那一个小时。我们天南地北，无所不聊。

我发现男孩喜欢搜集足球球员的贴纸，并能对球员的名字倒背如流。他把贴纸结集成册，骄傲地拿给我看。

我问男孩：“你知道册子里有多少张贴纸吗？”他说他从没数过，因为册子页数太多了。

“如果我们一张一张数的话，那要花上很长时间才能数完，”我说，“但如果我们两张两张数呢？”男孩同意这样会比较快。“速度是之前的两倍，”我说，“那如果我们三张三张数呢？我们会不会更快数完？”男孩点头同意，说：“速度会是一张一张数的3倍。”

然后男孩接着说：“如果我们一次数5张，那我们就可以用5倍速数完。”我们相视而笑。然后我们打开贴纸册，从第一页开始。我用手掌盖住5张贴纸，总共盖了3次，也就是15张；第二页的贴纸少一些（两个手掌加3根手指，13张），于是我们在第三页先用两根手指，好与上一页的3根手指凑满一个手掌，然后再继续；到了第七页，我们数到了20个手掌，也就是100张贴纸。我们继续往后翻页，一次用手掌盖住5张贴纸，就这样一路数下去。最后，贴纸的总数等于80个手掌，也就是400张。

一起数完贴纸数量后，我们假设有个巨人也想计算他的贴纸，并且巨人的手掌一次可以轻易地盖上很多张贴纸。

如果这巨人总共有100万张贴纸呢？男孩想了一下：“那他可能要用百为单位来计算，100、200、300……”我问小男孩，要算几次100，才能算到100万。他摇摇头。我说：“一万次。”男孩惊讶地扬起了眉毛。最后他问：“那巨人可以一次数一万张，对吧？”我说对，那么巨人数到100个手掌就行了。我继续说：“如果这巨人够大，他可以一次数10万张。”这样，巨人只要从1数到10，就可以数完100万。

有次我们在学加法，男孩无意中发现了一个小而聪明的算法。他从作业里抄下了一个算式，供我们上课用。原先的算式是12+9，但他抄成了19+2。他发现，这两者的答案居然是一样的，都是21。这偶然的抄写错误让男孩很开心，也让他停下来开始思考。我也停了下来，不想出声打断他。过了一会儿，我考了他一些更大数字的加法，如83+8。他闭上眼睛，说：“89，90，91。”我知道，他已经明白了。

至于其他学生，我想起了每个周三晚上都要去的辛格一家。我一直没办法和那家的父亲好好相处，他是个生意人，总是摆出一副总裁的架势，而那家的母亲却始终温柔待我。他们有3个小孩，两男一女，孩子们总是连校服都来不及换便围绕在客厅的茶几边等我。老大已经11岁了，有身为长子的自信，还有点爱卖弄；小妹总是顺着老大；老二则是个活宝，总能把全家逗乐。

一开始，三兄妹并不完全把我这个脸色苍白、戴着眼镜的年轻人当作老师。虽然我们年纪至少相差10岁，但我看起来太年轻了，可能讲起课来也很年轻，不会像资深教师讲那么多有趣的段子。但我始终坚持自己的立场。他们在乘法上远远跟不上学校的进度，而我的工作就是帮他们赶上。当他们犯错或犹豫不决的时候，我不会斥责他们，这让他们很惊讶。相反，如果他们离正确答案很接近，我还会将答案如实相告。

“8×7等于多少？”

“50……”老大有些犹豫。

“很好，五十几？”我会鼓励他说下去。

“54。”他冒险猜了个数字。

“很接近，”我说，“56。”

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很多学生都有犹豫不决的习惯，这激起了我的好奇心。不过这也提醒我，学生之所以会养成这种习惯，不是因为懵懂无知，而是因为优柔寡断。要说学生对答案一无所知，我认为是错误的。学习者其实是有许多想法的，虽然实际上这些想法都很糟糕。如果没有足够的知识来驱除心中的迷雾，学习者在面对一个个错误答案时便会无从选择。

我问老大，他说出54的时候，心里在想些什么？这个男孩承认在54之前，他还分别考虑过53、56、57和55，但他觉得51或52都太小了，而58和59又太大了。然后我问他最后为什么选了54，而不是53？他说，考虑到50是100的一半，而问题里8的一半又是4，所以就选了4。

我们继续讨论奇数和偶数的区别。8是偶数，7是奇数。如果我们把奇数乘以偶数，那结果会是什么？老大看起来更犹豫了。我给他举了几个例子。在2×7=14、3×6=18、4×5=20中，每个答案都是偶数。“看得出为什么吗？”老二说看得出，因为与偶数相乘相当于是在配对，2乘以7相当于一对7，4乘以5是两对5，3乘以6则会产生三对3。那么8乘以7呢？老二说：“那表示四对7。”

配对能把奇数变成偶数，让一只袜子变成两只袜子，让3变成6、5变成10、7变成14、9变成18。

8乘以7的迷雾就这么消散了。53这个答案可以马上被排除，当然被排除的还有55和57。现在只剩下54和56了。那接下来要怎么选择呢？我指出，54和60之间差6，而且54和60一样，都可以被6整除。因此，当被问及什么数能被6整除，但不能被7和8整除时，54和60都是正确答案。

通过仔细推理，这些数字淘汰到最后只剩56。56和70差两个7，和80差三个8。于是，8乘以7等于56。

我唯一的成年学生是个染着一头黄铜色头发的家庭主妇。她名字很长，我从没想过有那样的元音和辅音组合。格雷斯在电话中告诉我，这位家庭主妇渴望成为一名专业会计。我心想，这个出发点可不会有什么好结果。她对数学的功利心和我认为数学有趣而富有创造性的天真态度产生了冲突。在我看来，这位女士对于数学的态度是很低级的，就好像她只和攀亲带故的人交朋友似的。

不过很快，我就纠正了对这新学生不公正的错误想法。这些想法来自作为小孩子家教老师的我，但对于如何教导成人，如何满足成人的需要和期待，我一点概念都没有。

有一天我们坐在这位女士铺满白色瓷砖的厨房里讨论负数。就和16世纪的数学家一样，我们觉得负数既“荒谬”又“不真实”。坐我对面的这位女士觉得负数是很抽象的，人们怎么能从虚无中再减去一些东西呢？我试图解释，但却发现自己词穷了。突然间，我的学生顿悟了：

“你的意思是，负数就像*款贷**一样？”

我那时还不知道什么是*款贷**，于是换她解释给我听。我发现对于负数，她知道的比我还多。她的遣词造句背后有着丰富的经验作为支撑，这使我获益匪浅。

又有一次，我们讨论到了“不合理”的分数，也就是假分数（分子比分母大），如4/3或7/4，这让我们又开始从不同的角度来看问题。举例来说，如果我们把1看成3/3，那么4/3就可以描述为1又1/3。我们都同意，7/4相当于两个被切成4瓣、但其中一瓣已经被吃掉的苹果（假设1相当于4个1/4）。

一个小时的课很快就结束了，但我们还意犹未尽。我们继续讨论着分数。如果把一半再分成两半，再两半，再两半，一直分下去会如何？理论上来说，这一过程可以无限进行下去，我们都感到很惊奇。告知对方自己的发现是个很愉快的过程，就像交换彼此的八卦一样。

这位女士对于分数的结论让我终生难忘，她说：

“这世界不存在一分为二后就不复存在的东西。”