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本文介绍6种早期的伊斯兰几何方法，可以用来创建许多二维几何表面设计，相关图案广泛出现在窗户、门、墙、圆顶和天花板上。这些重建是基于对伊斯兰早期发展的方法的分析和研究，特别是在阿巴斯哈里发时期（巴格达为公元750-1258年，开罗为公元1261-1517年），以及在波斯、摩洛哥、叙利亚和摩尔人统治西班牙的相应时期。提出的六种方法是:(一)网格，(二)镶嵌多边形细分，(三)射线，(四)紧密堆积的圆，(五)嵌套多边形和(六)拼块模组。本文还提出了这样一种观点，即由这些方法产生的表面设计并不总是纯粹的装饰——它们可能有其设计方法的逻辑，它们的象征价值，它们的“感性”品质，可能还有它们的数学价值。
介绍
我们今天使用的各种类型的视觉逻辑在很大程度上是由过去做出的选择形成的，这些选择创造了一条从欧几里得和笛卡尔到爱因斯坦的“时空”的概念之路。过去的许多想法与我们已被接受的理解途径以及我们现在的几何和空间概念并不完全契合。当研究过去的思想时，发现跟现在完全不同的古代概念是很迷人的。
这篇文章介绍了6种用于排列二维空间的方法，以及由这些方法产生的表面设计类型；这些方法在阿巴斯哈里发时期（公元750-1258年在巴格达，公元1261-1517年在开罗）以及波斯、叙利亚、摩洛哥和摩尔人统治西班牙的相应时期得到发展。早期的伊斯兰设计师使用经典的欧几里得的点、线、角、长度、网格和多边形来排列二维空间。他们似乎还开发了新的空间排序方法，使用不同大小的紧密堆积的圆，以及预示着分形和矢量的其他方法。
几乎没有什么能让我们真正理解早期伊斯兰几何方法关于建立图形和空间属性的相对位置，更不用说所有设计师都使用相同的方法和概念来创造任何一种类型的表面设计。因此，识别可能的早期伊斯兰二维空间排列方式需要对数百种设计进行分析，对所使用的逻辑进行重构，并对重构的方法进行分组，见[2]。研究包括研究儒勒·布尔戈因(Jules Bourgoin，1879年，见[1]）、阿尔伯特·卡尔弗特(Albert Calvert，1905年，见[6]）、欧文·琼斯(Owen Jones，1856年，见[9]）、托普卡皮卷轴(Topkapi Scroll，15世纪，见[11]）以及研究埃及、伊朗、西班牙、摩洛哥和叙利亚的实际设计。
作者认为，Jules Bourgoin和Owen Jones的作品是建立在方*论法**重构的基础上，因为他们的作品中没有提到来源。Calvert的作品大多是其他人的作品，特别是Bourgoin和Jones的作品，虽然没有得到承认，但仍然令人感兴趣。Topkapi古卷展示了构建muqarnas（位于圆顶和拱门之间的蜂窝状结构）的逻辑，必须被视为15世纪使用的实际方法的真实代表，但是muqarnas最早出现在Topkapi古卷之前大约400年，也就是10世纪，所以Topkapi古卷中揭示的概念可能代表了更早使用的方法，也可能不代表——当然更古老的muqarnas更简单。
几何网格
早期伊斯兰教的第一个也是最简单的排序空间的方法是早在伊斯兰教诞生初期就已经使用的几何网格方法，例如在古罗马，这种方法是基于用方形和等边三角形网格来排序空间，从中提取设计形式。被提取的设计形式通常包含在规则p6m六边形拼块和p4m正方形拼块的边界镜像线内。通常情况下，三角形被旋转、反射和平移以创造表面设计。见图1（a），来自西班牙的阿尔罕布拉宫，公元1238年，也来自伊朗加兹温省的Kharaghan双塔，公元1067年；以及图1（b），来自埃及开罗的Ibn Tulun清真寺，公元884年。
图1: (a)六角箭头设计，(b)星形设计。
镶嵌多边形的细分
Turkey, 1568CE and Figure 3(a) Calvert page 469 see [6], (b) the Alhambra, Spain, 1238 CE.
从设计中提取的第二种空间排序手段——由于其细分的多样性和规模，对伊斯兰教来说更为独特——是用于细分正方形和半正方形的内部空间的各种方法，以及其他多边形排列，包括用网格进行的细分。许多细分方法都是为了产生特定的形式，尤其是玫瑰花。一些细分方法显示了比最初的细分方法更高或更低的细分水平。许多方法涉及到在镶嵌多边形的边上和周围绘制弯曲或分段的线条，以创造具有旋转、反射和平移对称性的新形状。见图2(a) Bourgoin板36见[1]，(b) ) 卡尔弗特第469页见[6]，还有土耳其埃迪尔内的塞利姆耶清真寺，公元1568年和图3（a）卡尔弗特第469页见[6]，（b）西班牙阿尔罕布拉宫，公元1238年。
图2：（a）锁形设计，（b）星形设计。
图3：（a）玫瑰花设计，（b）曲边三角形。
射线法
第三种排序空间的方法——这或许是阿巴斯王朝所独有的一种方法——可以称为“射线”法。这是一种基于从二维空间的不同点延伸出来的线的空间排序方法，这些线根据其交叉点的属性来排序。在这方面，该方法似乎与其他任何方法都非常不同。如果把它带到三维空间，并进一步发展，这种方法可以作为一种手段，以一种新的方式制造空间。
阿巴斯王朝似乎使用了“射线”方法来创造由不同边数的多边形花环组成的设计——可能是为了传达数字的概念。一条“射线”是从一个规则的多边形的中心点向外辐射的线，对称地分割多边形的一个顶点或侧面。一个 "射线核心 "是由分割正多边形所有边和顶点的射线组成。例如，一个十边形有20条这样的射线，但射线核心的数值是基于多边形的'对称线'。因此，十边形的射线核心数值是'10核心'。射线方法首先是将两条射线核心的射线对齐，并确定其他射线的交角——交角点与其他规则多边形的角度对应，可以作为新射线核心的中心点。图4(a)是一个例子，来自开罗Qa'it Bay苏丹的清真寺，公元1474年，从一条10核心的射线开始，其线条的角度为18度，即十边形的角度。在10核心射线中的一条上增加了第二个射线核心，即6核心，其线条的角度为30度，是正六边形的角度。观察10核心和6核心的射线之间的交点的角度，我们发现可以近似地添加一个角度为20度的9核心。9核、10核和6核射线的交点决定了矩形拼块中10核、6核和9核玫瑰花的大小。最终的结果是设计出10边、6边和9边的规则多边形排列。鉴于 "射线"方法在设计中产生了一组数字，那么就有可能一些“射线”设计的数值被用来传达意义，见[12]。如果图4(a)的设计有意义，那么它可能来自于使用阿拉伯文Abjad-Number对应的翻译，如下10 ى(yaa) + 6و (waw) + 9ط (ta) = ط .这是一个辅音“词根”，有一个附加的元音含义，即“两次圣化”，指的是《古兰经》20:12中神圣的图瓦山谷，Lane [10], Vol 5, page 183。另一种可能是数字总数与《古兰经》第25章苏拉及其信息的对应关系。图4(b)显示了一个用10和5个射线核心创建的设计；开罗Qa'it Bay苏丹清真寺，公元1474年。
图4:(a) 10、6、9核心射线设计，(b) 5、10核心射线设计。
紧密堆积的圆
这第四种重建伊斯兰图案的方法提供了一种可以组织和三角化二维空间的手段，在这一点上，它是独一无二的。该方法产生了大小相同和不同的紧密堆积的圆的排列，它们被放置在镶嵌拼块边界对称处（拼块边与边相接，不留空隙），一般是规则的多边形，大部分是平的，但在某些情况下投射到弯曲的表面，如穹顶的外表面。大小相同或不同的紧密堆积的圆是指在切线排列中相互接触的圆。在二维欧几里得平面上没有重叠。这种排列通常包含在规则多边形拼块的边界镜像线内，例如规则p4m正方形拼块的45度直角三角形或规则p6m六角形瓦片的60度-30度直角三角形，见[2]。这样的密合排列是精确的——圆的大小或位置的轻微变化将否定密合排列，见图5、6和7。在不规则镶嵌的正多边形中，有一些早期的伊斯兰案例——如正五边形——允许某些圆圈重叠或不接触，以完成一个镶嵌的拼块，见图8。
紧密堆积排列及其相关的线段（连接圆心、圆接触点以及相同和不同大小的紧密堆积圆之间的空间的线）广泛出现在自然界中，蜂巢和苍蝇的眼睛、原子的堆积，都是如此。几千年来，科学家、几何学家和工程师都知道有限数量的紧密堆积排列；从柏拉图和达芬奇到现代的化学家和分子物理学家，而阿巴斯王朝的不同大小的紧密堆积圆的排列一般都不为人所知。产生这些更复杂的排列方式的方法是逐步改变单位三角形或镶嵌多边形中的一组起始圆的大小和位置，见图5。[5]中提出了这种逻辑，并扩展到紧密堆积的球体，其中线段被用来创建结构。
图5:通过增量改变圆的大小和位置来生成紧密堆积。
连接紧密堆积的圆之间的接触点可以创建内部多边形的排列；连接紧包圆接触点的切线可以创建外部多边形的排列；连接圆心可以创建内部多边形的半径；可以在内部或外部多边形中绘制多边形星星或花环。将图6(a)中紧密排列的圆心连接起来，就形成了半规则的方形和八角形的镶嵌。内部多边形是一个八边形、一个正方形和一个不规则六边形，Calvert第467页[6]。图6(b)所示的设计结合了14边和7边的玫瑰花，来自埃及开罗的Wakala al-Ghuri大旅舍，公元1504年。
图6: (a)正八边形、正方形、不规则六边形，(b) 14边和7边玫瑰花形。
图7的紧密堆积与图5(c)相同，具有规则的八角形和正方形的玫瑰花和“几乎”规则的六边形、七边形和五边形玫瑰花。该设计来自埃及开罗阿米尔·萨尔加米什(Amir Salf al-din Sargatmish) 1356年建造的伊斯兰学校的一个窗户。圆形排列生成了Altair设计的第一本书中使用的图案，参见[7]。
图7:正八边形、正方形和“几乎”规则的正六边形、七边形、五边形的玫瑰花
图8是公元13世纪塞尔柱时期的一扇门的堆积圆设计，其核心数为5和10，见[2]。该门位于土耳其科尼亚的Ince Minaret Medrese（学校）中。这扇门是通往Tekkia（一个通常具有八边形平面的大房间）的，“旋转苦行僧”在那里跳舞。与这个设计有关的数字是5、6、10。
图8：公元13世纪塞尔柱门的设计结构。
在埃及开罗的Sultan Al-Ashraf Qa‘it Bay陵墓的穹顶上，似乎使用了紧密堆积的圆形布置，如图9所示。玫瑰花有16个、9个和10个侧面。这是可能的，就像塞尔柱时期的门一样，堆积的圆和产生的玫瑰花环是有意义的选择。它的意思可能是象征性的，但数字也可能是被选择来通过Abjad数字—单词的方法来传达单词的。应用ABJAD数字词法，对应于16、9和10的第一级字母如前所述：10 ى(ya) + 6و(waw), + 9ط (ta) = ىو ط （从右向左读），一个元音的意思是 "两次神圣"，指的是图瓦的神圣山谷，Lane [10], Vol 5, page 183。接下来的顺序是(100) + wawو(6) + Taط(9) = طوق: (A)脖子上的戒指。(B)像脖子上的环一样的重担子。(C)授予的受惠徽章。(D)上帝加强了我的力量，使我能够承受重担。莱恩[10]，第5卷，第178页。
阿什拉夫·赛义夫·阿德丁·盖特贝(1416/18 - 1496年)是一名奴隶，被带到开罗，并被在位的苏丹购买。阿拉伯奴隶的经典形象是脖子上戴着戒指。阿什拉夫成为了宫廷卫队的一员，后来被释放，然后通过马穆鲁克军阶晋升为陆军元帅，后来成为苏丹。他在*队军**服役期间积累了大量财富，这使他作为苏丹能够在不耗尽王室财富的情况下进行许多慈善活动。他作为艺术和建筑的伟大赞助人而被人们铭记。事实上，尽管卡伊特湾经历了16次军事战役，但他最令人难忘的是他赞助的壮观的建筑项目，在麦加、麦地那、耶路撒冷、大马士革、亚历山大和开罗留下了他作为建筑赞助人的印记。
如果说Abjad的意思是通过数字-单词的关联来实现的，那么上述意思对于Qa'it Bay在开罗的最终安息地来说是完美的。
图9：投影到圆顶上的紧密堆积的圆
嵌套多边形
第五种重新构建的空间排序方式是使用“嵌套多边形”来定位设计元素或创建可从中提取设计的基线网格。这些是相同大小的规则多边形的排列，通过在顶点或边缘连接重复项来创建，以创建可以包含在同一规则多边形的较大版本中的排列。一个例子是一块zellige(异形石头)马赛克，位于摩洛哥非斯Al-Attarine Madrasa庭院的门口一侧，公元1325年，参见图10(A)。设计的花环可以看到被规则的十角形包围着，这些十角形接触并重叠在一个包含十角形的区域内。这种多边形内多边形的排列，通过缩放排列的第一层来创建适合第一层排列的每个多边形的第二层，从而创造了“无限延伸”的可能性——这是一个可以重复的过程。
图10：(A)嵌套十边形，(B)嵌套八边形。
图10(B)是一个镶嵌在Ensor Holliday收藏中的铜盘表面的设计，10世纪，开罗，见[7]。这个设计是按比例排列的“星星”，这是伊斯兰艺术中常见的设计概念。将嵌套多边形方法应用到设计中，作者发现它恰好适合于由八个大小相同的规则八边形包围的规则八边形的按比例重复范围内，其中周围的八边形每个都在每隔一个顶点连接到中心八边形，参见图11(A)。图11(A)、(B)和(C)所示的八角形嵌套排列遵循1/(√2+1)的比例比例。八边形的大小根据级数的阶段(N)和比例比(1/(√2+1))n减小，其中单个八边形的n值为0，第一阶段(图11(A))的n值为1。
一旦创建了多边形的嵌套排列，它的线条就可以充当一种基本网格，图像可以在其上定位、“看到”或创建；所有这些都是成比例的，并且都遵循网格的线条。网格中的线条越多(如图11(C)所示)，可以定位、“看到”或提取的图像的可能性就越大，多样性也就越大——只要想象力允许。就能做到。
图11(d)展示了如何从嵌套网格中提取传统伊斯兰设计，但此处将它创造性地着色。
图11:(a) n=1八边形，(b) n=2八边形，(c) n=3八边形，(d)传统伊斯兰设计。
拼块模组
第六种伊斯兰教的空间排序方法不是伊斯兰教所独有的，可以从中组成或提取设计是基于这样一个事实，即许多规则和对称的多边形拼块将以多种方式组合在一起，边缘对边缘。例如，具有45º-135º度菱形的正方形。一个相当常见的阿拉伯设计技巧是以创造性的方式组合这种类型的多边形——用纯色或内部设计结构。例如，见图12（a）、（b）和（c）。图12(d)是用同样的两个多边形制作的形状变化的多面体，见[4]。
图12：（a）岩石穹顶，（b）伊斯兰之星，（c）Takht-e Soleyman muqarnas（d）变形多面体
菱形和正多边形组合在许多早期的Murqanas(从2D到3D的过渡设计结构)和作者开发的形状变化多面体几何中都有特色，见[4]。
15世纪的波斯Topkapi卷轴，包括使用模块化设计系统的变体的设计，并使用5种不同的多边形（作者增加了一个36度的菱形，使之成为6个），每个多边形都有一个内部设计结构，当多边形被组合时，会产生复杂的图案变化，见图13。这些拼块可以以不确定的方式组合，细分后可以创造出类似于罗杰·彭罗斯的准晶体瓷砖。
图13：Topkapi拼块
结论
许多伊斯兰教的设计创造了一种效果，图像似乎在“心目中”发生了变化，我想这是否是为了刺激人们的感知。本文所探讨的各种类型的几何概念当然可以锻炼人的想象力以及逻辑思维。如果确实使用了数字词的联想，那么另一个层面的交流可能已经交织在伊斯兰教的设计中，传达了值得深思的想法。除此以外，我们还有象征性的形状，象征性的颜色，甚至与某些设计相关的仪式和舞蹈。因此，说真的，根据欣赏者的眼光，早期伊斯兰教的几何设计以多种方式进行交流。这方面的一个很好的例子一块公元18世纪的博卡拉祈祷毯，图14。该设计围绕着一个由八角形和正方形组成的扭曲的方块，上面有花园、水池和树木的图像。
图14：Bokhara祈祷毯，18世纪
References参考文献
[1] J. Bourgoin. Les Arts Arabs . https://archive.org/details/LesElementsDeLArtArabeBourgoin, 1879 .
[2] R. Burrows. 3D Thinking in Design and Architecture from Antiquity to the Present. Thames and Hudson Ltd., 2018.
[3] R. Burrows. Animations. http://rogerburrowsimages.com/think-3d/supplement/ pp. 271-293.
[4] R. Burrows. Shape Changing Polyhedra. http://archive.bridgesmathart.org/2016/bridges2016-225.pdf. Bridges MathArt, Jyväskylä, Finland, 2016.
[5] R. Burrows. A Design Method Based on Close-Packing Circles and Spheres of Multiple Sizes for Designers and Architects. Bridges MathArt, Stockholm, Sweden, 2018.
[6] A. Calvert. Moorish Remains in Spain. https://archive.org/stream/moorishremainsin00calvrich. The John Lane Company, 1905.
[7] E. Holiday, R. Burrows. Altair Design Pattern Pad: Bk 1. Wooden Books, Bloomsbury, 2009.
[8] E. Holiday, R. Burrows, R. Penrose, et.al. Crystal Cave. Wooden Books, Bloomsbury, 2015.
[9] O. Jones. The Grammar of Ornament . Day and Son Ltd., 1856.
[10] E. Lane. Arabic-English Lexicon . http://www.tyndalearchive.com/tabs/lane/, 1863.
[11] Unknown. The Topkapi Scroll . The Topkapi Palace Museum Library, 15th Century CE.
[12] Shah. The Sufis. ISF Publishing, 1964.
[13] Roger Burrows. Reconstructing Early Islamic Geometries Applied To Surface Designs
青山不改，绿水长流，在下告退。
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