2 数学的特点
下面我想跟大家谈谈数学的几个特点。这也是从广大网友之前的留言中总结出来的。实际上数学特点非常多，我就挑以下五个关键词给大家讲讲：美丽、真理、有趣、真难和智慧。
2.1 数学之美
第一个讲的关键词是数学的美。首先我们来看一下。几乎所有的数学家都认为数学是美的。我举个例子，著名数学家巴拿赫说"数学是最美的，也是最有力的人类创造。"可见他对数学评价之高。
巴拿赫(Stefan Banach,1892-1945)
大家再看看数学的一些图形的美丽。第一排中间两个是达芬奇的画。下面是一些几何图形，有分形，也有几何的图案。
对称之美
数学的美有很多种，其中之一就是对称之美。前段时间，北大的张继平院士《开讲啦》讲了对称之美。对称显然是美的形式之一，在数学中对称随处可见。大家可以看到在下面的中间，是小学生都能看懂对称图形。最前面这个是对称多项式。
亚里士多德说数学为什么美的时候，谈了数学的几个要素。一个就是对称，当然他也谈到了序和限制。
亚里士多德（Aristotle，384BC-322BC）
比例之美
数学的另外一个美是比例。数学中有很多漂亮的比例。我这里只跟大家讲一个：黄金分割。黄金分割比例是(√5−1)/2。它实际上在古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中称作"中末比"。即一个线段分成长的和短的两部分，短的比长的等于长的比整个线段。
著名的画家达芬奇在画画的时候，大量用到这个比例。大家可以看到《蒙娜丽莎》中，眼睛到下巴的高度比上整个头的高度正好是黄金分割比例。如果把眼睛到下巴当作整个距离，嘴巴也刚好在黄金分割点。
实际上达芬奇肯定不是第一个用这个比例的，雅典的一个神庙建筑也大量使用了黄金比例。屋檐的高度跟整个庙高度的比是黄金分割比。这个建筑物的宽比长也是这个比例。
除了达芬奇和这个古希腊的这个建筑，很多人都推崇黄金分割比例。著名的天文学家开普勒(Johannes Kepler, 1571–1630)曾认为几何中有两大美女，一个就是黄金分割，另外一个是大家都知道的勾股定理。
开普勒(Johannes Kepler, 1571–1630)
简洁之美
数学的另外一个美是体现在它非常简洁。这里我给大家列下面四个数学公式，他们看上去都非常简洁，却都刻画了非常深刻的数学原理。
比方说第一个欧拉公式，非常简洁，非常漂亮，也非常神奇。它用到了数学最著名最重要的一些常数或记号。是欧拉常数，也是自然对数的底。是虚数。π是我们刚才谈到的圆周率。1 是最基本的数。这四个东西和加号，等于号和 0 一起构成一个完美的公式。
ⅇ^i*pi + 1 = 0
牛顿定律是力学中最基本的定律。
F=ma
欧拉点线面公式，也很简洁，也很神奇。一个多面体的顶点个数减去线条个数，再加上面的个数永远等于 2。
V − E + F= 2
麦克斯韦方程，大家可以看到这么简单的一个方程，居然把电磁学的原理都刻画出来了。
神奇之美
另外一个数学的美，也就是非常神奇。首先是勾股定理。如下图所示，正整数的勾股对有无穷多对。
但是费马大定理告诉我们，当大于 2 时，没有正整数解。费马是一个非常神奇的人。他并不是职业数学家，他本职是个律师。他 30 岁就当议员，47岁就是地方议会的终生议员。他也一直是业余研究数学，却提出了伟大的费马大定理。
费马（Pierre de Fermat，1601-1665）
另外一个神奇的数学猜想是哥德巴赫猜想。由于陈景润的工作，哥德巴赫猜想在我国我们这代人几乎家喻户晓。
哥德巴赫猜想:任何大于 4 的偶数可写成两个素数之和。
哥德巴赫也是个业余数学家。他出生普鲁士柯尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒），欧拉七桥问题就发生在这个城市。所以哥德巴赫是出生在一个有数学文化的城市。他 35 岁就是圣彼得堡皇家科学院的数学和历史教授。三年后去莫斯科当沙皇的私人教师。相当于过去在我们紫禁城里当皇帝的老师。他四年以后就一直在俄国外交部任职。所以他也一直是业余研究数学。
哥德巴赫（Goldbach，1690-1764）
哥德巴赫猜想是他在外交部任职时给欧拉写信时提出的。当然很遗憾，这些数学结果到目前为止都还没被证明。陈景润证明了"1+2"，也就是一个大的偶数，都可以写成一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和。
干净之美
数学的另外一个美丽就是它的干净。数学证明必须坚实、干干净净，没有任何瑕疵。英国哲学家、医生、自由主义之父约翰.洛克有着非常著名的著作，包括《人类理解论》和《政府论》。他的理论应该说激励了美国革命和法国大革命。对美国宪法和《独立宣言》都有着极大的影响。
约翰.洛克（John Locke，1632-1704）
就是这么一位著名的哲学家和思想家，把数学的证明说成是像钻石一样的美，所谓的美丽就是又坚固、又漂亮，又干干净净。
John Locke :Mathematical proofs, like diamonds, are hard and clear, and will be touched with
nothing but strict reasoning.
极美、高冷
数学还有一个美的特点是它像一个高高在上的，对别人都很冷淡的素颜的美人。这话的原话可以追溯到罗素。
罗素（Bertrand Russell，1972-1970）
罗素是英国的哲学家，也是数学家，而且他是一个获得过诺贝尔文学奖的数学家。他说数学冷得像个雕塑。在他的眼里其他的艺术，包括舞蹈，音乐等都比不上数学。只有雕塑才能跟数学这种极美相比。
Bertrand Russell:Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty -
a beauty cold and austere, like that of sculpture, ... ... such as only the greatest art can show.
2.2 数学之真
第二个关键词我想跟大家谈谈数学的真。
公理化
数学为什么真呢？数学做什么事情一定都要讲道理，从什么东西推导什么东西。但是往回推导的话总要有一个基础。所以数学家他干什么事情都要有公理化。
大家知道平面几何，有欧几里得的五条公理。欧几里德是一个古希腊数学家。这里还有个有趣的故事。欧几里得在给托勒密一世讲几何的时候，国王问他学几何有没有捷径。欧几里得有一个非常漂亮的回答。他说通往几何的途中，没有为国王专门铺设的平坦道路。
欧几里德(Euclid，约 330BC–275BC)
集合论里有 ZF 公理体系。所以数学家要建立数学理论，一定要基于公理。这么来说数学实际上也是一种信仰。数学家大多都是有理想，有信仰的。就像我一样，是一个*产党共**员。
我再给大家举几个是*产党共**员的数学家的例子。一个是李天岩教授。李天岩教授祖籍湖南，出生在福建。两三岁就跟着国民*党**撤退去台湾。他在台湾长大，台湾清华大学毕业。后来在美国终身执教。他曾经说过这样的话："如果年轻人不相信*产党共**，说明你这个人根本是没心的"。
李天岩（1950-）
李天岩:When you are young, if you do not believe in communism, you do not have a heart!
另外一个教授是美国著名数学家斯梅尔。他也是个非常厉害的数学家，他获得过菲尔兹奖。他年轻的时候也是美国*产党共**员。
斯梅尔(Steven Smale,1930-)
下图中与我合影的是 Maculan 教授是巴西的*产党共**员。他曾经当过里约热内卢大学的校长，也是巴西高等教育部的部长。
Maculan（1943-）
数学家因为相信这些公理体系，往往是有信仰的。所以数学家中有信仰的人还是非常多的。
逻辑严谨
下面再讲另外一个数学的真，就是逻辑严谨。我引用爱因斯坦的一段话："纯数学完全是一本逻辑的诗歌"。可见，没有逻辑那就根本不叫数学。
Albert Einstein:Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
大家看到我在给一些名人照片时，都会标注他们的出生年份和去世年份。大家注意到没有，数学家都是长寿的。爱因斯坦我不仅是给了他出生的年份，还给出了日期。大家发现没有今天（3 月 14 日）是爱因斯坦的生日。
爱因斯坦（Albert Einstein，1879.3.14-1955）
证明严格
数学的另外一个真是数学证明严格。数学的证明一定是绝对的严格，容不得任何含糊。他不像有些学科，稀里糊涂就过去了。我这里引用安德烈·韦依的话："严格之于数学家，就如道德之于人"。
Andre Weil:Rigour is to the mathematician what morality is to men.
安德烈·韦依是法国数学家，也是布尔巴基学派的创始人和早期的领导者。他在数论和代数几何都有基础性的工作。他还有个妹妹是著名的哲学家。一家都是厉害的人。
安德烈·韦依（Andre Weil，1906-1988）
2.3 数学之趣
再想跟大家谈谈数学的另外一个关键词，就是趣。
好玩
数学的趣，我再引用一下我国近代史上著名的数学家陈省身说过的话：
陈省身:数学好玩，玩好数学。
陈省身(1911-2004)
数
我们来看看数学为什么好玩。数的本身就很好玩，今天因为时间关系，实际上你随便给我一个数，我都可以会讲这个数字的故事，它很好玩。大家知道数有很多的数列，等比数列、等差数列、斐波那契数列等等。
数还可以排成一个方阵，在中国古代就洛书河图，还有世界的方阵，这些数排起来都可以非常好玩。
大家还有一个感兴趣的倍数和约数，例如：
3 的倍数各位数之和也是 3 的倍数
9 的倍数各位数之和也是 9 的倍数
当然还有素数，就是只能被它自己除不能被别的比他小的不是 1 的数除的数。
2，3，5，7，11，13，17，23，29，31，37，41，43，...
还有很多特殊性质的数，例如完全数。完全数是什么东西呢？就是一个数，它所有的除了自身以外的约数的和恰好等于它本身。比如说 6 和 28。
6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
还有别的完全数，比如 496、8126、33550336 等。
关于数的研究是非常可观。大家记得刚才讲过高斯说"数学是科学的皇后"，其实后面还有一句："数论是皇后上的皇冠"。
高斯（1777-1855）
所以研究数论那些问题都好玩。哥德巴赫猜想刚已经说了，再举一个例子就是孪生素数猜想：
存在无穷多个素数, 使得也是素数。
例如下面的例子：
(3,5), (11,13), … (82811,82813), …，(99989,99991)
所以孪生素数猜想就是不管你这个数多大，后面总能找到两个挨在一起的素数。这个很神奇。
这个猜想目前还没有数学家证明。但是高兴地告诉大家，华人数学家张益唐在这个问题上做
出了历史性的突破。
张益唐（1955-）
另外一个关于数的有趣问题是 3X+1 猜想：
任给一正整数，如果是奇数就乘 3 加 1，如果是偶数就除以 2，一直下去，最终一定会变成1。
几何
数学还有一个有趣的事情，几何非常有趣。很多中学生对数学感兴趣是在初等数学中学习了几何后。他们觉得做出辅助线很漂亮。
我再给大家讲一个例子，就是所谓的"五点共圆"问题。就是你随便画了一个五角星，它上面有五个顶点，这五个小三角形都可以做一个圆。每两个圆在外面都会有个交点。这 5 个点相连就是一个圆，这很神奇。
形
数学有趣还包括它的形状非常有趣。比如说，正多面体，也就是每个面一模一样的多面体，这个多面体在三维空间中只有五种——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，别的形状你也找不到。
还有一个非常有名的叫莫比乌斯带，是德国数学家莫比乌斯的姓取的。
莫比乌斯（August Mobius，1790-1868）
莫比乌斯带
我随便给大家拿一张纸看看，一般都有正面和反面，如果一只蚂蚁在正面，它不会翻跟头的话，它到不了另外一面。但是如果把这个蚂蚁放在莫比乌斯带的话，它只要在上面爬任何一面它都能爬到。也就是它只有一个面，没有两个面，神奇吧！
概率
数学还有一个有趣的就是概率或者随机。有很多喜欢数学的人会经常问一些关于概率的问题。我这里跟大家一个非常著名的布丰投针问题 。布丰跟好多业余数学家一样，大学也是学的法律。
布丰（Georges Buffon，1707-1788
他提出的投针问题讲的内容是：
在平面上画一些距离为的平行线，向此平面任投长度为($l<d$)的针,则针与平行线相交的概
率是 $2l/dπ$。<="" p="">
布丰投针问题
这个结果是不是很神奇？所以同学们可以看到，数学的确有非常非常有趣的一些现象。当然，这些有趣数学家都是可以证明出来的。
极限
数学还有个有趣的是求极限。上过大学的人都知道很多非常有趣的极限题目。其中一个就是洛必达法则。
洛必达法则讲的是如果两个函数都趋向于无穷大的话，就像我们每个人只要我们能够活得无穷久，我们可以不断地学习，我们的知识都会趋向于无穷大。但是两个人相比呢？知识都趋向于无穷大，知识相比，比的是什么东西呢？比的是他们的导数。导数就是增加的速度。也就是说，长跑比的不是起跑线，比的是速度。所以我非常不赞成很多地方大家都说不能输在起跑线上。因为我非常爱长跑，长跑不在于起跑线，而在于平均速度。
所以还在小学的同学们不要在乎起跑线，只要将来速度快就行了。当然在数学上求极限，这个叫做洛必达法则。
当然洛必达法则并不是洛必达发现的。约翰·贝努里发现了这个法则后写信告诉了洛必达。洛必达将之写进自己的书中。因此大家称之为洛必达法则。约翰·贝努里也有一个得意的地方，就是最伟大的数学家之一欧拉就是他的学生。
洛必达（L'Hospital，1661-1704）
约翰·贝努里 （Johann Bernoulli ，1667-1748）
旋
数学还有很多很多有趣的地方。但是因为时间关系，我也不能一直讲下去。我再讲一个生活上的事情，比如一个人头顶上为什么会有旋？这个数学家也可以用向量场来解释。关于这方面的数学定理大学数学系的学生大概都知道。
2.4 数学之难
再一个想和大家讲讲数学的难。这个在座大部分观众都会同意，因为我在这个报告开始之前进行了*意民**调查，大家都说数学很难。我放了几张照片，这些照片都是在网上*载下**的，大家看到不同阶段的，从小学到初中到大学甚至到做研究，大家都说数学太难了。
语言难懂
为什么数学难，我想有很多原因，其中一个就是数学的语言难懂。为什么呢？数学的语言让外行不易理解。著名天文学家哥白尼就说数学就是为数学家写的，别人看不懂。
Nicholaus Copernicus:Mathematics is written for mathematicians.
哥白尼（Nicholaus Copernicus，1473-1543）
著名德国文学家歌德，他说数学就像法国人。法国和德国不对付，不把它翻译成自己的东西，你就看不懂。
Goethe:Mathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into their own language and forthwith it is something entirely different.
歌德（Goethe，1749-1832）
证明复杂
数学难还难在它的证明很复杂。这是一个著名的数学家 Polya 说的。他是匈牙利数学家，他说这样一个很明显的事情，要用一个非常不明显的方式来证明。
George Polya:Mathematics consists of proving the most obvious thing in the least obvious way.
George Polya (1887-1985)
内容抽象
数学难还难在它的内容非常抽象。因为它高度抽象，让大众很难理解。我刚才谈到费马大定理，说起来小学生都知道。关于的方程，当整数时没有正整数解。去看 Andre Weil 证明这个定理，大家有几个人能看懂？我再把他那个论文展示出来，我相信大部分人都看不懂。反正我是看不懂，所以大家看有多难。
不同的内容
数学难还有一点大家知道为什么难，是因为它给我们留下陷阱。它都叫数学，但是不同的阶段学的数学完全不一样。
你看小学生的数学学数，中学时候的数学学几何方程，大学数学学几何，到研究生阶段大学学不好就更不好懂。就像学骑车似的，你看小朋友骑三轮车，中学生骑个自行车，大学生玩杂技。
所以大家知道为什么数学难。那是因为我们都用了数学这个称谓，但是实际上内涵完全不一样，所以它就很难。
2.5 数学之慧
接下来给大家讲讲数学的慧--智慧。
聪明
数学一定要非常聪明。大家看到下面这个照片是菲尔斯奖奖章。正面有一个人头像，这是阿基米德。它上面有一行拉丁文，它的意思是超越人类极限，做宇宙的主人。所以数学家一定是绝顶聪明。
这个报告开始之前有观众说数*联学**想到的就是秃子。我开始没想到，所以在网上我查到一张这个动漫说上了 12 年的数学，只记得数学老师是个秃子。但是我好像想了想，我周围的数学家没有几个是秃子。我去查阅有名的数学家，几乎一个都没找到。我费了九牛二虎之力终于找到一个古希腊公元前 200 多年前的数学家，我看他的画像是个秃子。大家一定要记住大部分的数学家都像我一样，不是秃子。
Eratosthenes，(约 276BC-192BC）
思考
学数学需要思考。现在我们在防疫的过程中，大家都留在家里。大家知道牛顿发现了万有引力定律。就是也是一样在欧洲的黑死病，剑桥大学不开了。
牛顿（Newton，1643-1727)
同学们，现在你们那个时候牛顿一模一样。牛顿就回家了，就是号称这棵树下，苹果砸了他的头。所以各位同学们，家长也可去到那个树底下看看有没有苹果砸一下头。
想象力
数学对想象力的要求非常高。刚刚我讲了爱因斯坦，爱因斯坦还有一个有名的名言："想象力比知识更重要"。
另外一个数学家，摩根，他是英国的数学家，也是个逻辑学家。他说过，推动数学的力量不光是推理，更重要是想象力。可见想象力对数学的重要。
Augustus De Morga:The moving power of mathematical invention is not reasoning but imagination.
摩根（1806-1871）
直觉
想象力对数学很重要，但是数学的重大发现，往往它是要无中生有，所以直觉也非常重要。这个 Klein 是德国数学家，可能不是很多学生知道这个名字，但是他的老师是利普西斯。Klein,他说数学最重要的推动不是严格的证明，而是直觉。
Felix Klein:Mathematics has been most advanced by those who distinguished themselves by intuition rather than by rigorous proofs.
Felix Klein（1849-1925）
天赋
数学需要天赋，它是智者的游戏。不少的数学家都很有天赋，刚刚我在第一页讲数学定义，说了哈尔莫斯。他实际上他也是逻辑学者，他说对数学来说，天赋是非常重要，也就是说很多数学家是天生的。
Paul Halmos:To be a scholar of mathematics you must be born with talent, insight,concentration, taste, luck, drive and the ability to visualize and guess.
Paul Halmos（1916-2006）
另外，我引用一个是著名的以色列作家梅厄·沙莱夫的话。他说，数学是人类思维的顶峰。可见他对数学的天赋是有很高的评价。
Meir Shale:Mathematics is the summit of human thinking. It has all the creativity and imagination that you can find in all kinds of art, but unlike art-charlatans and all kinds of quacks will not succeed there.
梅厄·沙莱夫（Meir Shale，1948-）
努力
说了这么多数学需要聪明，那我不聪明是不是不能学数学？千万不要这样。学数学天赋虽然很重要，但是更重要的是努力。我们国家现代数学、现代科学史中，伟大的科学家华罗庚曾经说过这样的话，"聪明在于勤奋，天才在于积累"。所以大家一定要记住，只要你努力是可以成为数学家的。
华罗庚（1910-1985）
本文转载自微信公众号《数据人工智能》