今天晚上火热的卡塔尔世界杯就迎来了决赛，今年最大的看点莫过于是阿根廷复仇成功？还是法国卫冕冠军？
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作为一个假足球粉，朋友圈里世界杯的赛事咱也看不懂，咱也不敢问。 我认为早餐加点酱油更好， 所以从今天开始好好学物理吧！
Part I 弯曲的面藏不住我想穿越的心
小编已经三天三夜没有 合眼了，每天盯着足球想着总得和大伙说点什么，可是话总得有个头啊，想来想去只有四个字： 非欧几何！
众所周知，在平面中从一个点辐射几条直线，形成的角的和总是360度。由于六边形的内角为120度，所以只用 正六边形就可以铺满整个平面 。而用正六边形和正五边形就无法铺满平面。
但是我们观察一下足球的构造，可以发现，足球是由正五边形和正六边形拼接而成，也就是说足球上一个 “顶点”周围的角的和小于360度 。这是在平面几何中无法理解的存在。我们称之为 非欧几何 。
在了解这个概念之前我们先回顾一下“欧氏几何”，欧几里得在 几何原本 中提出了五大公理[1]：
1，由任意一点到另外任意一点可以画直线
2，一条有限直线可以继续延长
3，以任意点为心及任意距离可以画圆
4，所有直角彼此相等
5，同一平面内一条直线与另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两个直角和，那么这两条直线必相交。
第五公理也可以表述成过直线外一点只能做一条不与其相交的直线，即只有一条平行线，所以第五公理也被称为 平行公理 。
公理不需要证明就可以认为是正确的。但是由于第五条公理如此复杂，许多年来几何学家就质疑第五公理是不是真正的公理。
在对第五公理质疑的过程中，19世纪，俄国数学家 罗巴切夫斯基 和匈牙利数学家 鲍耶 分别独立提出了后来被称为 双曲几何 （罗氏几何）的几何定理体系，从而发现 第五公理不能被证明 [2]。
在一个 双曲曲面 中，平行线对应于平面中一对 双曲线 。可以发现在这样的曲面中过直线外一点可以做 无数 条不与其相交的直线。
随之德国著名数学家 黎曼 （就是那个大名鼎鼎的黎曼猜想） 又创建了 黎曼几何 。其最简单的模型是 椭圆几何 ，也就是在一个椭圆平面中不存在不相交的直线。也就是说 椭圆几何中不存在平行线 。
图片来源：参考文献[2]
罗氏几何和黎曼几何是最典型的非欧几何，但是从广义上讲，所有不符合欧几里得五大公理的几何都可以被称为非欧几何。
关于曲面上的几何学，最著名的讨论莫过于三角形内角和是不是180度。
著名数学家高斯也曾经做过实验，他曾经测量三个山峰组成的三角形的内角和，可惜由于精度不够所以没法验证。
黎曼提出的 流形和度规 的概念可以从理论上来计算这个问题。
所谓流形，通俗上可以理解成一个 具有一定维度的光滑空间表面 ，比如 直线和圆 是一维流形，平 面，球面，环面 这些属于二维流形[2]。
度规则是用来计算流形中 弧长、角度、面积 等数值。
不同曲面上三角形内角和 来源：参考文献[2]
再后来，爱因斯坦提出相对论，由于在相对论中，除了三维的 位置变量 ：（x，y，z），时间的维度也要计算进去。
所以，相对论中采用位置和时间的 四维空间（x，y，z，t） ，在四维空间中计算得到两点间的距离为时空间隔。
在广义相对论中，则是利用 四维洛伦兹流形 模拟时空。物体的 引力场则引起了时空的弯曲 ，所以 黎曼几何 也就成为了 描述弯曲时空 的有力工具。
Part II 长成一个超导体又不是我的错
非欧几何我们先浅尝辄止，怎地我一个学凝聚态物理的小编不聊点凝聚态物理倒显得委屈了它。
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在微观世界中，有一种长得和足球一模一样的分子，被称为足球烯，它是由60个碳原子组成的球形分子。也被称为 富勒烯、 C60 。
富勒烯（C60）图片来源：参考文献[3]
固相的C60结构最早由 Krätschmer 等人于1990年合成[4]。
单纯的C60本身是一个绝缘体。但是 Stephens 等人随后通过在C60中 掺杂K原子 ，合成了 K3C60 ，发现其在 18K 温度处产生 超导特性 [5]。
K离子分布在C60分子的 间隙 之中，为整个分子导电提供了电子。
K3C60的结构，空心和阴影的球体分别代表K在四面体和八面体中的位置。图片来源：参考文献[5]
随后人们在C60中掺杂不同的 碱金属原子 ，或者施加 压力 制造出了大量的超导体。但是以C60为基础的超导体仍属于 BCS理论 预言范围内的 常规超导体 ，所以其超导温度无法突破 40K [6]。
自1911年 Onnes 首次将 氦气液化 并发现 汞的超导性 以来，寻找具有更高 超导转变温度 的超导体是百年来无数物理学家的追求。
超导磁悬浮
以C60为基础的超导体实际上属于 有机超导体 的分类。也就是由 有机分子 组成的超导体。
除了像C这样复杂的分子以外，也可以通过将普通的 石墨掺杂碱金属原子 ，或者通过 堆叠苯环 的方式来构造碳基的有机超导体[6]。
在石墨中掺杂碱金属原子（红色圆球），来源：参考文献[6]
还有一种有机超导体是由 Bechgaard 首先发现的一类被称为 Bechgaard盐 的化合物，其特征为结构上是 一维的化学聚合物 ，带有 苯环 基团，由 分子链 上的某些部分提供电子导电[7]。
更多的有机超导体表现出了复杂的 相图 ，比如随外界 压力、温度、磁场 的变化导电维度会从 一维导电变化到二维、三维导电 ，在低温下又是完全的超导体[6]。
有机超导体的相图，来源：参考文献[6]
如何解释有机超导体的复杂相图乃至其微观超导机理，目前也是超导物理学的最前沿的难题之一。
Part III 平凡的布料拼接出不平凡的我
众所周知，足球是由20块白色的正六边形和12块黑色的正五边形拼接而成。
如果我们将这些不同颜色和形状布料看成不同的原子或分子，这不是原子世界的 团簇 嘛！
团簇是由 数个到数千个原子、分子或离子 结合组成的相对稳定的 微观或亚微观 结构。
原子团簇 来源：百度百科
团簇所处的物质层次介于原子、分子和宏观物体之间，可以认为是 第五种物态 。（Ps：其他四种物态：固体、液体、气体、等离子体）
团簇最早是在1956年由 BecKer 等人通过 超声喷注加冷凝 的方法获得的，他们合成了 Ar和He 原子团簇[8]。
上世纪八十年代以后，由于 扫描隧道显微镜 (STM)的实现，团簇作为作为 纳米尺度 的物质逐渐受到广泛关注。值得一提的是，我们前面提到的 C 的发现更是丰富了团簇的研究范围。
组成团簇的原子、分子一般通过 金属键、离子键、共价键、氢键以及范德瓦尔斯力 结合在一起。这些力的本质都是原子间正负电荷间的 库伦吸引力 。
根据此我们知道，当结合在一起的 粒子数目非常多 （~10的二十三次方量级）时，就变成了我们熟悉的可以用肉眼观察到的的宏观物体。
由于组成团簇的粒子数目很少，所以 粒子数目 会对团簇的 能级或能带结构 有更明显的影响，因而会具有与宏观物体不同的 尺寸效应 。
比如说，随着团簇尺寸的减小，金属的 连续能带变成准连续直至离散的能带 ，从而导致其由 金属变成半导体或绝缘体 [9]。
对于一个团簇来说，在更小的尺寸下，集中在 表面 上的原子更多。
由于处于表面上的原子有一侧没有和其他原子配位，所以 表面原子具有更高的能量 ，更容易与其他原子结合。所以团簇具有很强的 吸附性以及催化特性 。
团簇表面原子没有配位的化学键，表面原子具有更高能量
制备团簇的方法一般有 气相法、液相法和固相法 [9]。
气相法就是先将物质变成气体，使之在气体状态下发生 物理、化学变化 ，再通过 冷却 过程凝聚成 纳米大小 的微粒。
液相法则是通过 化学反应 ，选择合适的 盐类化合物 ，配比成溶液使各元素处于 离子状态 ，再通过 沉淀或结晶 的办法获得超微颗粒。
固相法则是通过固相到固相的变化，通过 切割、球磨 等方法将大块粗颗粒微细化。
团簇的研究和纳米科学紧密相连。团簇可以用来制造 微电子 、 光电子 器件，发展 集成电路 ，开展 量子效应 的研究。
Part IV 滚来滚去还能这么有理？
在足球比赛中，带球传球都是很重要的技术。
踢球过程中脚与球之间的 弹力本质上是原子间的排斥力 ，属于 电磁相互作用力 。
具体到微观，就是电子与电子、质子与质子之间的库伦排斥力，电子与质子之间的库伦吸引力。
电磁相互作用过程就和传球一样，是两个粒子之间 交换了一个光子 。描述这个过程的理论被称为 量子电动力学 （QED），是由 费曼，施温格和朝永振一郎 于1940年提出。
电磁相互作用过程可以由简单的 费曼图 来描述。下图为电磁相互作用最基本的过程[10]。这个图描述的意思是一个电子进入相互作用状态， 辐射或吸收一个光子 ，然后离开。在任何费曼图中， 一个顶点就代表一个粒子 。
电磁相互作用基本过程费曼图，来源：参考文献[10]
根据这个基本过程，只要知道 相互作用前后粒子的数量和特性 ，通过 组合基本费曼图 ，就可以得到所有电磁相互作用过程的费曼图。
我们可以画出两个电子之间的 库伦排斥过程 ：左边两个电子进入，交换了一个光子，然后离开，实现了电磁相互作用过程。这个过程在QED里也叫 穆勒 散射 （突然心肺一停） 。
电子间的库伦排斥过程 来源：参考文献[10]
如果左边的电子箭头是 向左的出射方向 ，则代表一个电子的 反粒子 ，也就是一个带正电的电子。
比如下图描述的就是一对 正负电子相遇后湮灭成两个光子 。注意正反粒子的湮灭不可能只生成一个光子，因为不满足前后作用过程中的 动量守恒 。
正负电子的湮灭过程，来源：参考文献[10]
除了 电磁相互作用 之外，自然界还存在其他三种基本相互作用力： 万有引力，弱相互作用，强相互作用 。
我们知道原子核由 质子和中子 组成，质子需要克服相互之间极强的库伦排斥力，以及需要和中子束缚在一起，则需要通过 强相互作用力 。
质子和中子更本质上是由 夸克 组成。而夸克具有 电荷、颜色、味道 。 （味道？好吃？好耶！呀吼！）
其实这只是为了区分不同的 自由度 来做的方便命名。就像我们常见的 物体有动量、质量 等不同的特征一样。
强相互作用力的本质就是 夸克颜色之间的相互作用 ，通过交换一种名叫 胶子 的基本粒子完成。就像电子之间交换光子一样。其基本过程为： 夸克-夸克+胶子 。
描述强相互作用过程的理论叫做 量子色动力学 （QCD），最早由 汤川秀树 做了一些先驱性工作。
强相互作用基本过程的费曼图，g为胶子，q为具有特定颜色的夸克，来源：参考文献[10]
同样的，根据这个基本过程我们可以画出 两个质子之间的强相互作用过程 ：
质子间的强相互作用过程，一个质子由两种颜色（u，d）的共三个夸克组成，来源：参考文献[10]
而 弱相互作用 主导的过程一般都是 生成了新的粒子 。比如说在核反应的过程中 一个质子衰变成了一个中子 。
弱相互作用的基本过程分为 不带电的弱相互作用 ，也就是电荷守恒的过程，通过交换一个 Z玻色子 。
不带电弱相互作用基本过程的费曼图，Z为交换的玻色子，来源：参考文献[10]
其次是电荷不守恒的 带电弱相互作用 ，通过交换一个 W 玻色子 。
注意这里说的电荷不守恒只是在相互作用前后电荷不守恒， 费曼图中每个顶点处都是电荷守恒的 (包括颜色、味道) 。除此之外， 带电弱相互作用过程还会改变夸克的味道 。
带电相互作用基本过程的费曼图，来源：参考文献[10]
除此之外，引力在理论上是通过交换引力子来实现的。
费曼图帮助我们把基本粒子相互作用过程中的具体细节呈现出来，可以大大方便分析和计算过程。
原来除了香蕉球以外，足球中还藏着这么多有趣的物理呀！
今天又是脑洞大开的一天呢！
参考文献：
[0] 封面图片来自网络
[1] 几何原本，兰纪正，周恩宽译，陕西科学技术出版社，2003年第2版
[2] 维基百科-Non-Euclidean_geometry
[3] Superconductivity in fullerides, O. Gunnarsson. Reviews of Modern Physics, Vol. 69, No. 2, April 1997.
[4] Solid C60: a new form of carbon, W. Krätschmer et al. Nature, Vol 347, 27,1990.
[5] Structure of single-phase superconducting K3C60, Peter W. Stephens et al. Nature, Vol 351, 20, 1991.
[6] 超导“小时代”之十七-朽木亦可雕, 罗会仟。物理（46卷），2017年，3期。
[7] 维基百科-Bechgaard_salt.
[8] BecKer E W. Z, Phys.146(1956)333.
[9] 金属小团簇的密度泛函理论研究和金属纳米团簇材料的实验研究, 李喜波. 四川大学博士论文，2007年。
[10] 粒子物理导论，格里菲斯著，王青译，机械工业出版社，2017年第一版（原书第二版）。
编辑：Garrett