【题目呈现】
此题正是"一线三等角"模型的典例，所谓一线三等角，简单说，就是一条直线上有三个相等的角，当有对应边相等时，就会有全等三角形，当无对应边相等时，就会有相似三角形(九年级学习相似)，简称"一线三等角，全等相似两边找”。相等的角，可以是直角，锐角或钝角。三个角可以在直线的同侧，也可以在直线的异侧。有了这种模型，在做题时，提供了方向，少走了弯路，但有时也不是万能的。下面分析一下本题。
【思路分析】
第一问，是一直线上有三个直角(也称一线三垂直模型)，由于∠BAC=∠BDA=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，而∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，∴∠BAD=∠ACE，而AB=AC，∴△ADB≌△CEA，∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD十CE.
第二问，看图是一线三钝角(其实钝角，锐角都不影响结果)，∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°一a，∴∠DBA=∠CAE，∵∠BAD=∠AEC=a，AB=AC，∴△ADB≌△CEA∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE.
第三问，∵△ABF和△ACF是等边三角形∴∠ABF=∠CAF=60°，由(2)知△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠CAE，∴∠DBF=∠EAF，又BF=AF，∴△DBF≌△EAF，∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形.
【步骤】
(1)证明:∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD十∠CAE=90°，∵∠BAD十∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD.又AB=AC，∴△ADB≌△CEA，∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE.
(2)DE=BD+CE成立.
证明∵∠BDA=∠BAC=a，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°一a，∴∠DBA=∠CAE.∵∠BDA=∠AEC=a，AB=AC，∴△ADB≌△CEA，∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE.
(3)△DEF为等边三角形.由(2)知，△ADB≌△CEA，∴BD=AE，∠DBA=∠CAE.∵△ABF和△ACF都为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠EAF.又∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF，∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA十∠AFE=∠DFA十∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形.
【总结反思】
熟记一些几何模型，为证题指明了方向，节省了时间，但具体做题时注意条件的变化，有时用模型法不一定简便。
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