世界是丰富多彩的，观察世界的眼光是多元的。文学借助形象，展示人文关怀；科*运学**用实证，揭示自然规律；数学利用抽象，发现数的规律，寻找形的结构抽象，即从具体事物中抽取出来的相对独立的属性、关系等。
清末著名画家郑板桥一生咏竹，谈到画竹的体会时曾写到："其实胸中之竹并不是眼中之竹也，因而磨墨展纸，落笔倏作变相，手中之竹又不是心中之竹也。"因心中之竹是抽象存在的竹子，故画出的竹子比现实中的竹子更有风骨，这就是抽象的存在。超脱对象的具体产生的数，图形中的点既无大小又无颜色……数学的抽象舍弃事物的其他一切方面而仅保留数量关系和空间形式。
苏联著名数学家柯尔莫哥洛夫在《数学：它的内容方法和意义》一书中指出数学有三大特点，即抽象性、严谨性、应用的广泛性。
数学的眼光是深沉的，它使我们看问题入木三分，明察秋毫，在浓缩的空间关系中，在组合的数量关系里，使我们看到数学现象的魔光幻影、神秘莫测，以及数学的知识、思想、方法在我们生活中的应用。当你用数学的眼光看待生活时，你会发现生活处处是数学！
解析：问题涉及1004项的求和，从揭示A中第n项
的特征入手。
由具体到抽象，常反映在用字母表示数，有利于揭示问题中的数量关系，便于找到数量的依存关系或相等关系。
例2.在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征。
比如"同底数幂的乘法法则"的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由"特殊"到"一般"进行抽象概括的：
（1）请你根据上面的材料归纳出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之间的一个数学关系式；
（2）试用（1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象："若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不饱和），则糖水更甜了"；
（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝a，CA＝b，AD＝BE＝c（a＞b），能否根据这个图形提炼出与（1）中相同的关系式并给予证明．
荷兰著名数学家弗赖登塔尔说："与其说是学习数学，不如说是学习数学化。"例2是一个数学化的探究过程，我们不能说："糖水加糖更甜了"是数学，但提炼为真分数不等式就是数学了。"
美国著名的数学教育家赫斯认为："数学教学的问题并不在于寻找最好的教学方式，而在于明白数学是什么，如果不正视数学的本质问题，便永远解决不了教学上的争议。"一般认为，数学知识的本质，既表现为隐藏在客观事物背后的数学知识、数学规律，又表现为隐藏在数学知识背后的本质属性。数学教学教什么？毋庸置疑，摆在第一位的肯定是教学内容的本质。
例3．某单位要将一份宣传资料进行批量印刷．在甲印刷厂，在收取100元制版费的基础上，每份收费0.5元；在乙印刷厂，在收取40元制版费的基础上，每份收费0.7元．设该单位要印刷此宣传资料x份（x为正整数）．
（1）根据题意，填写下表：
（3）当x≥100时，在哪家印刷厂花费少？请说明理由．
【解析】：（1）由题意可得，
当x＝250时，甲印刷厂的费用为：100+0.5×250＝225（元），
当x＝450时，甲印刷厂的费用为：100+0.5×450＝325（元），
当x＝350时，乙印刷厂的费用为：40+0.7×350＝285（元），
故答案为：①225；②325；③285．
（2）根据题意，得y1＝100+0.5x，y2＝40+0.7x．
（3）设在甲、乙两个印刷厂收费金额的差为y元，则y＝y1﹣y2＝60﹣0.2x．
当y＝0时，即60﹣0.2x＝0，得x＝300．
∴当x＝300时，在甲、乙两个印刷厂花费相同．
∵﹣0.2＜0，∴y随x的增大而减小．
∴当100≤x＜300时，有y＞0，在乙印刷厂花费少；
当x＞300时，有y＜0，在甲印刷厂花费少．
变式1．某社区活动中心为中老年舞蹈队统一队服和道具，准备购买10套某种品牌的舞蹈鞋，每双舞蹈鞋配x（x≥2）个舞蹈扇，供舞蹈队队员使用．该社区附近A，B两家超市都有这种品牌的舞蹈鞋和舞蹈扇出售，且每双舞蹈鞋的标价均为30元，每个舞蹈扇的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；
B超市：买一双舞蹈鞋送2个舞蹈扇．
设在A超市购买舞蹈鞋和舞蹈扇的费用为y₁（元），在B超市购买舞蹈鞋和舞蹈扇的费用为y₂（元）．请解答下列问题：
（1）分别写出y₁，y₂与x之间的关系式；
（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
【解答】：（1）由题意，得y₁＝（10×30+3×10x）×0.9＝27x+270（x≥2）；
y₂＝10×30+3（10x﹣20）＝30x+240（x≥2）；
（2）当y₁＝y₂时，27x+270＝30x+240，得x＝10；
当y₁＞y₂时，27x+270＞30x+240，得x＜10；
当y₁＜y₂时，27x+270＜30x+240，得x＞10
∴当2≤x＜10时，到B超市购买划算，当x＝10时，两家超市一样划算，当x＞10时在A超市购买划算．
变式2．某市对电话费作了调整，原市话费为每3分钟0.2元（不足3分钟按3分钟计算）．调整后，前3分钟为0.2元，以后每分钟加收0.1元（不足1分钟按1分钟计算）．设通话时间x分钟时，调整前的话费为y₁元，调整后的话费为y₂元．
（1）当x＝4，4.3，5.8时，计算对应的话费值y₁、y₂各为多少，并指出x在什么范围取值时，y₁≤y₂；
（2）当x＝m（m＞5，m为常数）时，设计一种通话方案，使所需话费最小．
【解答】：（1）当x＝4时，y₁＝0.4，y₂＝0.3；
当x＝4.3时，y₁＝0.4，y₂＝0.4；
当x＝5.8时，y₁＝0.4，y₂＝0.5；
当0＜x≤3或x＞4时，y₁≤y₂。
（2）参考方案：
设n≥2且n是正整数，通话m分钟所需话费为y元，
①当3n﹣1＜m≤3n时，使所需话费最小的通话方案是：
分n次拨打，其中（n﹣1）次每次通话3分钟，一次通话（m﹣3n+3）分钟，
最小话费是y＝0.2n
②当3n＜m≤3n+1时，使所需话费最小的通话方案是：
分n次拨打，其中（n﹣1）次每次通话3分钟，一次通话（m﹣3n+3）分钟，
最小话费是y＝0.2（n﹣1）+0.3＝0.2n+0.1
③当3n+1＜m≤3n+2时，使所需话费最小的通话方案是：
分n次拨打，其中（n﹣2）次每次通话3分钟，一次通话4分钟，一次通话（m﹣3n+2）分钟，
最小话费是y＝0.2（n﹣2）+0.6＝0.2n+0.2。
例4．甲，乙两辆汽车同时从同一地点A出发，沿同一方向直线行驶，每辆车最多只能带240L汽油，途中不能再加油，每升油可使一辆车前进12km，两车都必须沿原路返回出发点，但是两车相互可借用对方的油．请你设计一种方案，使其中一辆车尽可能地远离出发地点A，并求出这辆车一共行驶了多少千米？
【分析】本题中由于两车相互借对方的油，那么他们所走的距离和≤240×12×2，他们所走的距离差≤240×12．由此可得出自变量的取值范围．
如果要让一辆车尽可能的远离A地并同时返回，那么就必须让一辆车行驶一段后，把油给对方（要刚好留下回A地的油），让对方走掉加的这些油后开始向A地返回，两者碰头后一起回A地．那么这个离A地最远的距离就应该是车行驶一段的距离+停下后给对方的油量可行驶的距离（要留下回A地的油）．根据此关系可求出走这个最远距离所需的油量，然后进行分配即可．
【解答】：设尽可能远离A地的甲汽车共走了x千米，乙汽车共走了y千米，则x+y≤240×12×2，且x﹣y≤240×12，∴x≤4320，所以x最大为4320千米．
设从A到尽可能的离A的距离是m千米，其中借给对方油的那辆车走了n千米后停下，
那么m＝n+（240﹣x÷12×2）×12÷2＝1440千米
那么需要用油1440÷12＝120升，那么就是走这个最远距离一次（单趟）需要120升油，
那么可得出的方案是：甲，乙共同走720千米，乙停下等甲，并且给甲60升汽油，甲再走1440千米后回头与乙会合，乙再给甲60升汽油后，两车同时回到A地．
也可画图表示为：（如右图）．
本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
变式1．为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行"阶梯收费"（总电费＝第一阶梯电费+第二阶梯电费）．规定：用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费，如图是张磊家2019年4月和5月所交电费的收据．
（1）该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价单价分别为多少？
（2）张磊家6月份家庭支出计划中电费不超过198元，他家最大用电量为多少度？
【解答】：（1）设该市规定的第一阶梯电价单价为x元，第二阶梯电价单价为y元，
答：该市规定的第一阶梯电价单价为0.6元，第二阶梯电价单价为0.65元．
（2）设张磊家6月份的用电量为m度，
依题意，得：0.6×200+0.65（m﹣200）≤198，解得：m≤320．
答：张磊家6月份最大用电量为320度．
例5.有A，B，C，D四支排球队进行单循环赛，记分规则是：两队比分为3：0或3：1时，胜队积3分，负队积0分；比分为3：2时，胜队积2分，负队积1分，比赛结果是A队和B队并列第一，C队和D队分别获得第三和第四.问：四支队的总积分有几种不同的情况？并对每种情况，列出各队每场的积分。
（"华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题）
·分析与解恰当代数化，通过放缩结果寻找解决问题的突破口，按照记分规则，一场比赛产生3分，四队单循环比赛，有6场比赛，共产生18分，设A，B，C，D四支排球队总积分分别为x，x，y，z，由题意可知：
由（*）可得18=2x+y+z≤2x+x-1+x-2=4x-3，解得x≥5.25；由第一个方程可得：y+z是偶数，且C队和D队之间必须进行一场比赛，所以y+z≥4，则有2x+4≤2x+y+z=18，解得x≤7.
（1）当x=7时，y=3，z=1，
（2）当x=6时，y=4或y=5，z=1。
所以，四个队的总积分有3种不同的情况：
400米跑道是怎样划分的？如何用数学来证明足球比赛对上场人数的规定？
在多数人眼中，体育与数学往往只能擦肩而过，但数学与体育实际上却联系密切。
数学来源于生活，生活之中处处有数学，我们要学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。数学最本质的东西就是抽象。数学家的眼光是抽象的眼光。
正如古希腊著名学者亚里士多德曾说：可以推断，数学的发展所依赖的最重要的基本思想就是抽象。以符代数不只是字母"代替"文字、"代替"数字的过程，而是具体数字符号化和形式化的抽象过程，是静态数学一般化、动态化的过程。
著名数学家张景中院士在其科普名著《数学家的眼光》中写道："从普通的、众所周知的事实出发，步步深入推广、挖掘出广泛适用的深刻规律.从这里显示出数学家的透彻、犀利的目光，也表现了数学家穷追不舍、孜孜以求地探索真理的精神。"