2020 年辽宁省沈阳市*家屯苏**区中考数学一模试卷
A．
．
B．
．
C
D
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，
每小题 2 分，共 20 分）
1 ．（2 分） 如果 m＝
﹣ 1 ，那么 m 的取值范围是（ ）
A ．1＜m＜2 B ．2＜m＜3 C ．3＜m＜4 D ．4＜m＜5
2 ．（2 分） 如图所示的几何体是由 5 个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
3 ．（2 分） 计划今年 9 月底开工建设的沈阳地铁 6 号线，全长 36000 米，成为首条进入苏家
屯的地铁线路，在*家屯苏**设高楼村、葵松路、*家屯苏**、香杨路、迎春街 5 个站点，将数
据 36000 用科学记数法表示为（ ）
A ．0.36×105 B ．36 ×103 C ．3.6×104 D ．3.6 ×105
4 ．（2 分） 如图，Rt△ABC 中， ∠B＝90° ， ∠A＝55° ，45°的直角三角板 DEF 的锐角顶 点 D 在斜边AC 上，直角边 DE∥BC，则∠FDC 的度数为（ ）
A ．10° B ．15°
5 ．（2 分） 下列事件中，是必然事件的是（
A ．射击运动员射击一次，命中靶心
C ．20° D ．25°
）
．
D
B ．一个游戏的中奖概率是
，则做 10 次这样的游戏一定会中奖
C ．雨后见彩虹
D ．任意画一个三角形，其外角和是 360°
6 ．（2 分） 下列计算正确的是（ ）
A ．a3+a3＝2a6
C ．a6÷a2＝a3
B ．a4•（a3）2＝a10
D ．（a ﹣ b）2＝a2 ﹣ b2
7 ．（2 分） 如图，A ，B 两景点相距 20km ，C 景点位于 A 景点北偏东 60°方向上，位于 B 景点北偏西 30°方向上，则A ，C 两景点相距（ ）
A ．10km B ．10
km
C ．10
km
m
k
8 ．（2 分） 新型冠状病毒疫情期间，根据某地 2 月 1 日至 5 日这 5 天确诊病例增加数目得到
一组数据： 3 ，5 ，3 ，0 ，7 ，下列说法正确的是（ ）
A ．众数是 2
C ．中位数是 3
B ．平均数是 3.5
D ．方差是 13
9 ．（2 分） 如图，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，连接 OB 、OD，若四边形ABOD 是平行四 边形，则∠ABO 的度数是（ ）
A ．50° B ．55° C ．60° D ．65°
10 ．（2 分） 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线 x＝2 ，与 x 轴的一个交点（ ﹣ 1 ，0），则下列结论正确的个数是（ ）
①当 x＜ ﹣ 1 或 x＞5 时，y＞0；
②a+b+c＞0；
③当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大；
第 2页（共 32页）
④abc＞0．
A ． 3 B ． 2 C ． 1 D ． 0
二.填空题（请将正确答案写在答题卡上，每小题 3 分，共 18 分）
11 ．（3 分） 分解因式： a3 ﹣ 2a2+a＝ ．
12．（3 分）关于x 的一元二次方程（a ﹣ 2）x2 ﹣ 2x ﹣ 4+a2＝0 有一个根是 0，则 a 的值为 ．
13 ．（3 分） 如图，△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点 O ，且 BC：EF＝3：2 ，则 S△ABC：
S△DEF＝ ．
14 ．（3 分） 将抛物线y＝3 （x ﹣ 2）2+1 向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，则所得 抛物线的表达式为 ．
15 ．（3 分） 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2 ，1），点 B 的坐标为（2 ，9），点 C 到
直线AB 的距离为 4 ，且△ABC 是直角三角形，则满足条件的点 C 有 个．
16 ．（3 分） 如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，连接 AE 、EF、AF，
且∠EAF＝45° ，下列结论：
①△ABE≌△ADF；
②∠AEB＝ ∠AEF；
③正方形ABCD 的周长＝2△CEF 的周长；
④S△ABE+S△ADF＝S△CEF，其中正确的是 ．（只填写序号）
第 3页（共 32页）
三、解答题（第 17 题 6 分，第 18 、19 小题各 8 分，共 22 分）
17 ．（6 分） 先化简，再求值：
﹣
÷
，其中 x＝tan60°+（ ﹣
） ﹣ 2．
18 ．（8 分） 为了庆祝防控新冠肺炎疫情的胜利，某校举行班级抗击疫情优秀歌曲歌咏比赛，
歌曲有：《逆行英雄》，《中国一定强》，《爱的承诺》（分别用字母A ，B ，C，依次表示这 三首歌曲），比赛时，将A，B，C，这三个字母分别写在 3 张无差别不透明的卡片正面上， 洗匀后正面向下放在桌面上，九年一班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再
由九年二班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）九年一班抽中歌曲《中国一定强》 的概率是 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出九年一班和九年二班抽中
相同歌曲的概率．
19 ．（8 分） 如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A＝90° ，CD＝CB ，过点 C 作∠DCB 的 平分线 CE 交AB 于点 E，连接 DE，过点 D 作 DF∥AB ，且交 CE 于 F 点，连接 BF．
（1）求证： 四边形 DEBF 是菱形；
（2）若 AB＝5 ，BC＝13 ，求 tan∠AED 的值．
四、（每小题 8 分，共 16 分）
20 ．（8 分） 为丰富学生的文体生活，某校计划开设五门选修课程： 声乐、足球、舞蹈、书 法、演讲．要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校 随机对部分学生进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图不完整的统计图．请根据统 计图解答下列问题．
（1）本次接受问卷调查的学生有 名；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中选修“演讲”课程所对应扇形的圆心角的度数为 ； （4）该校有 800 名学生，请你估计选修“足球”课程的学生有多少名．
21 ．（8 分） 某物业公司计划对所管理的小区 3000m2 区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工 程队来完成，甲、乙两个工程队每天共完成绿化面积 150m2 ，甲队完成 600m2 区域的绿 化面积与乙队完成 300m2 区域的绿化面积所用的天数相同．
（1）求甲、乙两个工程队每天各能完成多少面积的绿化？
（2）若甲队每天绿化费用是 0.6 万元，乙队每天绿化费用是 0.2 万元，该物业公司要使
这次绿化总费用不超过 17 万元，则至少安排乙工程队绿化多少天？
五、（本题 10 分)
22 ．（10 分） 如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，过 O 点作 OC⊥AB 且交⊙O 于 C 点，延
长AB 到 D ，过点 D 作⊙O 的切线 DE ，切点为 E ，连接 CE 交AB 于 F 点．
（1）求证： DE＝DF；
（2）若⊙O 的半径为 2 ，求 CF×CE 的值；
（3）若⊙O 的半径为 2 ， ∠D＝30° ，则阴影部分的面积 ．
六、（本题 10 分）
23 ．（10 分） 如图，过原点的直线y1＝mx （m≠0）与反比例函数y2＝
（k＜0）的图象交 于 A 、B 两点，点 A 在第二象限，且点 A 的横坐标为 ﹣ 1 ，点 D 在 x 轴负半轴上，连接
AD 交反比例函数图象于另一点 E，AC 为∠BAD 的平分线，过点 B 作 AC 的垂线，垂足
为 C，连接 CE，若 AD＝2DE ，△AEC 的面积为
．
（1）根据图象回答： 当 x 取何值时，y1＜y2；
（2）求△AOD 的面积；
（3）若点 P 的坐标为（m，k），在y 轴的负半轴上是否存在一点 M，使得△OMP 是直角 三角形，若存在，请直接写出点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由．
七、（本题 12 分）
24 ．（12 分） 已知，把 45°的直角三角板的直角顶点 E 放在边长为 6 的正方形 ABCD 的一 边 BC 上，直三角板的一条直角边经过点 D ，以 DE 为一边作矩形 DEFG，且 GF 过点A， 得到图 1．
（1）求矩形 DEFG 的面积；
（2）若把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 剪掉一半得到等腰直角三角形 ABC ，把 45°的 直三角板的一个 45°角的顶点与等腰直角三角形 ABC 的直角顶点 B 重合，直三角板夹这 个 45°角的两边分别交 CA 和 CA 的延长线于点 H、P ，得到图 2 ．猜想： CH、PA 、HP 之间的数量关系，并说明理由；
（3）若把边长为 6 的正方形 ABCD 沿着对角线AC 剪掉一半得到等腰直角三角形 ABC， 点 M 是 Rt△ABC 内一个动点，连接 MA 、MB 、MC ，设 MA+MB+MC＝y ，直接写出 y2 的最小值．
八、（本题 12 分）
25 ．（12 分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c 与y 轴交于点A ，与 x 轴交 于点 B （3 ，0）、C（ ﹣ 1 ，0）两点．
（1）求直线 AB 和抛物线的表达式；
（2）当点 F 为直线 AB 上方抛物线上一动点（不与 A 、B 重合），过点 F 作 FP∥x 轴交
直线AB 于点 P；过点 F 作 FR∥y 轴交直线AB 于点 R ，求 PR 的最大值；
（3）把射线 BA 绕着点 B 逆时针旋转 90°得到射线 BM，点 E 在射线 BM 运动（不与点
B 重合），以 BC、BE 为邻边作平行四边形 BCDE ，点 H 为 DE 边上动点，连接 CH，请
直接写出 CH+
HE 的最小值．
2020 年辽宁省沈阳市*家屯苏**区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，
每小题 2 分，共 20 分）
1 ．（2 分） 如果 m＝
﹣ 1 ，那么 m 的取值范围是（ ）
A ．1＜m＜2 B ．2＜m＜3 C ．3＜m＜4 D ．4＜m＜5 【分析】 首先确定
的取值范围，然后可得
﹣ 1 的取值范围．
【解答】 解： ∵3＜
＜4，
∴2＜
﹣ 1＜3，
∵m＝
﹣ 1，
∴2＜m＜3，
故选： B．
【点评】 此题主要考查了估算无理数的大小，关键是掌握估算无理数大小要用逼近法．
2 ．（2 分） 如图所示的几何体是由 5 个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】 解： 从上面看共有 3 列两层，从左到右第一列底层是一个正方形，第二列是两 个正方形，第三列上层是一个正方形．
故选： C．
【点评】 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 第 8页（共 32页）
3 ．（2 分） 计划今年 9 月底开工建设的沈阳地铁 6 号线，全长 36000 米，成为首条进入苏家
屯的地铁线路，在*家屯苏**设高楼村、葵松路、*家屯苏**、香杨路、迎春街 5 个站点，将数
据 36000 用科学记数法表示为（ ）
A ．0.36×105 B ．36 ×103 C ．3.6×104 D ．3.6 ×105
【分析】 科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10 ，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同．当原数绝对值≥10 时，n 是正数； 当原数的绝对值＜ 1 时，n 是负数．
【解答】 解： 36000＝3.6×104，
故选： C．
【点评】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式，其
中 1≤|a|＜10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
4 ．（2 分） 如图，Rt△ABC 中， ∠B＝90° ， ∠A＝55° ，45°的直角三角板 DEF 的锐角顶 点 D 在斜边AC 上，直角边 DE∥BC，则∠FDC 的度数为（ ）
A ．10° B ．15° C ．20° D ．25°
【分析】 根据∠CDF＝ ∠EDF ﹣ ∠EDC，求出∠EDC 即可解决问题．
【解答】 解： ∵∠B＝90° ， ∠A＝55°，
∴∠C＝35°，
∵DE∥BC，
∴∠C＝ ∠EDC＝35°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠CDF＝ ∠EDF ﹣ ∠EDC＝45° ﹣ 35° ＝10°，
故选： A．
【点评】 本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基
本知识，属于中考常考题型．
5 ．（2 分） 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A ．射击运动员射击一次，命中靶心
B ．一个游戏的中奖概率是
，则做 10 次这样的游戏一定会中奖
C ．雨后见彩虹
D ．任意画一个三角形，其外角和是 360°
【分析】 根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】 解： A 、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，不符合题意；
B、一个游戏的中奖概率是
，则做 10 次这样的游戏不一定会中奖是随机事件，不符合
题意；
C、雨后见彩虹是随机事件，不符合题意；
D 、任意画一个三角形，其外角和是 360°是必然事件，符合题意；
故选： D．
【点评】 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条 件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事 件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6 ．（2 分） 下列计算正确的是（ ）
A ．a3+a3＝2a6 B ．a4•（a3）2＝a10
C ．a6÷a2＝a3 D ．（a ﹣ b）2＝a2 ﹣ b2 【分析】 各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】 解： A 、原式＝2a3 ，不符合题意；
B 、原式＝a4•a6＝a10 ，符合题意；
C、原式＝a4 ，不符合题意；
D 、原式＝a2 ﹣ 2ab+b2 ，不符合题意．
故选： B．
【点评】 此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关
键．
7 ．（2 分） 如图，A ，B 两景点相距 20km ，C 景点位于 A 景点北偏东 60°方向上，位于 B 景点北偏西 30°方向上，则A ，C 两景点相距（ ）
×[（0 ﹣ 3.6）
A ．10km B ．10
km C ．10
km D ．
km
【分析】 根据题意可得， ∠CAB＝30° ， ∠CBA＝60° ，所以∠ACB＝90° ，根据AB＝
20km ，和特殊角三角函数即可求出A ，C 两景点距离．
【解答】 解： 根据题意可知：
∠CAB＝30° ， ∠CBA＝60°，
∴∠ACB＝60°+30° ＝90°，AB＝20km，
∴AC＝AB×cos30°＝20×
＝10
（km）．
∴A ，C 两景点相距 10
km．
故选： B．
【点评】 本题考查了解直角三角形的应用 ﹣ 方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角
定义．
8 ．（2 分） 新型冠状病毒疫情期间，根据某地 2 月 1 日至 5 日这 5 天确诊病例增加数目得到
一组数据： 3 ，5 ，3 ，0 ，7 ，下列说法正确的是（ ）
A ．众数是 2
C ．中位数是 3
B ．平均数是 3.5
D ．方差是 13
【分析】 将数据重新排列，再根据众数、平均数、中位数及方差的定义求解可得．
【解答】 解： 将数据重新排列为 0 、3 、3 、5 、7，
则这组数据的众数是 3，平均数为
＝3.6 ，中位数为 3，方差为
2+2 ×（3 ﹣ 3.6）2+ （5 ﹣ 3.6）2+（7 ﹣ 3.6）2]＝5.44，
故选： C．
【点评】 本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、平均数、中位数及方差的定义．
9 ．（2 分） 如图，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，连接 OB 、OD，若四边形ABOD 是平行四
边形，则∠ABO 的度数是（ ）
A ．50° B ．55° C ．60° D ．65°
【分析】 由四边形ABOD 是平行四边形，推出∠A＝ ∠BOD ，由∠BOD＝2∠C， ∠A+∠ C＝180° ，推出∠C＝60° ， ∠A＝ ∠BOD＝120°即可解决问题．
【解答】 解： ∵四边形ABOD 是平行四边形，
∴∠A＝ ∠BOD，
∵∠BOD＝2∠C， ∠A+∠C＝180°，
∴∠C＝60° ， ∠A＝ ∠BOD＝120°，
∵AD∥OB，
∴∠ABO+∠DAB＝180°，
∴∠ABO ＝60°，
故选： C．
【点评】 本题考查圆周角定理，平行四边形的性质，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，
解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10 ．（2 分） 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线 x＝2 ，与 x 轴的一个交点（ ﹣ 1 ，0），则下列结论正确的个数是（ ）
①当 x＜ ﹣ 1 或 x＞5 时，y＞0；
②a+b+c＞0；
③当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大； ④abc＞0．
A ． 3 B ． 2 C ． 1 D ． 0
【分析】 由抛物线的对称轴结合抛物线与 x 轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，
结进而结合图形分析得出答案．
【解答】 解： ①根据函数的对称性，抛物线与 x 轴的另外一个交点的坐标为（5 ，0），
从图象上看，x＜ ﹣ 1 或 x＞5 时，y＞0 ，故①正确，符合题意；
②从图象看，当 x＝1 时，y＝a+b+c＜0 ，故②错误，不符合题意；
③从图象看 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大，故③正确，符合题意；
④从图象看，a＞0 ，b＜0 ，c＜0 ，故 abc＞0 ，故④正确，符合题意；
故选： A．
【点评】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图
象上点的坐标特征，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
二.填空题（请将正确答案写在答题卡上，每小题 3 分，共 18 分）
11 ．（3 分） 分解因式： a3 ﹣ 2a2+a＝ a （a ﹣ 1）2 ．
【分析】 此多项式有公因式，应先提取公因式 a ，再对余下的多项式进行观察，有 3 项，
可利用完全平方公式继续分解．
【解答】 解： a3 ﹣ 2a2+a
＝a （a2 ﹣ 2a+1）
＝a （a ﹣ 1）2．
故答案为： a （a ﹣ 1）2．
【点评】 本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进 行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法
分解．
12．（3 分） 关于 x 的一元二次方程（a ﹣ 2）x2 ﹣ 2x ﹣ 4+a2＝0 有一个根是 0，则 a 的值为 ﹣
2 ．
【分析】 把 x＝0 代入方程（a ﹣ 2）x2 ﹣ 2x ﹣ 4+a2＝0 得 ﹣ 4+a2＝0 ，再解关于 a 的方程， 然后利用一元二次方程的定义得到 a ﹣ 2≠0 ，从而确定 a 的值．
【解答】 解： 把 x＝0 代入方程（a ﹣ 2）x2 ﹣ 2x ﹣ 4+a2 ＝0 得 ﹣ 4+a2 ＝0 ，解得 a＝2 或 a
＝ ﹣ 2，
因为 a ﹣ 2≠0，
所以 a 的值为 ﹣ 2．
故答案为 ﹣ 2．
【点评】 本题考查了一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值 是一元二次方程的解．
13 ．（3 分） 如图，△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点 O ，且 BC：EF＝3：2 ，则 S△ABC：
S△DEF＝ 9：4 ．
【分析】 根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质计算即可． 【解答】 解： ∵△ABC 与△DEF 位似，
∴△ABC∽△DEF，
∵BC：EF＝3：2，
∴
＝（
）2＝
，
故答案为： 9：4．
【点评】 本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比
等于相似比的平方是解题的关键．
14 ．（3 分） 将抛物线y＝3 （x ﹣ 2）2+1 向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，则所得 抛物线的表达式为 y＝3x2 ．
【分析】 直接利用抛物线平移规律： 上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式．
【解答】 解： ∵将抛物线y＝3 （x ﹣ 2）2+1 向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为： y＝3 （x ﹣ 2+2）2+1 ﹣ 1 ，即y＝3x2．
故答案为y＝3x2．
【点评】 此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
15 ．（3 分） 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2 ，1），点 B 的坐标为（2 ，9），点 C 到 直线AB 的距离为 4 ，且△ABC 是直角三角形，则满足条件的点 C 有 6 个．
【分析】 当∠A＝90°时，满足条件的 C 点 2 个； 当∠B＝90°时，满足条件的 C 点 2 个；
当∠C＝90°时，满足条件的 C 点 2 个．所以共有 6 个．
【解答】 解： ∵点A ，B 的横坐标坐标相等，
∴AB∥y 轴，
∵点 C 到直线AB 的距离为 4，
∴点 C 在平行于AB 的两条直线上．
∴过点 A 的垂线与那两条直线有 2 个交点，过点 B 的垂线与那两条直线有 2 个交点，以 AB 为直径的圆与那两条直线有 2 个交点．
∴满足条件的 C 点共 6 个．
故答案为： 6．
【点评】 本题考查了坐标与图形性质．用到的知识点为： 到一条直线距离为某个定值的 直线有两条．△ABC 是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．
16 ．（3 分） 如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，连接 AE 、EF、AF，
且∠EAF＝45° ，下列结论：
①△ABE≌△ADF；
②∠AEB＝ ∠AEF；
③正方形ABCD 的周长＝2△CEF 的周长；
④S△ABE+S△ADF＝S△CEF，其中正确的是 ②③ ．（只填写序号）
【分析】 ①E、F 不分别是 BC 和 CD 的中点时，BE≠DF，则△ABE 和△ADF 的三边全
部对应相等，由此得出判断；
②延长 CD 至 G ，使得 DG＝BE ，证明△ABE≌△ADG 和△AEF≌△AGF，便可判断正 误；
③通过周长公式计算，再由 BE+DF＝EF，得出判断；
④证明S△ABE+S△ADF＝S△AGF，再由三角形的底与高的数量关系得S△AGF＞S△CEF，进而得 出判断．
【解答】 解： ①当 E、F 不分别是 BC 和 CD 的中点时，BE≠DF，则△ABE≌△ADF 不 成立，故①错误；
②延长 CD 至 G ，使得 DG＝BE ，如图 1，
∵AB＝AD ， ∠ABE＝ ∠ADG＝90°，
∴△ABE≌△ADG （SAS），
∴∠BAE＝ ∠DAG ， ∠AEB＝ ∠G，AE＝AG，
∵∠BAD＝90° ， ∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠GAF＝ ∠DAG+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝ ∠FAG，
∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AEF＝ ∠G，
∴∠AEB＝ ∠AEF，
故②正确；
③∵△AEF≌△AGF，
∴EF＝GF＝DG+DF＝BE+DF，
∴△CEF 的周长＝ CE+CF+EF＝CE+CF+BE+DF＝BC+CD＝2BC，
∵正方形ABCD 的周长＝4BC，
∴正方形ABCD 的周长＝2△CEF 的周长，
故③正确；
④∵△ABE≌△ADG，
∴S△ABE＝S△ADG，
∴S△ABE+S△ADF＝S△AGF，
∵GF＝EF＞CF，AD≥CE，
第 16页（共 32页）
∴
，即 S△AGF＞S△CEF，
∴S△ABE+S△ADF≠S△CEF，
故④错误；
故答案为： ②③．
【点评】 本题是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与 判定，三角形的面积和周长计算，关键是证明三角形全等．
三、解答题（第 17 题 6 分，第 18 、19 小题各 8 分，共 22 分）
17 ．（6 分） 先化简，再求值：
﹣
÷
，其中 x＝tan60°+（ ﹣
） ﹣ 2． 【分析】 先把除法变成乘法，算乘法，算减法，最后代入求出即可．
【解答】 解：
﹣
÷
＝
﹣
•
＝
﹣
＝
＝
，
当 x＝tan60°+（ ﹣
） ﹣ 2＝
+4 时，原式＝
＝
．
【点评】 本题考查了分式的混合运算和求值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，实
数的混合运算等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
18 ．（8 分） 为了庆祝防控新冠肺炎疫情的胜利，某校举行班级抗击疫情优秀歌曲歌咏比赛， 歌曲有：《逆行英雄》，《中国一定强》，《爱的承诺》（分别用字母A ，B ，C，依次表示这 三首歌曲），比赛时，将A，B，C，这三个字母分别写在 3 张无差别不透明的卡片正面上， 洗匀后正面向下放在桌面上，九年一班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再
由九年二班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）九年一班抽中歌曲《中国一定强》 的概率是
；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出九年一班和九年二班抽中
相同歌曲的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算
可得．
【解答】 解：（ 1）因为有 A ，B ，C3 种等可能结果，
所以九年一班抽中歌曲《中国一定强》 的概率＝
；
故答案为：
；
（2）画树状图如图所示：
共有 9 种可能，其中九年一班和九年二班抽中相同歌曲有 3 种（A，A），（B ，B），（C，
C），
∴九年一班和九年二班抽中相同歌曲的概率＝
＝
．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n， 再从中选出符合事件A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件A 或事件 B 的概
率．
19 ．（8 分） 如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A＝90° ，CD＝CB ，过点 C 作∠DCB 的 平分线 CE 交AB 于点 E，连接 DE，过点 D 作 DF∥AB ，且交 CE 于 F 点，连接 BF．
（1）求证： 四边形 DEBF 是菱形；
（2）若 AB＝5 ，BC＝13 ，求 tan∠AED 的值．
【分析】（1）证明△CDE≌△CBE ，根据全等三角形的性质得到 ED＝EB ， ∠DEC＝ ∠ BEC ，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到 DE＝DF，根据菱形的判定定理
证明；
（2）根据矩形的性质得到∠BGD＝90° ，DG＝AB＝5 ，AD＝BG ，根据勾股定理求出 GC，求出 AD ，根据勾股定理列方程求出 AE ，根据正切的定义计算，得到答案．
【解答】（1）证明： ∵CE 平分∠DCB，
∴∠DCE＝ ∠BCE，
在△CDE 和△CBE 中，
， ∴△CDE≌△CBE（SAS），
∴ED＝EB ， ∠DEC＝ ∠BEC，
∵DF∥AB，
∴∠DFE＝ ∠BEC，
∴∠DFE＝ ∠DEC，
∴DE＝DF，
∴DF＝BE ，又 DF∥AB，DE＝DF，
∴四边形 DEBF 为菱形；
（2）解： ∵AD∥BC，AB∥DF，
∴四边形ABGD 为平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形ABGD 为矩形，
∴∠BGD＝90°，DG＝AB＝5，AD＝BG，
在 Rt△DGC 中，GC＝
＝12，
∴AD＝BG＝BC ﹣ GC＝13 ﹣ 12＝1，
设AE＝x ，则 DE＝BE＝5 ﹣ x，
在 Rt△ADE 中，DE2＝AE2+AD2 ，即（5 ﹣ x ）2＝x2+12，
解得，x＝
，
∴tan∠AED＝
＝
．
【点评】 本题考查的是菱形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义， 掌握菱形的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
四、（每小题 8 分，共 16 分）
20 ．（8 分） 为丰富学生的文体生活，某校计划开设五门选修课程： 声乐、足球、舞蹈、书 法、演讲．要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校 随机对部分学生进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图不完整的统计图．请根据统 计图解答下列问题．
（1）本次接受问卷调查的学生有 100 名；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中选修“演讲”课程所对应扇形的圆心角的度数为 18° ；
（4）该校有 800 名学生，请你估计选修“足球”课程的学生有多少名．
【分析】（1）根据舞蹈的人数和所占的百分比即可求出本次接受问卷调查的学生数；
（2）用总人数减去其它课程的人数，求出喜欢书法的人数，从而补全统计图；
（3）用 360°乘以选修“演讲”的人数所占的百分比即可；
（4）用该校的总人数乘以选修“足球”人数所占的百分比即可得出答案．
【解答】 解：（ 1）本次接受问卷调查的学生有： 35÷35%＝100（名）； 故答案为： 100；
（2）喜欢书法的人数有： 100 ﹣ 9 ﹣ 21 ﹣ 35 ﹣ 5＝30 （人）， 第 20页（共 32页）
补全统计图如下：
（3）扇形统计图中选修“演讲”课程所对应扇形的圆心角的度数为：360°×
故答案为： 18°；
＝18°；
（4）根据题意得：
800×
＝168（名），
答： 估计选修“足球”课程的学生有 168 名．
【点评】 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统 计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；
扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21 ．（8 分） 某物业公司计划对所管理的小区 3000m2 区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工 程队来完成，甲、乙两个工程队每天共完成绿化面积 150m2 ，甲队完成 600m2 区域的绿 化面积与乙队完成 300m2 区域的绿化面积所用的天数相同．
（1）求甲、乙两个工程队每天各能完成多少面积的绿化？
（2）若甲队每天绿化费用是 0.6 万元，乙队每天绿化费用是 0.2 万元，该物业公司要使
这次绿化总费用不超过 17 万元，则至少安排乙工程队绿化多少天？
【分析】（1）根据题意结合甲队完成 600m2 与乙队完成 300m2 区域的绿化面积所用的天 数相同，得出等式即可；
（2）根据要使这次绿化总费用不超过 17 万元，得出不等式进而求出答案．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成 xm2 的绿化的面积，则甲工程队每天能完成（150
﹣ x ）m2 的绿化的面积，
根据题意可得：
＝
，
第 21页（共 32页）
，可得 CE•
解得： x＝50，
经检验得： x＝50 是所列方程的解，
150 ﹣ x＝150 ﹣ 50＝100，
答： 乙工程队每天能完成 50m2 的绿化的面积，甲工程队每天能完成 100m2 的绿化的面积；
（2）设安排乙工程队绿化y 天，
根据题意可得：
×0.6+0.2y≤17，
解得： y≥10，
答： 至少安排乙工程队绿化 10 天．
【点评】 此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出等量关
系是解题关键．
五、（本题 10 分)
22 ．（10 分） 如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，过 O 点作 OC⊥AB 且交⊙O 于 C 点，延 长AB 到 D ，过点 D 作⊙O 的切线 DE ，切点为 E ，连接 CE 交AB 于 F 点．
（1）求证： DE＝DF；
（2）若⊙O 的半径为 2 ，求 CF×CE 的值；
（3）若⊙O 的半径为 2 ， ∠D＝30° ，则阴影部分的面积 2
﹣
π ．
【分析】（1）欲证明 DE＝DF，只要证明∠DEF＝ ∠EFD 即可．
（2）延长 CO 交⊙O 于 H，连接 EH．证明△COF∽△CEH，推出
＝ CF＝CO•CH 解决问题．
（3）根据 S 阴＝S△EDO ﹣ S 扇形 OEB ，只要求出 DE ， ∠EOB 即可解决问题． 【解答】（1）证明： 连接 OE．
∵DE 是⊙O 的切线，
∴DE⊥OE，
第 22页（共 32页）
＝2
，
∴∠OED＝90°，
∴∠DEF+∠OEC＝90°，
∵OC⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∴∠C+∠OFC＝90°，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝ ∠C，
∵∠OFC＝ ∠DFE，
∴∠DEF＝ ∠EFD，
∴DE＝DF．
（2）解： 延长 CO 交⊙O 于 H，连接 EH．
∵CH 为直径，
∴∠CEH＝90°，
∵OC⊥AB，
∴∠COF＝90°，
∴∠COF＝ ∠CEH，
∵∠C＝ ∠C，
∴△COF∽△CEH，
∴
＝
，
∴CE•CF＝CO•CH＝2×4＝8．
（3）解： ∵∠OED＝90° ， ∠D＝30° ，OE＝2，
∴OD＝2OE＝4 ， ∠EOB＝60° ，DE＝
＝
∴S 阴＝S△EDO ﹣ S 扇形OEB＝
故答案为 2
﹣
π．
•OE•DE ﹣
＝
×2×2
﹣
π＝2
﹣
π．
【点评】 本题属于圆综合题，考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，扇形的面 积公式，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解 决问题，属于中考常考题型．
六、（本题 10 分）
23 ．（10 分） 如图，过原点的直线y1＝mx （m≠0）与反比例函数y2＝
（k＜0）的图象交 于 A 、B 两点，点 A 在第二象限，且点 A 的横坐标为 ﹣ 1 ，点 D 在 x 轴负半轴上，连接
AD 交反比例函数图象于另一点 E，AC 为∠BAD 的平分线，过点 B 作 AC 的垂线，垂足
为 C，连接 CE，若 AD＝2DE ，△AEC 的面积为
．
（1）根据图象回答： 当 x 取何值时，y1＜y2；
（2）求△AOD 的面积；
（3）若点 P 的坐标为（m，k），在y 轴的负半轴上是否存在一点 M，使得△OMP 是直角 三角形，若存在，请直接写出点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意得到点 A ，点 B 关于原点对称，求得点 B 的横坐标为 1 ，于是得
到当 x 取 ﹣ 1＜x＜0 或 x＞1 时，y1＜y2；
（2）连接 OC，OE ，求得 OA＝OB ，得到∠OAC＝ ∠OCA ，根据角平分线的定义得到∠ OAC＝ ∠DAC，推出AD∥OC，求得S△AEO＝S△ACE＝
，于是得到结论；
（3）作 EF⊥x 轴于 F，作AH⊥x 轴于 H，则 EF∥AH，求得 DF＝FH，根据三角形中位
线定理得到 EF＝
AH，求得y＝ ﹣
，得到A （ ﹣ 1 ，2），于是得到 P（ ﹣ 2 ， ﹣ 2），根
据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】 解：（ 1） ∵直线y1＝mx （m≠0）与反比例函数y2＝
（k＜0）的图象交于 A、
B 两点，且点A 的横坐标为 ﹣ 1，
∴点A ，点 B 关于原点对称，
∴点 B 的横坐标为 1，
∴当 x 取 ﹣ 1＜x＜0 或 x＞1 时，y1＜y2；
（2）连接 OC，OE，
由图象知，点A ，点 B 关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴OC＝
AB＝AO，
∴∠OAC＝ ∠OCA，
∵AC 为∠BAD 的平分线，
∴∠OAC＝ ∠DAC，
∴∠OCA＝ ∠DAC，
∴AD∥OC，
∴S△AEO＝S△ACE＝
，
∵AD＝2DE，
∴AE＝DE，
∴S△AOD＝2S△AOE＝3；
（3）作 EF⊥x 轴于 F，作 AH⊥x 轴于 H，
则 EF∥AH，
∵AD＝2DE，
∴DE＝EA，
∵EF∥AH，
∴
＝
＝1，
∴DF＝FH，
∴EF 是△DHA 的中位线，
∴EF＝
AH，
∵S△OEF＝S△OAH＝ ﹣
，
∴OF•EF＝OH•HA，
∴OH＝
OF，
∴OH＝HF，
∴DF＝FH＝HO＝
DO，
∴S△OAH＝
S△ADO＝
3＝1，
∴ ﹣
＝1，
∴k＝ ﹣ 2，
∴y＝ ﹣
，
∵点A 在y＝ ﹣
的图象上，
∴把 x＝ ﹣ 1 代入得，y＝2，
∴A （ ﹣ 1 ，2），
∵点A 在直线y＝mx 上，
∴m＝ ﹣ 2，
∴P（ ﹣ 2 ， ﹣ 2），
在y 轴上找到一点 M，使得△OMP 是直角三角形，
当∠OMP＝90°时，PM⊥y 轴，
则 OM＝2，
∴点 M 的坐标为（0 ． ﹣ 2）；
当∠OPM＝90°时，过 P 作 PG⊥y 轴于 G ，则△OPM 是等腰直角三角形， ∴OM＝2PG＝4，
∴点 M 的坐标为（0 ． ﹣ 4）；
第 26页（共 32页）
综上所述，点 M 的坐标为（0 ． ﹣ 2）或（0 ， ﹣ 4）．
【点评】 本题考查了反比例函数的综合题，三角形的中位线定理，反比例函数系数k 的 几何意义，直角三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的 关键．
七、（本题 12 分）
24 ．（12 分） 已知，把 45°的直角三角板的直角顶点 E 放在边长为 6 的正方形 ABCD 的一 边 BC 上，直三角板的一条直角边经过点 D ，以 DE 为一边作矩形 DEFG，且 GF 过点A，
得到图 1．
（1）求矩形 DEFG 的面积；
（2）若把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 剪掉一半得到等腰直角三角形 ABC ，把 45°的 直三角板的一个 45°角的顶点与等腰直角三角形 ABC 的直角顶点 B 重合，直三角板夹这 个 45°角的两边分别交 CA 和 CA 的延长线于点 H、P ，得到图 2 ．猜想： CH、PA 、HP
之间的数量关系，并说明理由；
（3）若把边长为 6 的正方形 ABCD 沿着对角线AC 剪掉一半得到等腰直角三角形 ABC， 点 M 是 Rt△ABC 内一个动点，连接 MA 、MB 、MC ，设 MA+MB+MC＝y ，直接写出 y2 的最小值．
【分析】（1）根据正方形的性质得到∠ADC＝ ∠DCE＝90°，根据矩形的性质得到∠AGD
＝ ∠GDE＝90° ，根据相似三角形的性质和矩形的面积公式即可得到结论；
（2）根据旋转的性质得到 BK＝BP ， ∠PBA＝ ∠KBC， ∠BCK＝ ∠BAP＝180° ﹣ 45°＝
135° ，由勾股定理得到 CH2+PA2＝KH2 ，求得∠PBA+∠ABE＝45° ，等量代换得到∠ KBC+∠ABE＝45°，根据全等三角形的性质得到 HK＝HP，根据勾股定理即可得到结论； （3）根据旋转的性质得到 MC＝KN，BM＝BK，根据等边三角形的性质得到 MK＝BM， 于是得到 MA+MB+MC＝AM+MK+KN，当 A ，M，K ，N 四点共线时，AN 就是所求的 MA+MB+MC 的最小值，过N作NQ⊥AB 交AB 的延长线于 Q，求得AQ＝AB+BQ ＝6+3
， 根据勾股定理即可得到结论．
【解答】 解：（ 1） ∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ADC＝ ∠DCE＝90°，
∵四边形 DEFG 是矩形，
∴∠AGD＝ ∠GDE＝90°，
∴∠DCE＝ ∠AGD＝90° ， ∠ADC＝ ∠GDE＝90°，
∴∠ADC ﹣ ∠ADE＝ ∠GDE ﹣ ∠ADE，
∴∠EDC＝ ∠ADG，
∵∠EDC＝ ∠ADG ， ∠DCE＝ ∠AGD＝90°，
∴△ECD∽△AGD，
∴
＝
，
∴DG•DE＝DC•DA＝6×6＝36，
∴矩形 DEFG 的面积＝DG•DE＝36；
（2）CH2+PA2＝HP2，
证明： 把△BAP 绕着点 B 顺时针旋转 90°得到△BCK，连接 KH，
由旋转得△BAP≌△BCK，
∴BK＝BP ， ∠PBA＝ ∠KBC ， ∠BCK＝ ∠BAP＝180° ﹣ 45°＝ 135°，
∴∠HCK＝ ∠BCK ﹣ ∠BCA＝135° ﹣ 45°＝90°，
∴由勾股定理得，CH2+PA2＝KH2，
∵∠PBE＝45°，
∴∠PBA+∠ABE＝45°，
∵∠PBA＝ ∠KBC，
∴∠KBC+∠ABE＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠HBK＝45°，
∵∠PBE＝45°，
∴∠HBK＝ ∠PBE＝45°，
∵BK＝BP ， ∠HBK＝ ∠PBE ，BH＝BH，
∴△BHP≌△BHK（SAS），
∴HK＝HP，
∵CH2+PA2＝HK2，
∴CH2+PA2＝HP2；
（3）把△BMC 绕着点 B 顺时针旋转 60°得到△BKN，连接 MK，BN，NC，
由旋转得，△BMC≌△BKN，
∴MC＝KN，BM＝BK，
∵BM＝BK， ∠MBK＝60°，
∴△BKM 是等边三角形，
∴MK＝BM，
∴MA+MB+MC＝AM+MK+KN，
当A ，M，K，N 四点共线时，AN 就是所求的 MA+MB+MC 的最小值， 过 N作NQ⊥AB 交 AB 的延长线于 Q，
∵∠NBQ ＝180° ﹣ 90° ﹣ 60° ＝30° ， ∠BQN＝90°，
∴QN＝BN•sin30° ＝6×
＝3 ，BQ＝BN•cos30° ＝6×
＝3
，
∴AQ＝AB+BQ ＝6+3
，
在 Rt△AQN 中，由勾股定理得，AN2＝AQ2+QN2＝（6+3
）2+32＝72+36
， ∴y2 的最小值为 72+36
．
【点评】 本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定 理正方形的性质，矩形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
八、（本题 12 分）
25 ．（12 分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c 与y 轴交于点A ，与 x 轴交 于点 B （3 ，0）、C（ ﹣ 1 ，0）两点．
（1）求直线 AB 和抛物线的表达式；
（2）当点 F 为直线 AB 上方抛物线上一动点（不与 A 、B 重合），过点 F 作 FP∥x 轴交
直线AB 于点 P；过点 F 作 FR∥y 轴交直线AB 于点 R ，求 PR 的最大值；
（3）把射线 BA 绕着点 B 逆时针旋转 90°得到射线 BM，点 E 在射线 BM 运动（不与点
B 重合），以 BC、BE 为邻边作平行四边形 BCDE ，点 H 为 DE 边上动点，连接 CH，请
直接写出 CH+
HE 的最小值．
【分析】（1）将点 B ，C 坐标代入抛物线解析式中，即可求出 a ，c ，进而求出点 A 的坐 标，再用待定系数法求出直线AB 的解析式；
（2）先判断出∠OBA ＝ ∠OAB＝45° ，进而判断出∠FPR＝ ∠FRP＝45° ，得出∠PFR ＝90°，PF＝FR，进而得出 PR＝
FR，再设点 R（t， ﹣ t+3），得出点 F（t， ﹣ t2+2t+3）， 进而得出 PR＝
FR＝ ﹣
（t ﹣
）2+
，即可得出结论；
（3）先判断出∠DEG＝ ∠CBE＝45° ，进而判断出 HG＝
HE，即可得出结论． 【解答】 解：（ 1） ∵抛物线y＝ax2+2x+c 经过点 B（3 ，0）、C（ ﹣ 1 ，0），
∴
，
∴
，
∴抛物线的解析式为y＝ ﹣x2+2x+3，
令 0＝0 ，则y＝3，
∴A （0 ，3），
∴设直线AB 的解析式为y＝kx+b （k≠0），
∵直线 AB 经过点A （0 ，3）、B （3 ，0），
∴
，
∴
，
∴直线 AB 的解析式为y＝ ﹣ x+3；
（2） ∵A（0 ，3），B（3 ，0），
∴OA＝OB＝3，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OBA＝ ∠OAB＝45°，
∵FP∥x 轴，FR∥y 轴，
∴∠FPR＝ ∠OBA＝45° ， ∠FRP＝ ∠OAB＝45°，
∴∠FPR＝ ∠FRP＝45°，
∴∠PFR＝90° ，PF＝FR，
根据勾股定理得，PR＝
FR，
∵点 R 在直线AB 上，
∴设点 R（t， ﹣ t+3），
∵FR∥y 轴，
∴点 F 的横坐标为t，
∵点 F 在抛物线y＝ ﹣x2+2x+3 上，
∴点 F（t ， ﹣ t2+2t+3），
第 31页（共 32页）
）2+
，
∴PR＝
FR＝
[（ ﹣ t2+2t+3） ﹣ （ ﹣ t+3）]＝ ﹣
（t ﹣
∵a＝ ﹣
＜0 ，抛物线的开口向下，二次函数有最大值，
当 t＝
时，PR 有最大值，PR 的最大值为
；
（3）如图，过点 C 作 CG⊥BM 于 G ，交 DE 于点 H，
∵把射线 BA 绕着点 B 逆时针旋转 90°得到射线 BM，
∴∠ABM＝90°，
∵∠OBA＝45°，
∴∠CBE＝ ∠ABM ﹣ ∠OBA＝45°，
∵DE∥CB，
∴∠DEG＝ ∠CBE＝45°，
在 Rt△HGE 中，HG＝HE•sin45°＝
HE，
根据垂线段最短得，（CH+
HE）最小＝CG，
∴CH+
HE＝CG＝CB•sin45° ＝2
，
即 CH+
HE 的最小值为 2
．
【点评】 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，旋转的性质，二 次函数的极值，判断出 PR＝
FR 是解本题的关键．