节选中等题(不含常规题)、难题
7.(4分)如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”.用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析
(1) ∵任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，∴相邻两个数字不能是1和3.
(2) 满足条件的三位数有6个：123、132、213、231、312、321，
相邻两个数字是1和3的数有4个：132、213、231、312，
∴是“平稳数”的概率＝ = .
答案C
8. (4分)如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G.若AF＝2，FB＝1，则MG＝( )
A.2
B.
C. ＋1
D.
解析
(1) 方法比较多，但主要运用相似.
(2) 由AF＝2，FB＝1，得：AB＝AD＝3，EF＝2(△AEF为等腰直角三角形).
∵AD∥CM，
∴CM︰AD＝CE︰AE＝BF︰AF＝1︰2，
∴CM︰3＝1︰2，
∴CM＝ ＝BM，
∴由△MBG≌△MCD得：
MG＝DM＝
＝ ＝ .
答案B
9. (4分)已知反比例函数y＝ (k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y＝－x＋b的图象如图所示，则函数y＝x －bx＋k－1的图象可能为( )
解析
(1) 排除法.
(2) 减少待定系数(k和b)：如图，显然A点坐标为(1，k)(k＞1)，代入y＝－x＋b得：k＝－1＋b，
∴b＝k＋1，
∴y＝x －bx＋k－1
＝x －(k＋1)x＋k－1.
(3) 一般从以下几个方面考虑函数的大致图像：
①对称轴方程；
②与y轴交点；
③与x轴交点(结合与x轴两交点横坐标的和与积)；
④特殊交点.
(4) ①对称轴方程：
x＝－
＝－
＝ ＞1.
排除B；
②与y轴交点：∵常数项为k－1，
∴与y轴交点纵坐标＞0.
排除C；
③特殊交点：
∵y＝x －(k＋1)x＋k－1
＝x －kx－x＋k－1
＝x －(x－1)k－x－1，
∴当x＝1时y＝－1.
排除D.
答案A
10. (4分)如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点.若AB＝4，则下列结论错误的是( )
A.PA＋PB的最小值为3
B.PE＋PF的最小值为2
C.△CDE周长的最小值为6
D.四边形ABCD面积的最小值为3
解析
(1) 预备知识：如图，梯形ABCD中，AB∥CD.点E、F分别是腰AD、BC的中点.连接DF并延长交AB的延长线于点P，易得△FCD≌△FBP，
∴DF＝FP，CF＝FB，CD＝PB.
∵DE＝AE，
∴EF∥AB，
EF＝ PA＝ (AB＋PB)＝ (AB＋CD).
∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD.
连接梯形两腰中点的线段称为梯形的中位线.
由上可得：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半.
(2) 从问题中抽取出如下图形，△ADE和△BCE都是等边三角形，
∴∠A＝∠BEC＝60°，∴CE∥AD，
∴四边形AECD是梯形(也可能是平行四边形，看成梯形不影响结果).
取AE中点M，连接PM，由(1)可得：
PM∥AD∥CE，
PM＝ (AD＋CE)
＝ ×4＝2.
又∠PMN＝∠A＝60°，
∴MN＝1，PN＝ ，
∴P点在平行于AB且到AB的距离为 的直线(以下设为直线l，其实是线段)上.
(3) 如图，作点A关于直线l的对称点G，连接GB交直线l于点P，此时，AG＝2 ，AB＝4，∴GB＝2 ，即PA＋PB的最小值为2 .
(4) 若点E、F不重合，则PE、PF中至少有一条线段的长度＞ ，即PE＋PF≥2 ，显然当E、F重合，且PF⊥AB于，PE＋PF＝2 ，即PE＋PF的最小值为2 .
(5) 遇周长转化为线段的和：△CDE周长＝DE＋CE＋CD＝AE＋BE＋CD＝4＋CD.
如图，作DM⊥AB于M，CN⊥AB于N，DG⊥CN于G，易得：四边形DMNG为矩形，则DG＝MN，CD≥DG＝MN.
∵MN＝AB－(AM＋BN)
＝AB－ (AE＋BE)
＝AB－ AB＝2，
∴CD最小值为2，则△CDE周长的最小值为6.
(6) 设AE＝a，则BE＝b(b＝4－a).如图，作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，
则四边形ABCD面积
＝△ADE面积＋梯形△BCDE面积
＝ AD·ME＋ (DE＋BC)·EN
＝ a· a＋ ×4· b
＝ a ＋ (4－a)
＝ a － a＋4 .
∵ ＞0，
∴当a＝－ ＝2时，四边形ABCD面积有最小值，
最小值＝ ×2 －2 ＋4 ＝3 .
答案A
14. (5分)如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y＝ (k＞0)的图象经过斜边OB的中点C.
(1) k＝________；
(2) D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB －BD 的值为________.
解析
(1) ∵AB＝2，∠AOB＝30°，
∴OA＝2 ，
∴B点坐标为(2 ，2).
∵C为OB中点，
∴C点坐标为( ，1)，
∴k＝ ×1＝ .
(2) ∵DB∥AC，
∴易得∠DBA＝∠BAC＝60°.
作DE⊥AB于E，则DE＝ BE.
设D(a， )，
则DE＝a－2 ，BE＝2－ ，
∴a－2 ＝ (2－ )，
∴a＝2 ＋3(2 －3舍去)，
DE＝2 ＋3－2 ＝3，
BE＝2－ ＝ ，
∴OB －BD
＝OA ＋AB －(BE ＋DE )
＝(2 ) ＋2 －[( ) ＋3 )]
＝16－12＝4.
(3) 遇反比例函数的图像问题，若图像上有点，则大胆设出点的坐标.若不可求，则一般设线段中点(在双曲线上)的坐标.
答案(1) ；(2)4
22. (本题满分12分)在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD，BD，
(1) 如图1，求∠ADB的大小：
(2) 已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD，DE∥AB.
①如图2，连接CD，求证：BD＝CD；
②如图3，连接BE，若AC＝8，BC＝6，求tan∠ABE的值.
解析
(1) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.反之，若一个三角形某边上的中线等于这条边的一半，则此三角形为直角三角形(这条边所对的角是直角).
(2) ①易得：四边形MAED为菱形.连接CM，则BM＝CM.注意到点A、B、D、C四点共圆，则运用相等的圆周角所对的弦(弧)也相等可证，或证△MCD≌△MBD.
②问题抽象如下：△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，E为AC上一点，且AE＝5，求tan∠ABE的值.
作EF⊥AB于F，利用相似(或锐角三角函数建立线段比)求出EF、AF、BF即可.
答案
(1) ∵M是斜边AB的中点，
∴易得MD＝ AB＝AM＝BM，
∴∠MAD＝∠MDA，∠MBD＝∠MDB.
∵∠MAD＋∠MDA＋∠MBD＋∠MDB＝180°，
∴2∠MDA＋2∠MDB＝180°，
∴∠MDA＋∠MDB＝90°，
即∠ADB＝90°.
(2) ①∵MA＝MD，∴∠1＝∠2.
∵DE∥AB，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.
设AD与ME的交点为F.
∵ME⊥AD，
∴∠DFE＝∠DFM＝90°，
∴△DFE≌△DFM.四边形MAED为菱形，
∴AC∥MD，
∴∠CMD＝∠ACM，∠CAM＝∠BMD.
连接CM，则CM＝AM，
∴∠CAM＝∠ACM，∴∠CMD＝∠BMD，
∴△MCD≌△MBD，∴BD＝CD.
②∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10.
∵四边形MAED为菱形，
∴AE＝AM＝ AB＝5.
作EF⊥AB于F，
∵sin∠BAC＝ ＝ ，
即 ＝ ，∴EF＝3，
∴AF＝4，BF＝10－4＝6，
∴ tan∠ABE＝ ＝ ＝ .
23.在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax ＋bx(a≠0)经过点A(3，3)，对称轴为直线x＝2.
(1) 求a，b的值；
(2) 已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t＋1.过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E.
①当0＜t＜2时，求△OBD与△ACE的面积之和；
②在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为 ？若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由.
解析
(1) 由点A(3，3)、对称轴为直线x＝2可建立方程组，从而求出a、b的值.
(2) ①分别求出用含t的代数式表示出点B、D、C、E的坐标，从而易求△OBD与△ACE的面积，再求出它们的面积之和.
②若点B在抛物线对称轴右侧，则点C一定在点A的右侧，即t＋1＞3，∴t＞2.
点B在A左侧，则四边形为BDEC；点B在A右侧，则四边形为BDCE.用含t的代数式表示出的点B、D、C、E的坐标及面积为 可建立方程，从而求出t值.
答案
(1) 由点A(3，3)、对称轴为直线x＝2得：
a×3 ＋3b＝3，－ ＝2，
∴a＝－1，b＝4.
(2) ①∵点A(3，3)，∴直线OA的函数表达式为y＝x，
则B(t，－t ＋4t)、D(t，t)、
C(t＋1，－(t＋1) ＋4(t＋1))、
E(t＋1，t＋1).
如图，∵0＜t＜2，∴B、C都在直线y＝x上方，
∴△OBD面积＝ [(－t ＋4t)－t]·t
＝－ t ＋ t ，
△ACE的面积
＝ [－(t＋1) ＋4(t＋1)－(t＋1)]·[3－(t＋1)]
＝ t － t ＋2，
∴△OBD的面积＋△ACE的面积
＝(－ t ＋ t )＋( t － t ＋2)
＝2.
②∵点B在抛物线对称轴右侧，
∴t＋1＞3，∴t＞2.
如图，四边形BDCE是梯形.
∵B(t，－t ＋4t)、D(t，t)、
C(t＋1，－(t＋1) ＋4(t＋1))、E(t＋1，t＋1)，
∴BD＝－t ＋4t－t
＝－t ＋3t，
CE＝t＋1－[－(t＋1) ＋4(t＋1)]
＝t －t－2，
∴四边形BDCE面积
＝ [(－t ＋3t)＋(t －t－2)]·1
＝t－1.
∵四边形BDCE的面积为 ，
∴t－1＝ ，t＝ .
如图，四边形DBCE是梯形，此时t＞3.
同上可得：
BD＝t－(－t ＋4t)
＝t －3t，
CE＝t＋1－[－(t＋1) ＋4(t＋1)]
＝t －t－2，
∴四边形BDCE面积
＝ [(t －3t)＋(t －t－2)]·1
＝ t －2t－1.
∵四边形BDCE的面积为 ，
∴t －2t－1＝ ，
t＝ ( 舍去).
∵ ＜3，∴ 舍去.
综述：t＝ .