风险是一个普遍却又精深的概念，它被人们广泛地使用和论述，但却没有得到很好的理解。“风险”一词在牛津字典中是这样定义的:风险，出现在可能受伤或发生损失的情况下。危险，是指损失、受伤或者其他不利的情况发生。一些经济学家，认为风险可以出现在任何一端，这种风险被称为双尾风险。这两种定义方式导致了两种不同的风险度量方式以及不同的风险管理方法。这些度量方式和管理方法是相互关联的，并且也是重要的主题。
风险的度量
大多数决策涉及的情况都含有下行风险，包括广大的决策者如店主、雇佣者、旅行者和投资者，但不涉及具体的风险度量方法或对风险的定义。
这些决策者会比较几种回报分布或者结构松散的效用，然后选择更为倾向的一种。每天大多数人都在做这样的决定。
举个例子，我可能会从卖者那里买一个苹果。我的下行风险是我可能不喜欢它的味道，那么这次的购买则会是一种时间和金钱的浪费。
卖者的下行风险是如果我不喜欢这个苹果，那么我以后可能就不会再来他这里买水果了。
在每种情况下，我们明白它涉及的风险类型，但是我们不需要对将要发生的典型交易中的风险进行度量。
在一些例子里，比如当一个人想去买卖风险，即用一个风险交换另一个风险，或者正式地去管理风险，准确度量风险的方法就变得很重要。
对于双尾风险，最常用的度量方法是方差法和平均绝对偏差法。
如果数据符合高斯分布，那么使用方差法可以得到风险的准确度量值，但是在现实金融序列中很少有符合高斯分布的。
如果数据符合双指数分布，那么 MAD 就是离散程度的近似度量值。方差法讲究实效，更加有用，但是当数据的分布带有长尾时，其统计特性就较差，而数据的这种分布在经济中又常常出现。
而 MAD 则更适合这种情况。从形式上看，MAD 的平方像方差的一部分，但是方差的平方形式则是四阶，能够根据长尾样本的数据很好地估计样本偏差。
当序列含有很多的离群值时，序列的平均数可以用截短的序列平均数或者序列的中位数代替，不过需要这种替代的情况很少。方差法用得很广泛，常常不用深入思考就能用其来识别风险，所以商学院的大多数学生常把方差和风险等同起来。
一个明显的可替代的下行风险的度量方法是低尾风险分位数估计，这是在险价值 (VAR)的基础。
有趣的是，它是由一群银行业者提出的，他们属于财务代理或财务经理，这里我们简称为d组。值得指出的是，很多决策者是属于 c(保险代理人或相关经济学家)、d（财务代理人或财务经理）、e（其他行业的专业人员） 和f（公众）组的，尤其是f组。
他们制定关于风险投资的决策，反对制定时没有一种精确的风险度量方法而不能够作出合理的决策。你往往只需要一个相对的风险排名以作决策。但是在决策中所用到的风险水平往往是感知上的下行风险而不是确定的。
如果一个人去旅行，会有几种可选择的交通方式，像自驾、乘坐公交、火车或者飞机。一个人选择何种方式取决于它的花费、方便程度、所需时间以及他个人对于下行风险的判断。
在美国，乘坐公交和飞机拥有低下行风险，自驾明显具有最高水平的实际风险。但是大多数的驾驶人员对于自己的驾驶技术有偏高的估计，往往倾向于自驾游。
个人对于下行风险的观点很大程度上取决于其自身是否处于可控状态。当一个人能自我掌控时，下行风险往往会被低估，比如驾驶、游泳、喝水等。
当一个人不能自我掌控时，下行风险可能会被大大地高估，比如在加利福尼亚游泳时被鲨鱼袭击，比如在山上徒步时被狮子袭击。
一些极其重要且让人难忘的事件包含极端的下行风险，比如最大的风暴最大的海啸、最强的爆炸、最凶猛的洪水等。对于一个统计员来说，从严格意义上讲，极端是指一串数据的最大值和最小值，所以样本的极端就只有两个你可以考虑一个波动的样本，谈论过去 5 年里最大的洪水，但这降低了概念的影响。
近年来，对极端事件和尾部行为的经验分布的建模越来越受到关注。很明显的特征是，即使拥有的数据很少，但是只要几个市场都被使用，极端事件的模型就会被定义。
当数据很少时，标准的做法是用一个理论代替它们。有很多很好的关于独立序列的极端值分布的理论，但这些理论和股票市场回报有多大的吻合度并不清楚，因为波动实验表明它们是相互联系的。统计员可能会惊讶，比起极端值，对最新纪录的关注程度相对要小一些。
纪录是指过去的所有样本中最大或最小的值，因此它会很频繁地出现并且都会有一个有趣的解读也可以是指一个能够在 i.i.d 序列和一些不独立的序列应用的简单统计理论归功于全球变暖，我们可以很容易地看到极端值和纪录出现的频率比起以前已经高了很多，但却很难使其更加精确。
不确定性理论和E-V分析法
研究不确定性理论的经济学家是一群很重要、很有影响力的人，他们已经提出了强有力而且很有吸引力的理论，这套理论试图从本质上包含整个领域。
下面只谈及理论里的重点主题以及与总体计划最为相关的部分。
这个理论从一组显而易见的关于偏好的可信公理开始。
比如，比起 B 我更喜欢 A，比起 C我更喜欢 B，那么比起 C 我会更喜欢 A。理论一开始有 5至6个这样的公理，每一个都很简单，毫无争议。
根据这些，不同的学者或专家证明了理性的决策者不会仅仅考虑回报效用的分配，而会作出理性的选择使预期效用达到最大。
因此，如果一个消费者在三个产品间作出选择，每个产品都有其相关联的效用分配，那么，拥有最高平均数或者期望值的产品将会是最好的选择。
因为统计人员常常会被告知，他们可以忽略分布其他所有的特征 (像分布的尾巴、宽度、偏度)，而只需考虑平均数，显然这与他们所接受的基础培训背道而驰，所以很自然他们就会怀疑。
这种怀疑是在一些复杂分析过程中被发现的，主要针对公理的逻辑性。
尽管这个基础理论存在重大的问题，但是其中很多的定义和推论仍然被保留了下来。提出不确定性理论的经济学家把不确定性和风险等同起来，是为了让风险变成双尾。
尽管它的理论意义远大于实际意义，预期效用的最大值依然是这些经济学家重要的研究方向。有一点很有趣，不确定性理论经济学家是双尾风险的运用者，但却不赞同方差法在风险度量中的运用。他们认为方差法不够灵活，很难表达他们的想法。
但是这些约束在一些领域比如贸易和金融领域却没有影响或者没有实际影响。因此，我们不会对其作进一步的探索。
在这里，回报的分布将用平均数 (记为 E) 和方差 (记为V) 近似估计如果这些回报是正态分布的，那么这两个统计数据已经足够描述它了。
但是早在 1959 年甚至更早的时候，人们就已经确切地知道股票市场的回报并不符合高斯分布。Markowitz 在他第一次论述“组合证券投资选择”的时候，就使用了 E-V 分析法。
这个分析法被认为是组合分析的重要的基础技术因为它很容易理解，而且它是线性形式，因此使用起来也就显得很方便。
对于一对EV组合，给出E的一方希望给出的V是最小的，给出V的一方则希望给出的 E是最大的，但是有一些 EV 组合是无法排序的。
下面是个简单有用的例子，比较下列两组随机结果或者奖金(这里 K 表示千美元)。
a.1/3的概率获得20K 美元，2/3 的概率获得5K 美元。
b.2/3的概率获得15K 美元，1/3的概率获得0美元。
每一组的平均值都是 10K 美元，方差都是50K 美元，所以按照上述的标准无法确定哪组较好。
但是，调查显示大多数人更倾向于选择b组。值得指出的是，若奖金独立，则 a、b两组各占1/2，选择新的投资组合，则会发现新组合的平均值为 10K 美元，方差为 25K 美元，很明显这组比 a、b各自的回报要好。但是我怀疑即使这样还是有许多人仍旧选择 b这个组合。
在广大的投资者中，有一些是预期效用的支持者，而有一些则使用 E-V分析法。
那么他们的有一种方法可以替换 EV分析法，这种方法比考虑全部的分布要简单它只用考虑分布的低尾部分、中间部分和高尾部分。
中间部分可以大致用平均数代替，虽然用中位数替代更好，但一般这也没什么争议，因为平均数总是存在的。
尾部延伸多远由个人决定，问题是，是否用同一种度量风险的方法度量两个尾部。用度量下行风险的方法度量则把所有的重心放在了一侧，而用方差法度量则在两个尾部放了相同的力度，然后将它们加在了一起。在实际的分布中，这两种方法都显得太过简单了。
在EV领域，由夏普比率给出了一种简化的投资组合表现视图，它表示投资组合的平均回报和当前无风险比率的不同之处，由回报的标准差划分。比起标准差，类似的数量也可以用下行风险来构建。
波动在统计学中并没有被很好地定义，即使对于一个时间序列也一样。
它最常用的地方是股票回报，其次是双尾增加分布的波动，所以其方差是自然测度的。事实上，字典上波动和方差的定义是相同的。
但是如果我们查看美国东南部的降水量数据，则其会有一个标准的分布。但在一些年份中，那里也会有很多意料之外的热带风暴，这些风暴可以视为是降雨量分布上尾部增加的波动，而降雨量的分布则涉及下行风险。
运用均值保持利差，可以先用一个标准的分布型，将较多的数据移至低尾部，然后在低于平均值的其他部分少用一些数据用以修正补偿，以此来创建一个平均值不变，下行风险变大，方差变大且有额外上尾风险的分布。
同样，也可以创建一个和之前相似但是平均值和方差都不变，没有额外下行风险的分布。因此可以创建出两个分布，在形式上和 EV相同，但是一个重点在下部，另一个重点在上部。至于选择哪个是个人的偏好。
上行波动可能是关于下行风险大小的标示，而且有可能是唯一一个有用的标示。
如果一笔资产始终在增长，而且增长得很惊人，则正如那个长期资本管理的著名例子所显示的一样这预示着下跌即将发生。因此在某些情况下，即使最终关注的是下行风险，但上行风险还是需要考虑。
风险管理
尽管风险度量是一个重要的话题，但是如何管理风险这个问题更为重要大多数的风险管理涉及的都是下行风险，很少为上行风险设计风险管理。
很多形式的下行风险都有其对应目标，其目的是把风险降低到一定程度，此处称之为风险应对。
比如，家庭保险是用来降低火灾、洪水、地震所带来的风险；汽车保险是用来降低车祸带来的风险；航空保险和健康旅行保险；买车时，车要有安全带、安全气囊、安全的方向盘设置；小心地阅读药瓶上的使用说明以及不时补充关于日常食物健康风险问题的知识等。
我们可以将下行风险和很多风险应对联系起来以降低风险值。一些风险应对确实降低了风险，比如那些药瓶上的提醒和汽车的安全配置。
但其他比如保险则仅仅降低了风险带来的经济损失。一些已经存在很久并被人了解的下行风险一般有相应有益的风险应对，但是一些新出现的下行风险一般还没发展出相关的风险应对。
对于一个风险的度量应该在其相应的风险应对的应用实现之后进行。
上行风险的风险应对不存在，因为没人希望降低或者约束这种风险。
似平没有像发现金矿暴富或者从亲戚那里继承巨额财产这样的能够获取高收益的市场。我想一个杰出的经济学家可以以现金的形式出售他/她未来诺贝尔奖的份额，假设他/她可以获得该奖，但这从未出现过。我想可能是因为存在这样的市场会降低获奖的概率。
在标准化保险的情况下，你向公司交付了年度销售额中的一小部分，但是假设小概率的事也会发生，则在下尾部，公司会给你一个较高的年度奖金。
在上尾的相等处，公司会给你较低的年度奖金，但是如果你有额外的收入，那么绝大多数需要交给公司。
像这些“反保险”的情况很少出现，但还是存在的。比如一个机构雇佣发明家思考，并以协议的形式从发明家的发明获利中得到一部分为其收入，这种情况的确存在。
对于双尾风险来说，一个合适的风险应对可以降低下尾风险而保持上尾部分不变。
运用一些方法、手段是能够完成的，然而如果标准的线性组合工具是设计用来减少方差的话，那么双尾都会被减少。
因此减小下行风险可取方式是先将回报分布的上尾部分减少。考虑复杂的投资，涉及衍生品，连同采集的数据的长短和风险应对的思想以及保险和反保险，这可能是一个复杂的讨论，但却是一个潜在的有趣话题。
如果风险应对存在的话，那么它的形式和程度很大程度上将取决于对应风险的形式、新奇性和大小，b 组 (金融学家)、c组(保险代理人)和d组(财务代理人及财务经理)在风险管理的实践操作中做得很好。
作为一个非专业人士，很难去评论保险公司的好坏。对于外行人来说，保险业是一个能够在时下吸收大量冲击的行业。
b、d 组的人解决不同类型的问题，同时也用不同的方法管理风险，一部分原因是他们对于风险的定义是不同的。d中的财务经理常常会列举他们正面对的很多风险，这些风险大多是下行风险。他们常常用期货合约、互惠信贷、各种形式的*款贷**来管理这些风险，其也可以构造衍生品，以减少一部分下行风险。这个市场不包括典型的小投资者。
在 b组中，管理股票、债券或者类似金融资产的组合风险时，最受推崇的方法是线性组合理论。
这个理论可信，易理解，但如果资产较多，就难以实施，尽管这对于现代数学和计算程序来说并不算什么。这个理论也引导了一些有趣的简化理论，比如固定资产定价模型理论。但是在基本组合理论里，度量风险的方法是方差法，对应的是双尾风险。
如果你选择一个基于这个双尾风险度量方法的投资组合，那么就该通过减少上尾部分收益率的方法获得一个下尾部分比重较少的投资组合。
同样也可以通过采取最小化尾部风险的方法形成一个投资组合，但这个方法在计算上就显得困难很多。但是在网上的一个调查显示，很少有商业公司宣布它们用下行风险度量的方法构造新的投资组合。
另一种方法是用均值保留展型和一些必要的衍生品将投资回报的原始形态“雕刻”成所偏爱的形态。这个过程一点都不简单，但似乎已变得随处可见。目前在数学上有一类关于风险管理的各种方法的研究文献。
很多属性是数学家们认为一个好的度量风险的方法所需要具备的。一个具有这些属性且有 4 个公理表示特点的风险度量方法被称为相关法。这些公理尽管有些争议，但每个都是显而易见的。
比如第二个次可加性公理“反映了风险可以被多样性减弱的观点”。
有发现表明风险的度量是基于数量的，像在险价值就不是相干的。这仅仅表明了那些由数学家指出的属性和决策者所要求的是不一样的。
