还记得第一次使用多数决（“少数服从多数”）是在什么时候吗？

判断事情是否属实有时也会用到理论，而评判是非出现分歧时或许也会用到多数决。那么话说回来，究竟什么情况适合使用多数决呢？

比如，用多数决决定“大家一起欺负的对象”是不合适的。想必大部分人都会表示赞同，认为这是侵犯*权人**。设想一伙入侵者跑到你家，告诉你“我们以多数赞成决定这个家归我们所有”，你肯定认为他们脑子有问题，因为这样做侵犯了所有权。

然而，不是所有不合理都显而易见。2002年，联合国安全理事会15个理事国全票通过“第1441号决议”，要求无条件和无限制地对伊拉克的大规模*伤杀**性*器武**进行核查。这次多数决是否合理？翌年，美英以违反该决议为由对伊拉克发动了进攻。让人意想不到的是，多数决和*力暴**之间其实并无明显差异。

多数决究竟是否适合统一想法、制定集体决策？不少反对者认为应尊重少数人的意见，可多数决是否就尊重了多数人的意见呢？

单独一人谈不上什么决策方法。一个人在做决定前固然也有很多要考量和关注的问题，比如计算利益得失、反思自己的道德观，但只要独自开动脑筋，就能解决所有问题。然而，这种方法不适用于两人以上的集体。集体即使争取在所有细节上达成一致，尽可能地汲取少数意见，也未必能得出一个全体成员都赞成的结论。集体在某一时点做出决定的制度，即决策方法。

这是一本用经济学思考决策方法的书。多数决是决策方法的一种。这种方法很常见，但如果选项 有 三个以上，结果就很容易受到选票分流的影响。多数决有很多优化方案和替代方案。优化方案之一是二轮决选，替代方案之一是“第1位计3分，第2位计2分，第3位计1分”的计分制。

本书将决策方法视为把人们的想法作为信息综合起来制定集体决策的函数。这种将制度视为函数的视角来源于经济学。

根据社会选择理论（social choice theory），用真枪实弹的数理分析对决策方法进行了一次彻底调查。本书便以该调查成果为基础编写而成。如果你在选举或平时的会议中觉得自己的决策不够好，所做的选择经常有悖多数人的想法，你或许会在本书中找到原因。同时，你还会惊叹于决策方法对集体、社会甚至历史的颠覆性影响。本书将列举美国总统选举、种族平等化进程的事例证明这一观点。决策方法也可能被用于不良目的，了解决策的相关知识或许对自我保护也有帮助。掌握了这些知识，你就能够明确地用语言解释某种决策方法使用得是否得当。

本书由四部分组成。

第1部分论述“决策方法决定历史”。*意民**是我们在生活中经常遇到的一个词，然而*意民**是否真的存在？第1部分讨论的便是可否将选举结果擅自解释为“*意民**”（当然不可以）。在多数决以外的决策方法中，哪一种是民主的？选举、*意民**调查结果等简单的实际案例能使你体会到决策方法的多样性和决策方法对结果的决定性影响。

第2部分探讨“哪种决策方法最适合选项多于三个的投票”，即出现选票分流时应该使用哪种决策方法。我不会筛选出一种最佳方法，也不会单纯罗列几种方法，以它们各有优劣作结，而会说明每种方法优劣的原因，并选出相对优秀的方法。

第3部分介绍“多数决在二选一投票中的正确用法”。这部分主要讨论二选一的多数决，比如陪审团决定被告人是否有罪的表决、国会议员决定法案是否通过的表决。多数决的“正确用法”很难掌握。思考如何用好多数决便是这部分的目标。

第4部分讨论“不应尊重的多数意见”，涉及一些处理起来比较复杂的案例。比如应当用投票以外的方式做决定的事项，即使全体一致赞同也会被某些原理干涉的情况。公寓自治会如何决定电梯维修费用的分摊方法？是否应尊重想要决斗的两个男人的意志？试图干涉对方宗教信仰的两个朋友的心情又是否应得到尊重？越是棘手的问题，就越需要谨慎选择决策方法，否则会导致不合理的结果（比如通过多数决让公寓1层的住户全额支付电梯维修费用）。

社会制度不是上天或大自然的馈赠，而是人为的产物。现存的制度究竟是否完善？如果存在很大缺陷，更换成其他制度岂不更好？要换又应换成什么？

第1部分 决策方法决定历史

1、选举结果能体现*意民**吗？

都说选举体现“*意民**”，但*意民**是否真的存在？要说选举能产生结果倒是确实，但我们能否称之为*意民**？如果改变选举方式就能颠覆选举结果，那其体现的就不是*意民**，而是选举方式。从结论来讲，事实确实如此惊人，换用不同的决策方法就能轻而易举地改变结果。

在多数决制度下，拿下51%的选民就能获胜。因此，提案人可以在“大概能得到51%以上支持的多种方案”中，提出对自己最有利的一个。

“选择政治家”不等于“选择政策”

选择政治家和选择政策是完全不同的两回事。这种差异不仅体现在思想或概念上，选择所引发的结果在理论上也存在巨大的差距。下面介绍的奥斯特罗戈斯基悖论便鲜明地再现了这种乖离现象。

假设有5名选民，2个政*党**A和B。选举期间有三个争论的议题：“金融”“外交”和“核电”。政*党**A和B针对各议题打出各自的政策。选民对这三个议题的重视程度相同，他们在各议题上支持的政*党**如图表所示。比如，从图表中可以看出，选民1在金融和外交方面支持A*党**，在核电方面支持B*党**，综合评价支持A*党**。

选举期间，各*党**派都会发布名为“竞选纲领”的政策集，其实质为政策的“*绑捆**销售”，这也是引发奥斯特罗戈斯基悖论的原因。

直接选举政策和间接选举代表的结果相反——奥斯特罗戈斯基悖论

选举的结构体系尚不支持选民“分别购买不同企业的文字处理软件和试算表软件”，只能从“金融A、外交A、核电A”套餐和“金融B、外交B、核电B”套餐中选择一个，没有第三个选项，如“金融A、外交B、核电A”。

2、“选票分流”导致多数决失效

选项为三个或三个以上的情况更加复杂。在这种情况下采用多数决会出现“选票分流”。我们以美国总统选举为例思考这个问题。

在2016年总统选举的前一年，也就是2015年的预选阶段，发生了一场有关共和*党**候选人提名的风波。特朗普想获得共和*党**的候选人提名。参与提名竞争的候选人必须签署一份投名状，承诺“如果自己未获得提名，将不参加大选”，而无论如何也想得到提名的特朗普曾一度拒绝签署投名状。

这样做的目的是什么？假设共和*党**提名特朗普以外的人为候选人，此人和民主*党**提名的候选人便是两大政*党**拥护的候选人。在这二人展开激烈竞争时，一旦特朗普插足进来，就会分流共和*党**的选票。特朗普即便赢不了大选，至少也能拉共和*党**候选人一起下水。拒绝署名便起到了威胁作用——得不到提名就让共和*党**输。最终特朗普在*党**高层的说服下（或是醒悟到那样做的弊端）做出让步，签署了投名状。

威胁分流选票是“玩票的”特朗普的原创行为，而选票分流现象本身在美国总统选举中早有先例。

在2000年美国总统选举中，民主*党**候选人戈尔和共和*党**候选人布什是两大政*党**提名的主要候选人。起初戈尔更占优势，但中途发生了变故——绿*党**的拉尔夫·纳德作为“第三候选人”加入激战。纳德没有当选的可能性，而他的支持者大多也支持戈尔。最终，纳德夺走戈尔的部分选票，给戈尔造成致命打击，让布什实现了逆转获胜。可见“多数决”的结果未必反映多数意见。

日本选举也经常出现选票分流现象。在国政选举中，为了与执政*党**的候选人竞争，多个在野*党**分别推举了竞选对手，结果全军覆没。这便是选票分流造成的结果。

这一现象被媒体称为“没能将候选人统一为一个人”。“没能”自然是个消极表达。此时，在野*党**没有统一候选人的策略，或者说选民没有统一投票目标的投票行为，成了非议的对象。

错不在纳德，也不在未投票给戈尔的纳德支持者，而在于多数决这种决策方法。问题不在于人，而在于制度。

3、决策方法决定结果

“决策方法”起到决定性的重要作用，不同方法得出的结果截然不同。我们来思考“依次支持纳德、戈尔、布什的选民”的情况。如果纳德没有参选，他心目中的第二位戈尔就会当选；而当他最支持的纳德参选后，赢得大选的却是第三位的布什。换句话说，他最支持的候选人的出现导致了他最不想看到的结果。在多数决的选举中，选择机会的多样化使结果偏向歧途。

那么，哪些选举方式能够避免这种情况呢？最简单的方法是给多数决加一轮投票。在第一轮多数决中，如果第一位未获得过半数选票，就在前两位之间进行第二轮投票。如果采用这种方式，布什和戈尔就会进入第二轮投票，最终戈尔取胜。

博尔达计数法则是更正规的方法。这种方法对排名计分：第1位计3分，第2位计2分，第3位计1分。在博尔达计数法下，众多的戈尔支持者会把戈尔排在第1位，而纳德的支持者会把戈尔排在第2位，所以戈尔的总得分理应高于其他两名候选人，赢得大选。在这场总统选举中，无论采用二轮决选还是博尔达计数法，戈尔获胜都是最可能的结果。

不过，通常情况下，这两种决策方法会使不同的选项胜出。下面来思考一个简单的例子：有9名选民，3个选项A、B、C，投票结果如图表所示。该图表表示的是，比如有4名选民依次支持A、C、B。假定选民在选举中按照这一排序进行投票。用多数决获胜的是A，用二轮决选获胜的是B，用博尔达计数法获胜的是C，可见决策方法能够颠覆结果。

决策方法决定结果

政治受“决策方法”摆布

多数决很容易受到选票分流的影响，这对政*党**政治的形态造成了极大的影响。

政治学中有一个预测：小选举区的多数选举制使政*党**政治的形态趋于两*党**制。该预测成立的前提是在野*党**联手避免选票分流，选民将票投给第二支持的政*党**以避免给落选者投票。人们用提出人的名字将这项预测命名为迪维尔热定律(Duverger's law)。迪维尔热定律虽然达不到普遍成立的“定律”的高度，但在各国均能观察到这种趋势。

假设迪维尔热定律完全成立，在小选举区制的导向下，就只有两大政*党**的候选人会参选，也就不必担心选票分流的问题。然而，如果定律不完全成立，即出现“第三政*党**”，它即使势力微弱，也能具有逆转选举结果的潜力。正如纳德参选的案例所示。

2、“民主的”决策方法——博尔达计数法

在多数决的优化方案中，最简单的是增加一轮投票，而更正规的则是给排名计分（第1位计3分，第2位计2分，第3位计1分）的博尔达计数法。它们都能抑制选票分流带来的影响。那么，这两种方法中，哪一种更为民主呢？说到底，民主的决策方法是什么样的呢？本章将从所有人(for-all)的民主主义而非多数人(not for majority)的民主主义的视角来思考这个问题。

多数决的选票上没有填写“第2位以下选项”的空格

有一种选票叫“空白票”，指没有填写任何内容、原封不动投入投票箱的选票。不少人通过投空白票的方式表示没有自己支持的候选人。不过，空白票对选举结果没有任何影响。从结果来看，空白票对选举的影响等同于弃权。专程到投票站投空白票的行为固然积极，但谁也无法否认其效果的消极性。在旁人看来，这一举动甚至有些可惜。在计票过程中，空白选票所包含的信息量为零。多数决相当于强制选民给第2位以下的所有候选人投空白票。

包括多数决在内的所有决策方法都是“计算盒”。输入选票信息就会自动输出选举结果。而多数决只容许输入最少限度的信息。都说“选举体现*意民**”，但多数决选举做不到这一点。毕竟选民只能输入少量信息，好比嘴被堵住的人无法回答他人提出的问题。

“二轮决选”与“博尔达计数法”，哪个更好？

准确地讲，二轮决选是指，如果第一轮多数决中无人获得过半数选票，则针对前两位进行第二轮多数决，从中决出胜者。第一轮多数决中分流的选票能够在第二轮投票中回流。

极右政*党**（在多数情况下）没有与其相似的政*党**，其他政*党**之间发生的选票分流使它容易在第一轮多数决中名列前位。进入第二轮投票后，即使没能胜出，政*党**也能得到一次很好的宣传，为今后的人气造势。

“第1位计3分，第2位计2分，第3位计1分”的博尔达计数法由法国海军科学家让-查理斯·博尔达(Jean-Charles, chevalier de Borda)于18世纪后期提出并首次进行了数理分析。博尔达计数法的原理很简单，在博尔达之前也曾有人提出类似的方法。

在博尔达计数法的规则下，选民可以在选票上同时填写“第2位”和“第3位”，因此不会出现选票分流的问题。中欧斯洛文尼亚的少数民族代表选举，是博尔达计数法在国家政务中的一个应用实例。

博尔达计数法和多数决看似差异很大，其实在分类上都属于“计数法”(scoring rule)。计数法是按排名赋予分数的决策方法，而多数决相当于“第1位计1分，第2位以下均计0分”的极端倾斜的计数法。

“博尔达计数法”选出“受到广泛支持的人”

二轮决选与博尔达计数法对选票分流都有一定的抑制作用。那么，二者的本质差异是什么？是选民对待第2位以下支持者的方式。

假设存在多名候选人，一名候选人在所有选民心中均排第二。虽然选民们支持的第1位各不相同，但所有选民均把该候选人作为第二支持的对象。在图表的事例中，该候选人即为B。该事例*共中**有9名选民和4名候选人，所有选民均把B作为第二支持的对象。

博尔达计数法选出的是“为所有人服务的候选人”

至于这一特征为什么是理想的，下面我们从民主主义和决策方法的关系出发思考这个问题。

博尔达计数法是更接近全票通过的决策方法

民主主义也包括各种理论，但其本质都是“统治者与被统治者的同一性”。简单来说就是人民的事人民定。其难点在于是“人民”而不是“个人”。

如果是个人，自己动动脑筋就能做出决定。但如果是由无数个体组成的人民，事情就没有那么简单了。无论讨论进行得多么细致入微，都未必能得出全票通过的决定。为此，集体需要借助决策方法引导出决定。

那么，二轮决选和博尔达计数法，哪种决策方法更为民主？

无法实现全票通过时，多数决根本做不出让所有人都满意的决定。此时用决策方法将众多意见统一成一个意见是对全票通过的让步。这样看来，采用让步程度小、做出的决定相对接近全票通过的方法更适于做出“人民的”决定。那么，哪种决策方法更贴近民主主义“不为多数人而为所有人”的思想呢？

在上述事例中，博尔达计数法选出了所有人第二支持的B。那么，相比选择A、C、D等其他选项，选择B是否是更接近全票通过的决定？远近是有关距离的概念。下面我们就来计算各选项到达全票通过状态所需要的步数。

博尔达计数法的选择更接近全票通过的结果

也就是说，到达全票通过的第一位所需步数最少，即距离最短的选项是博尔达计数法选出的B。博尔达计数法非常适合“所有人”的民主主义。除二轮决选之外，“进行多次多数决”的多轮淘汰决选也不适合民主主义。

与其说博尔达计数法不是最好的方法，不如正视本来就没有最佳选项这一无奈的现实。在这一前提下，博尔达计数法选出的选项极具说服力，可以视为第二好的选择。

3、选项之间的单挑——循环赛

多数决只在选项多于三个时才会发生选票分流。那么，我们把选项两两提出，进行多数决的循环赛，结果又会如何？

正如猜拳游戏中，石头战胜剪刀，剪刀战胜布，布战胜石头，三者互相牵制，多数决的循环赛也会出现类似的牵制现象。

只要让选项两两组对用多数决进行比较，便有可能产生类似的循环。这种现象被称为投票悖论。

在实际中，我们很少像GfK的*意民**调查那样发现投票悖论的存在。这或许是因为大多数选举和*意民**调查采用的都是“你最支持谁”这种单一回答式问法。没有数据能够判断是否存在投票悖论。

从GfK的数据中发现投票悖论的政治学家库里尔德·克里特加德（P. Kurrild-Klitgaad）曾说过这样一句话：只有问对了问题，才能得到耐人寻味的回答。（来源：库里尔德·克里特加德（2001））

多数决循环赛引发相互牵制的结果

在和所有其他选项的双向多数决中全部获胜的选项称为全胜者。从定义来看，全胜者实为“反映多数意见”的选项。另外，全胜者的英文为“Pairwise Majority Rule Winner”，直译便是“在双向多数对决中获得全胜的人”。鉴于名字较长，本书中简称为全胜者。在和所有其他选项的双向多数决中全部落败的选项就是全败者。

斩断“投票悖论”

下面来思考如下图表的事例，即既没有全胜者也没有全败者，且存在投票悖论的情况。该事例共有13名选民，A、B、C三个选项。

用分差解决投票悖论

循环赛的结果如下：

• [结果1]在A对B中，A以8比5胜出。
• [结果2]在B对C中，B以11比2胜出。
• [结果3]在C对A中，C以7比6胜出。

A战胜B, B战胜C, C战胜A，出现了投票悖论。哪个选项都不是全胜者，也不是全败者。

妥善解决投票悖论的方法之一是去掉得票差最小的一组结果。正如采用循环赛制的足球比赛要考虑净胜球，此时选票计数也要考虑得票差（不过分差的计算方法不同）。

这种消除法的依据如下：[结果1]的得票差为3票，[结果2]的得票差高达9票，而[结果3]的得票差仅有1票，该结果靠微弱差异勉强成立。对比来看，[结果3]的优先度相对较低。

这种消除法由18世纪后期率先开展投票悖论和全胜者研究的法国学者孔多塞(Condorcet)提出。只不过，这个方法在选项多于4个时无效。

有一个办法可以让孔多塞投票悖论的解决方法在选项多于4个时也能奏效，但本书不做具体介绍。即当不存在全胜者时，可用名为最大似然法的数理统计学手段求得“最接近全胜者的选项”。该办法是高度提炼的数学手段，但原理复杂难懂。

投票悖论使会议为主席服务

存在投票悖论时，会议的审议流程将对结果产生巨大影响。主持会议的主席如果能准确预测参会者的想法，就能通过操作提出议案的顺序达到自己想要的结果。

一旦出现投票悖论，会议便可为主席服务

为防止这类独裁，我们需要同时对所有选项进行投票，不能分别投票。而在这种情况下，要防止选票分流，就不能采用简单多数决。

4、决策方法决定历史

博尔达计数法不会引起选票分流，得到广泛支持的候选人在选举中最占优势。这是件好事，不过是对谁而言的呢？当然是对投票者们。那么，对于像奴隶那样被排除在选举之外的人们又如何呢？如果大多数投票者支持种族歧视，博尔达计数法自然会让支持种族歧视的候选人胜出。“奴隶解放之父”林肯在多数决选举中击败其他对手，成为第十六任美国总统。而如果采用博尔达计数法，他便不会赢得选举。可见决策方法还决定了平等化进程的走向。

林肯是不是借助多数决引发的选票分流才赢得了大选？如果采用不存在选票分流的博尔达计数法，他是不是就赢不了呢？

将理性选择理论引入政治学的先驱——罗彻斯特大学的威廉·里克尔(William Harrison Riker)教授进行了细致深入地验证。他在1982年发表的著作《自由主义与民粹主义》（Liberalism Against Populism）中分析了这一问题。结论总结如下：

林肯在多数决以外的方法中会落败。布雷肯里奇在多数决等大部分决策方法中都会落败。如果布雷肯里奇没有参加1860年的总统选举，他和道格拉斯之间就不会出现选票分流，道格拉斯便会当选总统。

说到底，不论是多数决还是博尔达计数法，只要大多数选民期望歧视特定群体，投票结果就会支持歧视。这种结果只能依靠人或制度来规避。即要么树立反对歧视的道德规范，要么限制投票不能产生歧视性结果。通过宪法保障*权人**，杜绝投票侵犯*权人**的现象便属于后者，即依靠制度。

罗伯特议事规则与议事操作

会议上，参会人通常不会从零开始制定决策，而是从讨论事先整理好的草案开始。鲍威尔提出修正前的艾森豪威尔草案便是一例。而且，为有效用好会议的有限时间，人们制定了使议事进行得更顺利的规则。其中，罗伯特议事规则是尤其著名的规则集。

罗伯特议事规则的最大特点在于使会议尽快结束。因为这种规则让选项两两一组进行多数决，一旦落败就再也得不到其他对决的机会。

第2部分 哪种决策方法最适合选项多于三个的投票

1、盘点决策方法——全胜者与全败者

看似理想的决策方法有很多，问题在于它们当中哪种才是真正优秀的决策方法。本章将以选择全胜者和排除全败者为标准，探讨多数决、二轮决选、多轮淘汰决选、博尔达计数法以及认可投票等决策方法中的哪种在任何意义上都表现出色。

下面来测试各种决策方法能否选出支持率高的选项，排除支持率低的选项。

5种决策方法产生5种结果的“努尔密的反例”

本书已多次提到决策方法决定结果。现在我们来深入推敲这个堪称原点的事实，盘点哪种决策方法在任何意义上都表现出色。芬兰图尔库大学的决策方法研究员汉努·努尔密（Hannu Nurmi）教授所提出的9名选民和5个选项的事例非常适合这项工作。

在这个事例中，5个选项之间不存在投票悖论，每两项进行多数决的结果排序从高到低依次是“C、D、E、B、A”，没有相互矛盾之处。

这个事例共有5个选项，下面证实5种决策方法分别会选出不同的选项。

5种决策方法结果各不相同的“努尔密的反例”

“努尔密的反例”（2）

“努尔密的反例”（3）

选择不同的决策方法可以颠覆选举结果。这样想来，“选举体现*意民**”的说法便很难成立。如果反映*意民**的初衷在选择作为手段的决策方法时出现了变化，行为的目的就不再是“反映*意民**”，而只是“使用决策方法”。选举结果充其量只是选举结果，通过应用决策方法才能产生。先有决策方法，才会有选举结果。

我们应该树立的目标或者说有能力实现的目标不是探寻真实存在的*意民**，而是选择一种可靠的决策方法。该决策方法选出的选项有时也许就会带有让任何人都认同其为*意民**的强烈说服力。

绝不选出全败者的决策方法

在以上五种决策方法中，哪一种是优秀的呢？

首先要明确的是，在任何一场双向多数决中都得不到过半数支持的全败者是真正意义上的“少数意见”。并且，对于绝不会让全败者胜出，即无论选民、选项的数量和排序如何，全败者都不会胜出的决策方法，我们称其满足全败者标准。不用说，多数决肯定不满足全败者标准。认可投票根据画圈的情况也可能选出全败者。假设所有选民都只给第1位画圈，它在实质上便和多数决无异。

余下的3种决策方法——二轮决选、孔多塞规则和博尔达计数法均满足全败者标准。那么接下来，我们把全胜者存在时一定会被选出称为全胜者标准，思考这三种决策方法是否满足该标准。

孔多塞规则的定义即选择全胜者的决策方法，因此必然满足全胜者标准。二轮决选和博尔达计数法则不满足全胜者标准。不过，孔多塞规则也有其缺陷，那便是不存在全胜者就选不出结果。

当全胜者不存在时，孔多塞-杨的最大似然法可以计算出最接近全胜者的选项。不过，这种计算是用来解决数理统计学中最大化问题的方法，一般民众很难理解。在全民参与而非少数精英掌控的民主政治中，决策方法的关键在于使多数人理解决策系统并认同该方法。因此，孔多塞-杨的最大似然法很难称得上实用性强。

在“一定程度上”尊重全胜者标准的决策方法

于是，我们尝试放宽全胜者标准：存在全胜者时，不要求一定“选择它（使它成为第1位）”，但至少要“尊重它，保证它不落到最末位”。

事实上，博尔达计数法虽然有时无法让全胜者胜出，但肯定不会让它落到最末位。与其相对，二轮决选可能让全胜者排到最末位。即使是全胜者，也有可能在第一轮多数决中最先被淘汰。

博尔达计数法不仅满足全败者标准，还满足放宽后的全胜者标准。并且它的定义简单，容易被大众理解。可见经过多方验证，还是博尔达计数法表现出色。

2、哪种计数规则最好？

存在三个选项时，博尔达计数法的计数规则为“第1位计3分，第2位计2分，第3位计1分”。此外还有很多其他计数规则。例如，道达尔计数法是“第1位计1分，第2位计1/2分，第3位计1/3分”，多数决则是“第1位计1分，第2位以下全部计0分”。这些按排名计分的决策方法统称为计数法。

在无穷无尽的计数规则中，为什么博尔达计数法最理想？上文已论证，这种计数规则可以避免在所有双向多数决中落败的全败者成为第一位（即满足全败者标准）。

无论何时都不让全败者胜出是体现抑制选票分流的能力的标准。而人们已经证实，在无穷尽的计数法中，只有博尔达计数法符合这一标准。换言之，即使是和博尔达计数法极为相似的计数法，也必定会在某种情况下让全败者胜出。从这个意义上来讲，博尔达计数法比其他计数法更能如实地反映选民的想法。

3、按“绝对评价”做出决策——认可投票

向选民询问“认可哪个选项”的认可投票和本书此前探讨的其他决策方法有本质的区别。它收集的信息是选民对每个选项的绝对评价。因此，选民能够选择“认可所有选项”或者“不认可所有选项”。选民可以通过认可投票表明自己的判断：满足一定标准的全部认可，不满足的全部不认可。不过，选民未必都有一套“一定的标准”。状况的微妙变化可导致“一定的标准”产生心理偏差，使认可投票的结果截然不同。

排序是一种极具相对性的评价。即使自己的分数很低，只要其他考生得分更低，你的排名就会靠前。

认可投票不是这样。选民分别针对每个选项做出认可或不认可的评价。可以认可所有选项，也可以不认可所有选项。就好像设了一道门槛，只要具备特定性质就全部予以认可。这类似于绝对评价。

在认可投票中，绝对评价的改变会导致选票上填写的内容发生变化，最终导向不同的结果。不管多数决、博尔达计数法还是本书此前出现的任何决策方法都不会产生这种变化。因为它们根本不允许选民在选票上填写绝对评价。

恐怕只有在全体选民都拥有坚定的评价标准的情况下才适合采用认可投票。在实际中，专业探讨决策方法的国际学会——社会选择和福利学会(Society for Social Choice and Welfare)便采用认可投票的方式选举理事。学会会员们被认为具备专家级的评价标准。

最后介绍一种在认可投票的基础上进行改良而得出的最新决策方法。相比认可投票只有“认可与否”这两大分类，新方法增加了类别个数，比如“良好、普通、恶劣”或者“最佳、良好、普通、恶劣、最差”。选民用类别对每个选项做出评价，比如“选项A最差，选项B良好”。

如何将人们的这些想法总括起来？决策方法研究员巴林斯基(M.Balinski)和拉洛奇(R.Laraki)提出了一个方法：在每个选项得到的所有评价中，取选民评价的“正中间”作为集体的评价。这种方法叫作多数判决制(majority judgment)。

“多数判决制”将“正中间”作为集体的评价

第3部分 多数决在二选一投票中的正确用法

1、多数决做出正确判断的概率——陪审团定理

试想在法庭上多名陪审员用有罪无罪的多数决给被告人下达判决，或者在国会里多名国会议员用赞成反对的多数决决定法案是否通过。法庭决定被告人的命运，国会决定国家的法律。为什么可以用多数决决定那么重要的事项？为什么不用抽签，不靠主席的独断，而要用多数决？这种方法有何优势？孔多塞的陪审团定理给这些疑问提供了答案。

陪审员人数越多，越容易做出正确判断

陪审员的人数影响正确判断的概率。陪审员的人数越多，多数决就越容易得出正确的结果。因为只要过半数的陪审员做出正确判断，多数决的结果便是正确的，就算他们只占总人数的51%甚至50.1%。极端地说，伴随陪审员人数的无限增长，多数决得出正确结果的概率将会逐渐提升，最终无限接近100%。多数决的这一特性被概括为陪审团定理。

“陪审团定理”的所有情况

经过计算我们可以看出，多数决的判断正确率能够达到将近99%。

满足判断的独立性条件是关乎陪审团定理能否成立的重要前提。但凡每个陪审员不独立认真思考，就不满足判断的独立性条件。附和首领、跟风、投给有望胜出的对象，这些行为都违反了判断的独立性条件。这种情况发生时，陪审团定理将判定采用多数决不妥。

判断的独立性条件并不否定投票前的讨论和意见沟通。收集信息、听取多方意见有助于提高p值。每个人在此基础上经过深思熟虑后做出独立投票是判断的独立性条件的要求。人裁决人的责任要求人具备这样的素质。

兰德在给《一月十六日夜》的制作人的注意事项中这样写道：

在这个法庭上，接受审问的是谁？是被告人凯伦·安德列？绝对不是。女士们先生们，接受审问的其实是进行陪审的你们。当你说出自己的判断时，你的灵魂将在阳光下经受考验。

2、多数决与*力暴**的区别

当陪审团定理的各项条件均成立时，多数决做出正确判断的概率更高。不过，这些条件未必总是成立。倘若一帮入侵者突然闯入家中，用多数决决定“从现在起这间房归我们所有”，谁都会认为这是极端*力暴**的做法。那么，不带*力暴**的多数决又是什么样的呢？

多数决的根本问题之一是“多数决中的少数派为什么必须服从多数派的意见”。不愿受罚而不得不服从不等同于自愿服从，那只是对*力暴**惩罚的无奈屈服。那么，多数决在什么情况下才具有比*力暴**更高的价值？

陪审团定理给出了一个答案：在一系列前提条件成立时，多数派的意见对全体来说正确率更高。

全体陪审员有一个共同目标：将犯下罪行的被告人判为有罪，没有犯罪的判为无罪。由于多数派的意见正确率更高，对于多数决中的少数派陪审员来说，把多数派的意见作为结论能实现他们的目标。这种情况不属于单纯的少数服从多数。一旦证实自己的意见出错率更高，坚持己见便有悖于他们的目标。

投票者们只有在拥有共同目标时，才能一起探讨哪个选项是正确的。只要满足了这一特征，对于陪审以外的多数决，陪审团定理也同样适用。

多数决的三个使用条件

下面总结在何种条件下多数决才是正当的。

（1）全体选民对多数决的表决对象拥有共同目标。

（2）选民的判断正确率p大于0.5。

（3）选民各自做独立判断，不听从首领、跟风附和或把票投给有望胜出的对象。

当这些条件全部满足时，陪审团定理成立。多数派的判断正确率将高于1个人或少数派的判断正确率，并随选民人数的增加而提高。

使人表明真实想法的“随机独裁制”

谁赢了猜拳就听谁的，我们将这种决策方法称为“随机独裁制”。它具有让人意想不到的优点。

在多数决下，选民可能采取战略性投票。无论是多数决、博尔达计数法还是二轮决选，所有选民未必都会表明自己的真实想法。

我们将任何人都会表达自己真实想法的决策方法称为满足防策略性。但是，齐柏-托维定理(Gibbard-Satterthwaite theorem)已证实，除个别例外，常人所能想到的任何决策方法都不满足防策略性。

第4部分 不应尊重的多数意见

1、公平决定费用分摊

公用设施的费用应该如何分摊？谁都想减少自己的开支，没有哪个选项能获得全体一致赞同。另外，用多数决让某个人支付全款也有失妥当。即便是公用设施，每个人从中获取的利益也各不相同。这类问题需要一种容易接受且公平的费用分摊方法。下面让我们通过一则公寓电梯维修的事例思考这个问题。对应提出的是沙普利值（Shapley value），一种按所得利益分配的支付方法。

一栋5层高的公寓要对电梯进行维修。公寓自治会上正在热议这个问题。平时不用电梯的1层住户拒绝承担维修费，讨论迟迟得不出结果。这时，5层的住户想出一个歪点子，提议“让1层住户负担全额费用”。这一提议在多数决中得到了2层到5层住户的一致赞成，最终以80%的得票率获得通过。

这大概不是真实事件，只是有关多数决滥用的一个故事。那么，在这则故事中，多数决是如何被滥用的呢？

从陪审团定理的角度来看，多数决的对象必须有关全体的共同利益。然而在谁来支付费用的问题上，人们的利益是相悖的。再者，每层住户从电梯中获得的利益也大不相同。1层住户乘坐电梯的机会很少，把维修费用全部推给他们是极不合理的决定。

既然不能用多数决，那么电梯维修费用究竟应该如何分摊？什么样的分摊方式才能做到公正？亚里士多德曾提出公正的标准：“平等的人应受平等的对待，不平等的人应受不平等的对待”，让我们以此为线索思考这个问题。

司法给出的答案：1层住户也应支付费用

法院给出的理由是：1层住户也可以使用电梯，而且电梯是公寓作为整体所不可缺少的一部分。

我们先来关注“1层住户也可以使用电梯”，即电梯的使用权。从电梯使用权人人平等的角度来说，的确所有住户都是平等的。不过，不同楼层的住户使用电梯的区间大不相同。

如果电梯费用分摊的问题采用受益者负担的原则，每层住户所得的利益不同，负担的金额理应不同。因此，在“使用权平等，负担平等”的同时，还要考虑到“受益不平等，负担也不平等”的一面。那么，不平等的这部分负担应该如何计算呢？

决定费用分摊的最佳手段——“沙普利值”

我们可以用“博弈论”的见解思考费用分摊的问题。1974年，博弈理论家利特柴尔德(Littlechild)和欧文(Owen)探讨了分摊机场跑道建设成本的“机场博弈”问题。在不同层之间移动的电梯和飞机起降所用的跑道虽然有很大差异，但从费用分摊的角度来看又有很多相似之处，即谁也不会使用它的全部。

机场博弈探讨了建设一条跑道的情况。使用跑道的是航空公司A、B和C。每家公司起降的飞机型号不同，公司A是小型机，公司B是中型机，公司C是大型机。机型越大，需要的跑道越长。因此，公司A只需要短跑道就能使飞机顺利起降，而公司B需要中等长度的跑道，公司C则需要长跑道。

要满足三家公司的需求，必须建造一条公司C所需要的长跑道。可是，公司A和公司B都不需要那么长的跑道。

假设建设短跑道所需的成本是12亿日元，中跑道需要18亿日元，长跑道需要23亿日元。也就是说，满足公司C的大型机的需求要花费23亿日元。那么，这23亿日元该如何分摊给三家公司呢？

计算与贡献相应的利益或与受益相应的负担的分配时，可以使用沙普利值(Shapley value)。这种计算方法很好地体现了“平等的人应受平等的对待，不平等的人应受不平等的对待”。沙普利值的计算通常比较复杂，但机场博弈是个例外，算法简单易懂。

首先把长跑道划分成3部分，如图表所示。

• [部分A]公司A、B和C都使用的部分，即短跑道的部分。
• [部分B]公司B和C使用的部分，即短跑道延长至中跑道所增加的部分。
• [部分C]只有公司C使用的部分，即中跑道延长的部分。

沙普利值将通过以下思维方式将23亿日元分配到三家公司。

首先，部分A是A、B、C三家公司都使用的部分，因此把12亿日元的建设成本均分成三份，每家公司分别出4亿日元。这种做法对平等的事物给予了平等对待。

部分B是B和C两家公司使用的部分，因此把部分A延长出来的部分所需的6亿日元（=18亿日元-12亿日元）成本均分成两份，公司B和C各出3亿日元。公司A则一分不出。公司B和C虽然得到了平等对待，但它们和公司A的待遇不同。因为公司A不使用部分B，和公司B、C之间存在不平等。

部分C只有公司C使用。因此，部分B延长出来的部分所需的5亿日元成本（=23亿日元-18亿日元）由公司C全额支付。公司C和不使用该部分的公司A和B的待遇不同。而公司A和B的支付额相同，均为0日元。

根据受益分配负担的“沙普利值”的思维方法

据此计算出各家公司的支付金额，即：

• 公司A的支付额= 4亿日元
• 公司B的支付额= 4亿日元+3亿日元=7亿日元
• 公司C的支付额= 4亿日元+3亿日元+5亿日元=12亿日元

三家公司的支付额相加，正好是长跑道的建造成本23亿日元。

用沙普利值解决电梯维修费用的分摊问题

我们尝试将机场问题中的沙普利值运用到上文中5层公寓的电梯维修问题

“沙普利值”在电梯费用分摊问题上的应用

维修电梯有两项利益：

（1）电梯本身的便捷性。居住楼层越高，受益越大。

（2）电梯可提升公寓整体的安全保障价值。正如东京地方法院所言，这可以视为各层住户的共同利益。

在费用分摊中，（1）对应沙普利值，（2）对应均摊。将二者合二为一的方法便是把电梯维修费用的总额分成两部分，一部分按沙普利值走，另一部分按均摊走。这种方法在数学上叫作“凸组合”。

融合“沙普利值”与“均摊”的“凸组合”

如上是将比例控制在50%时，沙普利值和均摊的凸组合的值。即使比例不是50%，这个值也可以用相同的算法得出。那么，用凸组合把沙普利值和均摊结合到一起时，应该如何决定二者的比例？从维修费用全部均摊的0%，到全部按沙普利值走的100%，摆在我们面前的选项有很多。

当多人决定这一比例时，应该采用哪种决策方法呢？

对于排列成一行的选项来说，选择中位数选项——中间规则是最佳的决策方法。这样做不仅能避免投票者通过极端回答诱导结果，还能选出全胜者。全胜者的性质使它代表了实际多数意见，而且“正中间”的选项容易让大家理解这是共同妥协让步的结果，也更容易让投票者接受。

总结一下电梯维修费用分摊金额的计算步骤。

• （1）首先计算沙普利值。
• （2）其次用峰值的中位数选项决定沙普利值与均摊的比例。
• （3）最后用（2）的比例求得沙普利值与均摊的凸组合。

2、 “双方都赞同的决斗”是否应得到尊重

争执不下的两个男人为决出结果，决定决斗。二人约在下周日的深夜去一片荒无人烟的野地。他们没有受到任何人的强迫，出于自愿做出了这个全体一致赞同的选择。那么，这种全体一致赞成的决定是否应当得到尊重？假如不值得尊重，或许说明这种行为在任何意义上都应当叫停吧。当我们以“赶快放弃这么愚蠢的想法”为由介入他们的全体一致决定时，我们的根据又在哪里？

约定决斗是一个颇有意思的行为。在决斗前，决斗双方对决斗已经达成了一致的意见，不同于临时爆发的争吵或*力暴**行为。实际上，这种意见一致是决斗的特色。最高法院的判决也将决斗定义为“在当事人双方一致同意的基础上，以伤害对方身体或生命的*行暴**进行争斗的行为”。

禁止决斗的理由包括单纯禁止这种愚蠢的做法或假借决斗之名施加私刑、被申请的一方不好拒绝、扰乱社会秩序、*力暴**应由国家以警察和*队军**的形式统一管理等。

即便如此，想决斗的当事人双方自愿对决斗达成一致，且不给任何人添麻烦的话，让他们随意不也挺好的吗？如果是不受任何人强迫也不给第三者造成实际伤害的决斗，那就属于个人自由的范畴吧？只要决斗罪存在，决斗就是违法行为。或许规定决斗违法本身就是一个错误。决斗是全体一致通过的结论，并非多数强迫少数服从的决定。

“虚伪”的全体一致赞同

想决斗的两个男人的意志是否应当得到尊重？这种全体一致通过的结果又是否值得尊重呢？

对决斗结果的预测是在决斗开始之前，即事前阶段就做了的，这是肯定的。而设想的正确与否只能在决斗结束后，即事后阶段知晓。虽然不知道决斗的佐藤和渡边谁会胜出，但可以肯定的是，他们的设想中肯定有一个是错误的。即使两名当事人达成了全体一致，但这一选择是建立在错误设想的基础上的，那么这是否算“虚伪的全体一致赞同”呢？因为在事前做出的两个设想中，有一个必定会在事后发觉是错误的。

这样一想，是否尊重决斗的意志就可以归结为优先事前还是事后这一问题上。如果优先事前，那么即便两个设想在理论上不能同时成立，我们也可以说应该尊重全体一致通过的决定。但是，如果优先事后，由于败者发现“自己的设想原来是错的”（虽然死人想不到这些），即便是全体一致赞同，决斗也是虚伪的决定，不值得尊重。让我们来总结一下两个男人关于决斗与否的事前排序和事后排序。

事前与事后完全相反的“虚伪的全体一致赞同”

对这三种情况，每个人的排序均为最好是自己获胜，但与其落败被杀，还不如不进行决斗。也就是说二者的排序完全相反。然而，在事前阶段，由于两个人都相信自己会赢，所以均把“决斗”排在了“不决斗”的前面。

即使事后结果的排序完全相反，由于设想的方向也正相反，所以像负负得正那样，事前的排序表现出了一致。手枪决斗对事后的影响很大。毕竟败者会在决斗中失去性命，而且此后一直持续死亡状态。

如果想决斗的男人身边的人都这样想，他们就会努力保护两个男人“活着时的利益”，介入其中，让他们放弃决斗。就算是自律的个体所做的决定，只要它会对本人造成损失就要介入。这种观念名为家长主义(paternalism)。即便决斗是当事人全体一致通过的决定，只要它是“虚伪的全体一致”，就没有多少价值，并容易受到干预。

3、个人自由与 全体 一致的对立

整合人们的各种想法是件难事，但如果想法单一，就根本没有整合的必要。倘若所有人的意见一致，集体只要按照这个意见行动即可。但是真的可以这样吗？说到底，人们的意志是否永远都是必须优先尊重的对象？阿马蒂亚·森(Amartya Sen)提出的“自由主义的悖论”便刻画了尊重全体一致与尊重自由相对立的情况。

是否所有的全体一致都应得到尊重？

如果看重整合人们想法的价值，自然全体一致应该得到尊重。但如果人们的想法本身就缺乏价值，整合还会拥有很高的价值吗？尤其当它和其他价值发生冲突时，尊重全体一致的优先顺序是否就会下降呢？先来看一个虽然形式上形成了全体一致，却可能不如自由主义的例子。

国家或社会可以对个人干涉到什么程度？这是有关自由的经典问题。约翰·斯图尔特·穆勒(John Stuart Mill)在1859年出版的著作《论自由》中，针对这一问题提出了伤害原则（harm principle）作答。

人们不能强迫一个人去做一件事或者不去做一件事，说其中的理由是这会对他比较好，会使他比较幸福，或在别人看来会比较明智，甚至比较正当。但若是为了向他规劝，或者是为了和他辩论，或是为了说服他，甚至是为了向他恳求，这些都是好的理由。但不能借这些理由对他实行强迫，或者说，如果他相反而行的话，便对他进行惩罚。强迫的合法性和正当性，必须是所要吓阻的行为将会对他人产生伤害。

穆勒认同这项原则的原因如下：一个人自己最清楚自己需要什么，何谓幸福也是自己说了算。在遵守伤害原则的社会里，每个人都能追求自己的幸福，最终社会整体的幸福感也会更强。

并非所有内心的自由都应得到社会的尊重。虽然想侵害他人的自由也属于个人的自由，但在尊重自由的社会，这种内心世界不会得到优先照顾。所以，如果一个事例尽管没有尊重全体一致，但这种全体一致本身就不值得尊重，因此无须重视。

当二人的内心世界相互侵害对方的自由时，与其实现他们内心的想法，不如优先平等保护自由的领域。通往幸福的道路是由每个当事人自己决定的，选择的责任也由当事人自己承担。