一、背景
意大利科学家伽利略在1630年提出了一个问题，即“最速降线问题” ：
“设A和B是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连接A和B的平面曲线中，求出一条曲线，使仅受重力作用且初速度为零的质点从A点到B点沿这条曲线运动时所需时间最短。”
伽利略认为这条线应该是一条弧线。后来人们发现这个答案是错误的。
1696年，瑞士数学家约翰·伯努利解决了这个问题。他还拿这个问题向其他数学家提出了公开挑战。牛顿、莱布尼兹等解决了这个问题。他们几位都说这条最速降线就是一条摆线，也叫旋轮线。
但摆线并不等于最速降线，最速降线只是摆线中的一段。
二、摆线与最速降线的区别
摆线：又称旋轮线、圆滚线。在数学中，摆线被定义为：一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。
图一
图二
实际上，最速降线并不等同于摆线，最速降线是摆线中的其中一段。所以伯努利，牛顿，莱布尼茨等人的回答有瑕疵。
摆线中定点的运动速度是不均匀的，解读如下：
摆线的定义是一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。现在设这个定点是A点，圆心是O点。在圆滚动之初，圆与下方直线相切，切点即是A点。在圆向右匀速滚动的过程中，定点A是一边向右运动，一边向上运动。定点A在Y轴上的运动的速度是均匀的，但定点A在X轴上的运动速度并不均匀，简单地说是：起初在X轴上运动得很慢，然后速度突然加快。
请看下图：
图三
圆O的半径是r。
圆O与直线相切于A点，A点位于正下方，随着圆O的向右滚动，A点渐渐上升到A'点。A'点的高度与圆心O的高度相同，即过A'、O两点的直线与底部直线平行。
此时，圆与底部直线相切于B点，过A'点向下作垂线，交底部直线于C点。
分析：A点上升到A'点，说明圆滚过了1/4周长的距离，圆周长度是2л·r，1/4圆周的长即是（1/2）л·r。圆O从A点滚到B点，说明AB的长度是（1/2）л·r。
AC的长度是定点A在X轴方向上经过的距离。
由于AC⊥AB，A'O∥AB，A'O=r，易得BC=A'O=r
AC=AB－BC
=（1/2）л·r－r
=［（1/2）л－1］·r
定点A在Y轴方向上经过的距离是A'C，即距离是r。
接着圆O继续向右滚动，
图四
A'点到达圆的最上方，设这个点是A"点。圆O于底部直线相切于D点。
A'点之前和圆心O点位于同一水平线上，现在A点到达圆的最高处，说明圆向右滚过了1/4周长的距离。（注：这是第二个1/4圆周。）
圆O与底部直线的切点由B点变为D点，说明BD的长度是1/4圆周的长，即（1/2）л·r。
BC的长度是r，A'点在圆O滚过1/4周长时，在X轴方向上经过的距离是（BC+BD），
BC+BD =r+（1/2）л·r
=［（1/2）л+1］·r
此时，A'点在Y轴方向上经过的距离仍然是r。
所以，定点A从圆的最底部到达最顶部，它的运动速度是不均匀的。
接着，当圆O向右滚过1/4圆周长度，（注：这是第三个1/4圆周。）定点A在X轴上经过的距离是［（1/2）л+1］·r，在Y轴方向上经过的距离仍然是r。
圆O向右滚过1/4圆周长度，（注：这是第四个1/4圆周。）定点A在X轴上经过的距离是［（1/2）л－1］·r，在Y轴方向上经过的距离仍然是r。
在圆滚动的前1/4周及最后1/4周，定点A在X轴上的运动速度很慢；在圆滚动的第二个1/4周及第三个1/4周时，定点A在X轴上的运动速度都是很快的。
所以，最速降线是指：
“圆与直线相切于定点A，圆沿直线滚动一周过程中，定点A在圆滚动的第二个1/4周及第三个1/4周中形成的轨迹。”
图三和图四中，虚线A'O上面的部分才叫做最速降线。
图五
或者如图五中，用蓝色彩笔描绘的这一部分才叫做最速降线。
三、最速降线的作图
那给出两点A，B，如何作它们之间的最速降线呢？
首先找出最速降线的规律。
最速降线的规律是：
底部（或上部）直线与最速降线交于A，B两点，
过AB的中点O向下作垂线，交最速降线于M。
则AO=BO=2.57×MO 。
（设л=3.14，л/2=1.57）
最速降线的作图分如下几种情况：
第一种情况：
BO的距离远远大于AO。
作图如下
先测量出AO的距离是30mm，然后除以2.57，得最速降线的最大高度11.67mm，作BC长度11.67mm，然后作水平线CD，交铅垂线AD于D点。在D点到B点之间根据最速降线的方程描绘出最速降线 ，然后从铅垂直AD加上D点到B点的最速降线，就是答案，即质点仅在重力作用下从A点到B点用时最段要走的路径。
第二种情况：
AO=BO
这种情况求A，B之间的最速降线，那这条最速降线并不是A，B之间的一段圆弧线。实际答案是图中用蓝色彩笔描绘出的这段路径。具体作图方法同上。
第三种情况：
AO刚好是BO长度的2.57倍，符合最速降线的规律，直接根据最速降线的方程描绘出最速降线即可。
第四种情况：
AO的距离远远大于BO
作图方法如下：
根据摆线方程计算出OC的长度，然后AC长度除以2，求出中点D的位置，求出DM的高度，按摆线方程描绘出最速降线。