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文|三月十

编辑|北岭清泉

引言

湍流影响从亚米级到行星尺度的自然和工程系统，但它是世界上最后未解决的问题之一经典物理学。湍流的准确预测对于航空航天工程中许多关键系统（例如飞机、航天器和燃气涡轮发动机）的设计、分析和运行至关重要。

流体流动的动力学描述为纳维‑斯托克斯(NS)方程。虽然航空航天工程中的许多应用涉及可压缩流、反应流或两相流，但出于说明目的，我们将注意力限制在NS方程上，以了解恒定特性牛顿流体的不可压缩流，如下所示：

其中ui、p、xi和t分别是流速、压力以及空间和时间坐标。尽管在形式上比控制上述问题的偏微分方程更简单， 但不可压缩的NS方程涵盖了非常广泛的流动配置，并且承担了导致湍流建模困境的关键困难， 即方程中的非线性对流项。

一、不确定性量化的概率统计基础

概率和统计数据是本研究中大部分工作的核心。因此，我们在量化和减少 RANS模型不确定性的背景下简要概述本节中的相关方法。

基于这些基础，我们简要介绍用于不确定性传播（前向分析）和贝叶斯推理（后向分析）的算法。特别是，我们讨论了一些常用的精确和近似贝叶斯推理方法。

1.模型不确定性的表示、采样和传播

在概率方法中，RANS模型中关注的不确定量，例如模型系数，可以表示为随机变量。随机变量Z是一个标量函数，可以采用一系列可能的值z，称为实现。

由整数索引的随机变量向量Z是随机向量，一个例子是RANS模型中的系数组合。

随机场Zx是由空间坐标x索引的随机变量场。当指标为时间坐标t时，也称为随机过程。随机场是随机向量对连续极限的推广。

真正的雷诺应力场x和RANS模型不确定性量化中随机场的RANS模型雷诺应力示例的差异。

概率密度函数pz。不确定性量化中感兴趣的常见量是随机变量的统计矩，例如期望Z和方差arz，它们可以通过对Z的所有可能结果进行积分来获得，例如：

随机向量和随机场的期望和方差可以通过将等式应用于其中的每个分量来获得，回想一下 随机向量和随机场是分别由整数和实数索引的随机变量的集合。

此外，随机向量的特征还在于其协方差矩阵K=ov(,ZZ)表示ijij之间的相关性，随机协方差矩阵的推广Z向量到随机场的分量导致协方差核Kxx表示对应于位置x和x的随机变量Zx和Zx之间的成对协方。

σ和l分别表示方差和长度尺度。这样的内核意味着两个随机变量之间的相关性取决于它们相应的索引位置。两个位置x和x越远，Zx和Zx之间的相关性越小。

在这项工作中，我们考虑了一个基于RANS的CFD模型M :y ，它由参数化并将潜在变量（例如，几何、边界条件）映射到可观察的输出y。多维度随机变量可以是模型系数的向量参数方法或非参数方法中的空间场。

2.不确定性传播（正向分析）

传播不确定性的技术可以分为两类：谱方法和蒙特卡罗方法。

谱方法通过使用正交基函数来离散化随机变量的不确定性空间。这是以类似的方式完成的，其中正交基函数（例如，傅里叶函数或正交多项式）用于确定性PDE的空间离散化。

在不确定性量化中， 谱方法具有更快的统计收敛性，但它们取决于先验的平滑度和将输入映射到输出的函数。

谱方法的另一个障碍是“维数灾难”：准确描述统计数据所需的函数评估数量随着参数空间的基数呈指数增长。

蒙特卡洛方法通过使用来自输入不确定性空间的随机样本来近似解，并且不受其维数的不利影响。 然而，N1/2的收敛速度在其中N是样本数的速度下一致缓慢。

虽然基于蒙特卡洛的不确定性量化看起来很简单，但收敛速度慢在传播每个样本的计算成本很高的应用中构成了重大挑战，就像CFD模拟的情况一样。

加速蒙特卡罗方法的统计收敛一直是深入研究的主题，并且已经提出了许多减少方差的技术。示例包括分层抽样、拉丁超立方抽样、重要性抽样和控制变量。

3.统计推断（反向分析）

大多数关于模型不确定性推断的工作（简称上面的反向分析）是基于贝叶斯定理：

它表明后验概率p( | )与先验概率p和似然概率p( | )成正比先验p()在观察数据之前总结了关于θ的所有可用知识。

似然函数p( | )表示从模型M所描述的过程中观察数据的概率，该模型M由θ参数化。在RANS不确定性量化的背景下，为模型参数θ的给定实现评估p(| )涉及运行CFD代码，因此是一项代价高昂的操作。最后，p是观察数据的总概率，它将后验概率归一化。

二、参数化和多模型方法

根据某些概率分布函数扰动闭合系数和量化计算解的输出不确定性的方法。这与“后向方法”形成对比，后者使用观察来推断模型系数。 在前向和后向方法中，模型结构都是固定的，只有系数的不确定性被量化。

尽管如此，这仍可用于了解模型的结构是否充分，如稍后所示。在某些情况下，推理过程的结果之一是根据可用观察结果对给定模型的合理性进行估计，即推理还可以为模型选择提供一些指导，我们将讨论多模型方法，其中通过考虑一组替代模型结构来解决模型选择的不确定性。

1.RANS模型参数的不确定性

所有RANS模型都有一些闭合系数。一个典型的例子是由著名的k‑ε模型提供的，该模型最初由Jones和Launder提出。

在此模型中，雷诺应力张量通过使用等式中的Boussinesq近似来建模，湍流粘度t通过求解湍流动能k和湍流耗散ε的附加传输方程来计算：

参数k可以被认为是湍流普朗特数，表示动量涡扩散率与TKE扩散率的比值。这些量通常接近于一，这就是为什么k的标准值假定为1.0。然而，没有实验数据可以证明这一假设，导致在k‑ε模型的不同变体中有一系列推荐值。

例如，RNGk–ε模型使用k=0.72。该参数控制ε的扩散速率，其值可以通过使用等式施加的约束来确定，即:

2.RANS模型中的参数不确定性：正向方法

基于灵敏度的分析仅提供标称解周围的不确定性范围。 为了获得关于解的不确定性的更多信息，特别是在给定模型参数的一些输入联合概率的情况下的全概率分布， 可以使用UQ技术来传播指定的模型中闭合系数的联合分布。

3.RANS模型中的参数不确定性：后向方法

正向参数方法强烈依赖可靠数据的可用性来构建系数概率区间或联合分布。不幸的是，这些信息不可避免地是完整的并且容易出现错误。

此外，它仍然局限于相当简单的流配置，并且很 难扩展此类数据以对不同流进行稳健的预测。

最后， 数据仅适用于可观测的数量，而不适用于闭合系数本身。 然而，可以解决逆向统计问题来推断输入系数和可能的不确定性。一旦获得，该信息就可以通过模型传播回来，以估计输出QoI的不确定性区间。

可以使用确定性或概率性方法解决逆向统计问题。在确定性方法中，通过最小化关于某些参考数据的模型误差来获得一组最优闭合系数。

三、非参数方法

1.在湍流传输方程中引入不确定性

参数化和多模型方法仅限于所选的基线模型。这些方法的直接扩展是以非参数方式扰动模型形式，即通过修改湍流传输方程中的源项（例如，对于k、ω和 ）。

该选择基于以下假设：湍流传输方程中的误差而非结构不确定性（例如与Boussinesq假设相关的那些误差）是RANS模拟中预测误差的主要来源。

这种方法引入的不确定性取决于基线湍流模型的具体形式。 以k‑ω方程为例，Singh和Duraisamy[43]将乘法差异场( )x引入到ω输运方程的源项中：

2.在湍流粘度中引入不确定性

大多数广泛使用的湍流模型（例如，k–ε、k–ω和SA模型）都是线性涡流粘性模型，因此可以假设RANS模拟中的模型不确定性可归因于预测的涡不粘确性场中的差异，并随后在其上引入定性。

对于具有平均速度（例如，来自DNS数据的optUdns ）的地面实况的流动， 可以定义最佳涡流粘性场t以最小化计算速度u和地面实况速度之间的差异。 找到解决以下优化问题的最佳粘度t ：

四、结语

这篇综述总结了在计算流体动力学模拟中量化与湍流模型相关的不确定性的技术。我们专注于 RANS模型中的不确定性量化， 因为它们预计在未来几十年仍将是工业CFD模拟的主力工具，这要归功于它们比尺度解析方法更低的计算成本和更好的鲁棒性。

参数化方法的一个缺点是参数的任何校准和推断都不可避免地基于并将影响整个流场。然而，湍流可能同时包含从简单模型可以很好预测的平衡区域到高度非平衡区域（例如，分离、冲击波、流线曲率、旋转）的区域，即使是高级模型也可能会失败。

非参数方法提供了一种有吸引力的替代方法来解决湍流建模的不确定性，同时考虑湍流的局部性。这些方法依赖于随机场来表示RANS模型差异，这些差异是根据物理边界估计的，并进一步传播到预测或从观察数据中推断出来的。

参考文献：

1.P.Cinnella、R.Dwight、WNEdeling，迄今为止湍流建模中不确定性量化的回顾，小型研讨会“UQ湍流建模”，SIAM不确定性量化会议，瑞士洛桑，2016年 。

2.PDAPlatteeuw、GJALoeven、H.Bijl，不确定性量化应用于使用概率搭配方法的k‑ε湍流模型，第10届AIAA非确定性方法会议，2008年。

3.R.Thompson、L.Sampaio、W.Edeling、AAMishra、G.Iaccarino，在不确定性量化的背景下雷诺应力张量的特征向量扰动策略，暑期课程论文集，湍流中心研究,2016。

4.C.Gorlé、M.Emory、J.Larsson、G.Iaccarino，波浪壁上流动的RANS建模的认知不确定性量化，湍流研究中心，年度研究简报，2012年。

5.A.Mariotti、L.Siconolfi、M.Salvetti，5:1矩形圆柱周围流动的大涡流模拟预测的随机灵敏度分析，EurJ.机甲。