#头条创作挑战赛#
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一、早期数学发展简史
如同语言和艺术一样，数学的史前起源也无从考证。只能说，人类的智慧是从计数开始的，数字的出现就意味着数学的起源。人类文明的历史有多长，数学的发展历程就有多长。
数学中最基础的就是计数和识数了。计数和识数，对于今天的我们来说几乎是本能，但对远古的人类来说，则几乎是不可能的。
在几百万年前，原始人在漫长的生存和生活中，由于智力不断地进化，才慢慢地产生了“数”的思想。最早与数有关的概念就是“有”“无”，之后才是“多”和“少”。
今天，一个学龄前的孩子都知道 5 比 3 大，但是原始人几乎没有数的概念，甚至也不需要识数。对于原始人来说，除了 1 和 2 这样的数字，更多的数可能难以理解。
例如著名物理学家伽莫夫在他的《从一到无穷大》一书中讲了这样一个故事：两个酋长打赌，谁说的数字大谁就赢了。结果一个酋长说了 3，另一个想了半天说：“你赢了。”因为在原始部落，物资贫乏，所以没有大数字的概念，通常超过 3 个，就笼统地称为“许多”；至于 5 和 6 哪个更多，对他们来说没有什么意义。
数数不会超过 3 的“小袁同志”
当然，不止原始人类如此，有些动物也表现出了对数字的基本感觉。例如，抱走母猫 6 只幼崽中的 2 只，它对此并无异议；但是如果抱走 3 只，它就明显地烦躁了起来。猫在算术上的发展与亚马孙河流域的一个土著部落相当：他们可以数到 2，但对于所有更大的数字就不大清楚了，只能说成“许多”。
在经过漫长的发展之后，随着现代智人部族人数的增加，他们之间开始密切配合，因此，需要通过计数数清数量。由于没有数字，他们就必须借助工具，最直接的计数工具是人的 10 根手指。当数目超过 10 之后，可以再把脚趾用上，玛雅人就是这么做的。在历史上，其他部落应该也采用过这种方法。但是，当数量更大时，手指加脚趾已经不够用，就需要发明新的工具了，比如在兽骨上刻横道。
在非洲南部的斯威士兰发现的 40000 多年前的列彭波骨（Lebombo bone），以及在刚果民主共和国发现的约 20000 年前的伊尚戈骨头（Ishango bone），上面都有很多整齐而深深的刻痕，它们被认为是最早的计数工具。
但是，如今我们无从得知，最初是在什么地方、什么时间，又是谁第一个意识到掌握数字和形状的概念对于文明生活而言，就如同掌握语言一样重要。
不过，一般认为，人类最早的记数符号产生于古埃及和美索不达米亚地区。在埃及和美索不达米亚（即巴比伦，包括苏美尔和阿卡德），当历史记录开始时，就已经有了远远超过原始文化阶段的数字与形状；但即使在这里，主要的时间问题还是存在争议：对于埃及来说，这个年代是公元前 4241 年（误差约 200 年）；对于美索不达米亚，则大约是公元前 5700 年。两者都取自最早的历法计算，每个都或多或少地得到了天文学证据的佐证。
埃及人和美索不达米亚人的文明基础都是农业。在农业经济中，一套可靠的日历是必需品。使用日历意味着在天文学和算术的准确度方面远远超过了神话和偶然观察的器材所能达到的水准，而且绝不可能仅仅来自一年的观察。对于季节的周期性变化和天空方面的联系，那些从来没有被迫从事农业活动的原始人类只有最模糊的认识。
到了公元前 5700 年，闪米特巴比伦人的苏美尔人祖先将春分点作为他们一年的开始。1000 年以后，一年的第一个月以金牛座命名；在公元前 4700 年前后，太阳在春分点位于金牛座。因此，美索不达米亚的居民肯定拥有可操作的基础算术知识。
当然，早期时候的人类还只会做一些简单的计数工作，思维上还未有抽象的基本概念。
由于计数是一种带有本能特点的技术，而数字则是抽象的概念，这两者之间需要一个巨大的跳跃。但是，历史的发展又是连续的，因此，它们之间一定存在着一种或者多种的中间状态，这些中间状态的计数方式被称为 tally marks，翻译成中文就是“计数符号”。它们半直观、半抽象，如中国人统计数字时使用的画“正”字，欧洲的英语系家（包括美国和澳大利亚等英语国家）使用的四整杠加一横杠的 1 - 5 计数法，以及拉丁语系国家用的“口”字形 1 - 5 计数法，都属于“计数符号”。（如下图所示）
早期人类1～5的计数法
计数符号的问题在于记录大数字时需要重复画很多符号，比如用“正”字统计选举结果，候选人如果得了 100 票，就得画 20 个“正”字，这当然很不方便。比较简洁的方法是数字和进制相结合，就像我们今天使用十进制以及 10 个阿拉伯数字一样。抽象的数字和进制的发明是人类科学史上的第一次重大发明，它们折射出人类在科学上的两个重要成就。
第一，用抽象的符号代表一种含义，即一个特定的数量。当然，早期的数字依然不能完全脱离象形的特点，如汉字中的一、二、三等便是如此。
第二，无论是美索不达米亚、古代中国还是古代印度，在设计数字的写法时都使用了同一种技术——信息编码。这种技术今天在所有的信息技术产品中都有体现，甚至深入我们的生活中。我们在社交网络上的昵称、宠物的绰号，都是信息编码。信息编码的本质是将自然界中的实体和我们大脑中的一个概念或者符号一一对应起来。这种被抽象出的概念或者符号要被一个部落或者族群认可，才能成为他们之间信息传输的载体。
进制的出现，表明人类对乘法以及数量单位有了简单的认识。20000 多年前的人只能将实物数量和刻度上的数量简单对应，但是有了进制之后，人们懂得了用大一位的数字（比如，10、20 或者 60）代替很多小的数字。当然，这种计数方式能准确表示真实数量的前提是需要懂得乘法，即 2×10 = 20，或者 3 × 60 = 180 等。
至于数字和进制是什么时候产生的，依然还是个迷。我们能够看到的最早的数字以及相应的进制是 6600 年前美索不达米亚的六十进制和 6100 年前古埃及的十进制。不过，美索不达米亚的六十进制，实际上是十进制和六十进制的混合物。
十进制的出现是一件很容易理解的事情，因为我们人类长着 10 根手指，用十进制最为方便，于是有了 10、100、1000 等等，例如亚里士多德就称人类普遍使用十进制，只不过是绝大多数人生来就有 10 根手指这样一个解剖学事实的结果而已。
如果我们人类长了 12 根指头，那今天我们用的可能就是十二进制了，对 12、144（12 的平方）、1728（12 的立方）等数字就会比对 10 的整数次方更亲切。
实际上，在古代世界独立开发的有文字的记数体系中，除了巴比伦文明的楔形数字为 60 进制，玛雅数字为 20 进制外，几乎全部为十进制。只不过，这些十进制记数体系并不是按位计算的。
当然，人类历史上也出现过很其他进制，但是它们因为使用不方便，要么消失了，要么今天虽然存在却很少使用。比如我们刚才提到的玛雅文明就使用二十进制，显然是把手指和脚趾一起使用了，它实际上又把 20 分成了 4 组，每组 5 个数字，正好和四肢以及上面的手指头和脚趾头对应。
但是二十进制实在不方便，想一想，背乘法口诀表要从 1×1 一直背到 19×19 （共 361个）是多么痛苦的事情，所以如果采用这种进制，数学是难以发展起来的。
二十进制在很多文明中曾经和十进制混用，比如在英语里会使用 score 这个词衡量年代，它代表 20，这在《圣经》中，林肯和马丁·路德·金等人的演讲中都可见到，但是在现实生活中，这种用法已经不见了。
既然二十进制已经很麻烦了，为什么美索不达米亚人还要采用六十进制呢？一般认为，当人类有了多余的物品需要清点时，便有了准确的计数。但是，数字和进制的产生还有另一个重要的原因：计算日期和时间。当农业开始之后，人类就要找到每年最合适的播种和收获时间。如果今年在春分前后播种，庄稼长势良好，大家会希望明年还在同一时期播种，那么就需要知道一年有多少天。由于一年是 365 天多点，和它接近的整数是 360，因此，把一个圆分为 360 度就是很合理的事情。当我们从地球上观测太阳和月亮，因为它们距地球的距离与实际直径之比非常接近，所以它们的张角（视直径）在我们眼中恰好相同，都是 0.5 度（正好为一度角的 1/2 ），因此有利于天文观察和计算当然，直接用 360 作为进制单位太大，更好的办法是用一个月的时间 30 天或者 30天 的两倍 60 天作为进制单位。
为什么美索不达米亚人选择了 60 而不是 30？没有人知道。唯一比较合理的解释是，60 是 100 以内约数最多的整数，它可以被 1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30 和 60 整除，便于平均分配。由于美索不达米亚采用了六十进制，我们学习几何时计量角度，或者学习物理时度量时间，都不得不采用它。
另外，无论是东方还是西方，在衡量重量时都使用过十六进制，比如中国过去一斤是 16 两，英制一磅是 16 盎司，这是采用天平二分称重的结果（人类在发明秤之前先发明了大平），因为 16 正好是 2 的四次方。在英制中，价格也曾采用二分的方法，因为过去价格是用二分衡量贵重金属的重量。直到2000 年前后，美国纽约证券交易所股票的报价依然采用一美元的 1/2、1/4、1/8 和1/16，极不方便。后来才采用纳斯达克的以美分为最小单位的报价方法。
有了数字和进制，就能用少量符号代表无限的数目。人类文明发展到这个阶段，就有了抽象概念的能力。在此基础上，算术乃至后来整个数学和自然科学开始建立。值得一提的是，在所有的计数系统中最好的也是大家普遍采用的，是源于古印度的阿拉伯数字系统。其最大的优点是发明了数字“0”。于是，个、十、百、千、万的进位变得非常容易。
二、阿拉伯数字与“0”的由来
关于数字的由来，相必大家已经知道了，它是古代印度人在生产和实践中逐步创造出来的。
但是，需要注意的是，当时的这些数字中并不包括 0 。数字 0 的由来，是 1－9 这 9 个数被发明了很久之后，才被创造出来的。
大约在公元前 3000 多年，印度河流域居民的数字就比较先进了，而且采用了十进位的计算方法。但是，到公元前 3 世纪，印度才出现整套的数字，而且在各地区的写法并不完全一致，其中最有代表性的是婆罗门式：这一组数字在当时是比较常用的。它的特点是从“1”到“9”每个数都有专字。现代数字就是由这一组数字演化而来。在这一组数字中，还没有出现“0”（零）的符号。
通常认为，零这个具有伟大实际意义的发明应归功于印度人；但是零是由印度人还是巴比伦人第一个发明的现在还存在争议。如果巴比伦人首先做出了这个发明——似乎非常可能，那么零就是一个很有意思的例子，说明数学概念可以在不同的文化中有相互独立的起源。零也出现在另外一个天才民族——中美洲的玛雅人的算术中。他们使用 20 作为基数，也有一个位值系统。玛雅的记数法出现于公元 200～600 年间，他们的历法周期回溯到公元前 3373 年，当然，这并不说玛雅人在那么早的时期就已经有了文明。
但是，不管怎么说，在公元 4 世纪完成的数学著作《太阳手册》中，印度人还是独立的使用了“0”的符号，虽然当时还只是一个实心小圆点“·”。之后，小圆点才演化成小圆圈“0”。也就是说，“0”这个数字，在印度，是到了笈多王朝（公元 320 — 550 年）时期才出现的。
“0”的出现是数学史上一大创造。用圆圈表示零，是数学史的一大发明。但是，一般人不知道的是，它的起源其实也深受佛教大乘空宗的影响。
大乘空宗，是佛教的一个宗派，流行于公元 3 至 6 世纪的古代印度。恰好正是在它流行的后期，在印度就产生了新的整数的十进位值制记数法，规定出十个数字的符号。以前计算到数字满十时，便在空格的位置上加上一点，用“.”表示，据说，就是这时候发明了“0”来代替的。
“0”的梵文名称为 Sunya，汉语音译为“舜若”，意译为“空”。0 乘以任何一个数，都使这个数变成 0。大乘空宗由印度龙树及其弟子提婆所创立，强调“一切皆空”。0 的这一特殊就反映了“一切皆空”这一命题所留下的痕迹。0 是正数和负数的分界点，也是解析几何中笛卡儿坐标轴上的原点。没有 0 也就没有原点，也就没有了坐标系，几何学大厦就会分崩离析。这种认识，同样有可能受了大乘空宗的启发。
大乘空宗的“空”，在某种意义上也可以看做是原点，是佛教认识万事万物的根本出发点。大乘空宗认为，无论是正面的天堂还是反面的地狱，不管是天神或是魔鬼，都不免入相，脱离不了轮回之苦。天神享尽福报，照样会堕入畜生道或饿鬼道，也有可能走向自己对立面而成为魔。大乘佛教说“空”说“有”，都强调不可执著。这种说法与 0 的特殊性在数学的上表述，在哲学上有其相同之处。
出土于巴基斯坦的古印度《巴克沙利手稿》可能是世界上最早的包括 0 的“真正的”十进制系统，但它的具体时间有争议。
到了公元 7 世纪中叶，印度的记数法开始向西方传播，首先传到斯里兰卡、缅甸、柬埔寨等印度的近邻国家。
之后，公元 7 到 8 世纪，地跨亚非欧三洲的阿拉伯帝国开始崛起。阿拉伯帝国在向四周扩张的同时，阿拉伯人也在广泛汲取古代希腊、罗马、印度等国的先进文化，大量翻译这些国家的科学著作。
公元 771 年，印度的一位旅行家毛卡经过长途跋涉，来到了阿拉伯帝国阿拔斯王朝首都巴格达。毛卡把随身携带的一部印度天文学著作《西德罕塔》，献给了当时的哈里发（国王）曼苏尔。曼苏尔十分珍爱这部书，下令翻译家将它译为阿拉伯文，并将译本取名为《信德欣德》。这部著作中应用了大量的印度数字。由此，印度数字便被阿拉伯人吸收和采纳。这样，古印度的数字于公元 8 世纪末就传入了阿拉伯国家。
此后，阿拉伯人逐渐放弃了他们原来作为计算符号的 28 个字母，而广泛采用了印度数字，并且在实践中还对印度数字加以修改完善，使之更便于书写。
阿拉伯人掌握了印度数字后，很快又把它介绍给欧洲人。
当时中世纪的欧洲人，在计数时使用的是冗长的罗马数字，十分不方便。因此，简单而明了的印度数字一传到欧洲，就受到欧洲人的欢迎。可是，开始时印度数字取代罗马数字，却遭到了罗马教皇的强烈反对，因为这是来自“异教徒”的知识。但实践证明，印度数字是远远优于罗马数字的。
之后到了公元 1202 年，意大利出版了一本重要的数学书籍《计算之书》，由于书中广泛使用了由阿拉伯人改进的印度数字，它才标志着新数字在欧洲使用的开始。
随着岁月的推移，到了 14 世纪，中国印刷术传到欧洲，更加速了印度数字在欧洲的推广与应用。印度数字就逐渐为全欧洲人所采用。西方人虽然接受了经阿拉伯传来的印度数字，但他们当时忽视了古代印度人，而只认为是阿拉伯人的功绩，因而称其为阿拉伯数字，这个错误的称呼一直流传至今。
三、古埃及数学成就
古埃及人的数学知识主要包括算术、代数和几何三个方面。这三方面的数学成就，是古埃及人对人类文明做出的重要贡献。
古埃及使用数字的直接证据可以追溯到公元前 3000 年在阿拜多斯墓葬中发现的象牙标签，这些标签可能被用于记录陪葬品，有些标有数字。
同一时期，一批数学先驱也发明或者参与推动发展了数学的两大魔咒，它们将持续地扰乱那些不谙科学头脑的人，这两大魔咒就是命理学（数字神秘主义）和占星术。至于占星术和天文学孰先孰后，这是一个尚无定论的问题。但某种形式的算术肯定出现于命理学之前。
埃及早期的历史记录，相对更加详尽一些。埃及年代学者认定，公元前 4241 年是历史上最早的准确年代，亦即埃及历被采用的那一年。埃及历包括 12 个月，每个月 30 天，另外加上 5 天庆祝日，凑足 365 天，这一年代也受到天文学证据的支持，这一证据将天狗星索提斯（Sothis）， 也就是我们的天狼星——偕日升的日期与尼罗河每年一度泛滥的日期联系起来，在这里，发展天文学从而也发展算术学的推动力又是农业的需要，当然，也不完全排除可能是出于占星术的需要。
埃及的算术，甚至更直截了当地表现出了它更加费力的经验起源。早在公元前 3000 多年，埃及人就能够轻松掌握的数字就已经上至几十万。在这个早期时代，他们的象形文字做出了记录：他们有一次捕获了 120000 名俘虏，400000 头牛和 1422000 只山羊。这一记录就是出现在埃及著名的第一位法老——那尔迈的权杖上。当然，最后的这个数字，可能只不过是征服者诗意放飞的想象，因为即使在今天，要想在胜利和庆祝的短暂间隔时间内，点清那么多的羊，也必须要得到国家人口普查局的专家们帮助才行。
虽然古埃及人的一些数字，可能只是一种热情夸张的表示，不过至少却表明，公元前 3000 多年的埃及人已经完全克服了原始人类的那种对于勇敢想象数字的无力感。只有通过比较今天已经远远超越了野蛮人阶段的一些民族在算术方面的落后，还有如后所述的希腊人的情况，才有可能正确评价这一进步的意义。
埃及第 12 王朝（约公元前 1990 ~1800 年）的卡洪纸草卷和柏林纸草卷等文献，可以说是史上最早的数学文献。这些纸草文献最早发现于 1752 年。1877 年在埃及的法尤姆发现大量纸草后，纸草学才作为一门独立的学科而诞生，开始了专门收集、翻译和研究纸草文献的工作。
不过，现存的古埃及数学文献并不是很多，我们目前对埃及古代数学的了解主要来自中王国时代 （包括第 11～12 王朝，约公元前 2133～前 1786 年）的另两部纸草文献:《莫斯科纸草书》 （The Moscow Papyrus）和《莱茵德纸草书》 （The Rhind Papyrus）。另外，还有一些较晚期的零散文献。
《莫斯科纸草书》成书于公元前 1850 年前后，它是埃及最古老的一部数学纸草卷。
这部纸草卷，在 1893 年为俄国学者戈列尼雪夫 （V.S. Golenischefff, 1856～1947）所得，并做过认真研究，1912 年又归莫斯科美术馆所有，故称《莫斯科纸草书》。 这部纸草卷长 544 厘米，宽 8 厘米，至今保存完好，内容主要是数学问题和解答，共收有 25 个题。《莫斯科纸草书》的一些算题中，有一道是计算正方形底边的截锥体的体积（即截锥金字塔的体积），这样的算题，在其他的古代数学文献中是没有的。
《莱茵德纸草书》是公元前 1650 年前后希克索斯人统治埃及时期的纸草文献，1858 年为英国古物学家亚历山大·亨利·莱茵德 （Herry Rhind，1833～1863）所发现，故名《莱茵德纸草书》，现存大英博物馆。
《莱茵德纸草书》的篇幅和《莫斯科纸草书》相差无几，也是一部 544 厘米的长条纸草卷，作者是一个叫阿默士（Ahmes）的僧侣书写员。他从一份更早的著作中，将一份文件抄录在《莱因德纸草书》上。这部纸草书收有 85 个数学问题和解答，内容涉及到财政支出等问题，并带有标题。在标题中，作者把数学评论为“获得一切奥秘的指南”。由此可见，古埃及人对数学是很重视的。《莱茵德纸草书》的算题是从分数开始的，在全部例题中都采用了分数，因此，它可能是一部关于分数的论著。
保存下来的其他古埃及数学文献，所阐述的计算法则与《莫斯科纸草书》和《莱茵德纸草书》里的记载大致相同，但它们的学术价值远不及上述两种纸草书文献。不过，古代埃及的数学文献基本上是给文书人员参考用的手册，用一些实例教他们如何执行日常事务方面的计算工作，并不是讨论任何理论上的问题。
从《莫斯科纸草书》和《莱茵德纸草书》中可知古埃及人已采用 10 进位的象形符号。
埃及数目的写法，从 1 至 10，以及 100、1000、10000、100000、1000000 均有不同的象形文符号，惟独没有表示 0 的符号。
这些象形文字表示的数也十分有趣：数字 1是用一竖表示，许多竖则表示个位数；一段绳子表示 10；一卷绳子表示 100；沼池里的荷花表示 1000；手指表示 10000；用蝌蚪代表 100000，因为蝌蚪能大量繁殖，取其众多之意；举起双手的人，则表示为巨大或永恒的符号，代表 1000000。
埃及象形文字中奇特的数字
与众不同的长度单位是埃及数学形式的显著特色。这些单位是手指、手掌、脚掌和肘，埃及数学家便在这些单位之间，规定了一定的相互关系。1 至 1000000 之间的数，是根据排在一起的上述基本数学符号相加的原则组成。这种书写数字的方法十分繁琐，表达一个较大的数目，就必须把相应的数学符号多次重复加在一起。如表示 375 这个数，就需要将一卷绳子的形象符号（百位数）重复写 3 次，一段绳子的符号（十位数）重复写7 次，一竖的符号（个位数）重复写 5 次。
虽然埃及人基本上使用的是十进制记数，不过，却没有位值。公元前 1650 年的算术，能够进行加、减、乘、除运算，并将其应用到许多关于这些运算的特别简单的问题上面。
有关分数，以一种特别的符号表示；其他的分数，则以 1/n 形式的分数之和的形式表达，其中 n 是整数。
1.计数和计算
在算术的四则运算中，古埃及人实际上只是通过加法来完成的，减法是倒数，乘法则是转化成加减法步骤来进行运算的。在做乘法时, 只是把乘数和被乘数一次次地相加，直到约数为止。以 13ⅹ23 为例, 其运算式如下:
人类早期乘法的计算方法
把左行的乘数从 1 开始加位下去，直到把乘数加到 13 为止。
怎么加呢？
把前面标以“/”斜记号的数字 1，4，8 加在一起，即 1 + 4 + 8 = 13，然后把右行相对应的被乘数加在一起，也就是 23 + 92 + 184 ，这样，得到的结果上 299，即 13 x 23 = 299。
除法运算是乘法的逆运算，我们以 77÷7 为例，其运算式如下:
除法是乘法的逆运算
将右行的除数 7 加倍，在能把除数加到等于被除数 77 时为止（ 7 + 14 + 56 ）。然后在左行相对应的数前标为“/”记号，并把它们加在一起（ 1 + 2 + 8 ），得到的结果是11，即为商，所以 77 ÷ 7 = 11。这样看来，77 除以 7 就是找出几个 7 相加等于 77。由此可知，古埃及人使用的是简单的算术，而非比较高深的数学，并且他们使用的算术只限于加法和减法，乘法和除法实际上是利用加减来完成的。对古埃及人来说，四则运算都可以化为记数形式，这种运算方法虽然比较缓慢，但无须记忆，运算起来还是很简单的。
2.分数
在所有古代文明的数学体系中，古埃及有关分数的数学体系恐怕是最具特色的。
古埃及人很早就有计算分数的方法，但比较复杂。在除法运算中，如果被除数除不尽，就得使用分数，分数的运算也是利用加减法进行的。
阿默士纸草书显示，古埃及人使用分数的方式非常有趣。他们的操作方法与我们的方法截然不同。
因为分数对这于古代人来说，是非常困难的问题，所以，他们通常避免同时改变分子和分母。
在处理分数时，古巴比伦人保持分母（60）不变。类似地，古罗马人也保持分母不变，且等于 12。而埃及人和希腊人则保持分子不变，分母可变。
古埃及人的分数，除 2/3 外，再也没有分数的分子大于 1，即其他所有的分数都是以 1 为分子，以总数为分母，即“单位分数”（后人称之为埃及分数）。在进行分数运算时，把所有的分数都拆成“单位分数”（即分子为 1 的分数），再取和求出。
例如，在所有大于 0 的真分数中，都只能是用若干个不同的单位分数之和来表示的。
这也就是说，古埃及人绝不会说“ 2/3 的土地被洪水淹没了”，而是说“ 1/2 + 1/6 的土地被洪水淹没了”，古埃及人用这种奇怪的分数表达方法，建立了一套独特的数学体系。
那所有的分数，都可以用若干个不同的单位分数之和表示出来吗？没错。例如，
1/2＝ 1/6 + 1/3，
3/5＝1/3 + 1/5 + 1/15，
4/13＝1/4+ 1/8 + 1/468 ，等等。
总之，没有什么分数，是古埃及人表示不出来的（牛！X﹏X）。
从《莱茵德纸草书》这份文件中可以看出，除法要通过这些“单位分数”进行，其技巧是把 m/n（此处 m＞1）表达为单位分数之和。
埃及人最早是如何得出这样令人好奇的解法的，似乎已无法知道了。它们或许代表了那些千百年来仔细保藏在表格上留待将来使用的古老经验，就像我们今天保留对数表那样。
阿默士进一步写下了一系列 2/n 的变换，其中 n 是 5 到 101 之间的所有奇数。他们可以通过连续使用 1/x + 1/y = 1/n 的正整数解的方法来获得这些答案。可是，要知道，当时就出现了这种约数个数定理的做法，其可能性是极小的。
毕竟最早的毕达哥拉斯定理（勾股定理），至少怎么也得要到 500 年以后的中国商朝时期（我国真正有文字记载的开始）才被人发现，至于更严格的证明，起码也是千年之后的事情了。而且，早期的人类数学，更是要到公元前几个世纪的阿基米德和欧几里得时代才会有大的发展。因此，对于这种疑惑，不少人还是提出了许多其他猜测，但还是没有得到有关这方面问题的大部分学者的认可。
阿默士还提到了一个等比数列，其中包含数字 7、49、343、2401、16807。
在这些 7 的幂旁边有这样一些词汇画：猫、老鼠、大麦、麦粒。
这些神秘的数字有什么含义？
3000 年后，中世纪意大利数学家斐波那契在考虑这个问题时，在他的《算盘之书》 中给出了如下问题：
有 7 名老妇人去往罗马，每位妇人有 7 头骡子，每头骡子担着 7 个口袋，每只口袋里装着 7 个面包，每个面包附有 7 把餐刀，每把餐刀有 7 只刀鞘，则刀鞘有多少只？
而《数学史讲义》的作者莫里茨·康托尔也如此解读阿默士之谜：
有 7 个人，每人有 7 只猫，每只猫吃 7 只老鼠，每只老鼠吃 7 根大麦穗，从每根大麦穗中可以长出 7 颗大麦粒。一共有多少人、猫、老鼠、麦穗和麦粒？
有趣的等比数列
阿默士给出的这一等比数列的和为 19607。因此，我们可以说阿默士纸草书既揭示了等差数列的知识，又介绍了等比数列的知识。
至于表示分数的符号，则应该是在解决有关食物和其他物品分配时产生的。
埃及的单位分数有 1/2、1/4、1/8、1/16、1/32、1/64；每个分数都有自己的名称，它们的分数符号来源于荷鲁斯和塞特的神话传说。
根据这则神话，荷鲁斯是远古时代埃及国王奥西里斯的儿子。奥西里斯在位时，教人民耕种，使人民幸福，因而受到人民的爱戴。但他的兄弟塞特对他产生嫉妒之心，设毒计将他杀死，并且还碎了尸（扎心 ），其妻伊西斯历经千辛万苦，收拢奥西里斯的碎尸并在其感应下怀孕，生子荷鲁斯，他长大后为父*仇报**，打败塞特。
最后，经孟菲斯城的普塔神召集九神会裁决，使奥西里斯复活，成为阴间国王，主持审判死者灵魂；荷鲁斯则被加冕为上下埃及之王。传说荷鲁斯的形象为鹰头人身，他的左眼是月亮，右眼是太阳。荷鲁斯与塞特之间曾发生过一场激烈而残酷的搏斗，在混战中，荷鲁斯曾被塞特挖掉了左眼，撕成许多碎片，因此月亮有盈亏。
上述分数的名称，就是用荷鲁斯眼睛的各个部分表示的，如眼眉表示 1/8，眼珠则表示 1/4，左右眼睛的一部分就各自代表 1/2 和 1/16。有趣的是，这些碎片加起来却只有 63/64，被撕碎的最后 1/64 的部分是由埃及智慧之神托特施展魔法后填补的。
埃及单位分数的分子是用嘴的形象符号代表的，通常写在整数的上面，分子的下面是用数学符号书写的整数分母。
分子是用表示！
当古埃及人需要用分数时，总是把它们化为单位分数之和。比如，我们今天用 3/4 和 7/8 表达的分数，古埃及人则分别写作 1/2 + 1/4 和 1/2 + 1/4 + 1/8。
古代埃及的纸草书上记录着许多这样的分数运算例子，专门从事计算工作的古埃及书吏在运算之末加上一句套语：“正是如此”，就相当于我们现在的“证毕”。
由于我们不熟悉古埃及人表达分数的方法，所以感到它很麻烦，但对古埃及的书吏来说并不困难，因为他们已经熟练地并有实效地掌握了这种计算方法。
但整体上来说，古代埃及这种单位分数的表示形式是复杂的，运算起来繁琐而冗长，因此限制了古代埃及数学的进一步发展。
3.代数
许多保存下来的数学演算习题的纸草证明，古代埃及已经有了代数的萌芽，例如，《莱茵德纸草》卷中有一道题为：一个数（古埃及人称未知数为“堆”），它的 2/3、1/2 和 1/7 及其全部，共为 33，求这个数。
这道题其实相当于我们现在的一个简单的一元一次方程，古埃及人通常用算术就可以解出来。
上述例题中的未知数，古埃及人称之为“堆”，就是“一堆”的意思，显然跟计算粮食有关。从这一点可以看出，他们习惯于进行具体思维，如他们表示“未知数量的谷物”，就用“一堆谷物”来代表。这说明古埃及人在代数方面已掌握了某些基本知识，同时他们知道如何计算土地的面积。
从保存下来的其他数学纸草文献中，我们还可以了解到，古埃及人还会解一元二次方程。不过，他们是用纯粹算术方法求解的，只用文字说出题解步骤，说明其理由。
4.几何
由于早期的古埃及人必须计算尼罗河每年因泛滥而流失或增加的土地面积，预算谷仓存粮或建筑项目所需砖块数目，便在实用的需要中产生了几何学。“几何学”一词的原意就是“土地的测量”。
一般的历史学家都承认埃及的几何学，是起源于尼罗河泛滥后土地的重新测量。这一说法最早出自古希腊希罗多德（Herodotus，约公元前484～前424年）。
西方史学之父——希罗多德
说起希罗多德，我们有必要多说两句。
希罗多德是古希腊的历史学家，从古罗马时*开代**始，他就被尊称为“历史之父”，这个名称也一直沿用到今天。
大约在公元前 484 年，他诞生在小亚细亚一座名叫哈利卡那索斯（Halicarnassus）的古老城市。那是古希腊人早年向海外开拓时建立的一座殖民城市。而哈利卡那索斯，就是今天土耳其穆拉省的港口城市博德鲁姆的旧称。
由于希罗多德的父亲是一个比较富裕的奴隶主，而他的叔父也是本地一位著名的诗人，因此，希罗多德从小就在物质和文化条件方面都比较好。而他本人学习也比较勤奋，尤其酷爱史诗，早年又受到爱奥尼亚学派（又称米利都学派）文化的熏陶，获得了良好的教育。以上这些，为他将来写下传世名著，打下了牢固的基础。
大约从 30 岁开始，希罗多德开始了一次范围广泛的旅游。他东至两河流域下游一带，南达埃及最南端，西抵意大利半岛和西西里岛，北及黑海北岸。为了维持生活，他还长途行商贩卖物品。每到一地，希罗多德就到历史古迹名胜处浏览凭吊，考察地理环境，了解风土人情，搜罗历史资料。他还喜爱听当地人讲述民间传说和历史故事，他把这一切都记下来，并一直随身带着。
公元前 447 年，希罗多德来到了希腊的政治、经济和文化中心的雅典。
当时的雅典，经历了希波战争，政治经济都获得了高度发展，一派欣欣向荣的景象，学术文化更是称雄于希腊世界。希罗多德感到异常兴奋，他积极参加各种*会集**和政治文化活动，并很快同政治家伯里克利、悲剧家索福克勒斯等人结下了深厚的情谊。一次他写的诗还得了奖，赢得了大家的赞誉。
由于希罗多德崇拜雅典的民主政治，也十分钦佩不久前打败奴隶大国波斯的以雅典为首的希腊城邦，所以，他不停地向有关的人打听战争的各方面情况，收集了很多的历史资料。
几年后，也就是公元前 443 年，雅典人在意大利南部建立了一个图里城（Thurii），也就是今天意大利南部的巴西利卡塔自治区（Basilicata）。希罗多德跟随那些雅典移民到了那里。
在成为这个城邦的公民后，希罗多德便开始潜心撰写《历史》，也就是《希腊波斯战争史》一书。
《希腊波斯战争史》这部著作是西方第一部历史著作，前半部记述了古代世界二十多个国家的地理历史概况，后半部则专论希波战争史，是研究古代世界的重要文献。可惜的是，这部历史著作还没有最终完稿，希罗多德便在公元前 425 年去世了。
古代最博学的人——亚里士多德
之后，古希腊另一个名人亚里士多德（公元前 384～前 322），又从另一个角度来说明数学源出于埃及。
他在《形而上学》（Metaphysics）一书中写道：“在实用的技术发明之后，那些并不直接为了生活的需要满足的科学才会产生出来。它首先出现在人们有闲暇的地方，数学科学最早在埃及兴起，就是因为那里的祭司阶层享有足够的闲暇。”
希腊晚期的学者普罗克洛斯（Proclus，约 410～485 年）也写道：“几何学起源于埃及尼罗河泛滥后土地重新测量的需要，正像最早的数字知识由腓尼基人（Phoenician）的商业、契约所引起的一样。”
此外，公元前 1 世纪，生活在凯撒大帝和奥古斯都时代的古希腊历史学家狄奥多罗斯以及罗马帝国时代的古希腊哲学史家第欧根尼·拉尔修、新柏拉图主义的杨布里科斯（约 250 年～约 330 年）和其他古代学者等都尤为同意希罗多德关于几何学源于古埃及的说法。因此，后人一般认为，几何学是由古埃及人发明的。
但事实上，生产实践促使几何学的产生，在埃及并不是唯一的一个例子，在世界的其他地方也是一样。例如中国古代（《九章算术》等书），几何图形叫做方田（正方形），直田（或广田，长方形），圭田（三角形），斜田（梯形），圆田（圆），四不等田（不规则四边形）等等，即足以说明面积来自田亩的丈量。
由于时代的局限性，埃及人虽然积累了许多具体的经验，但还没有将几何学上升为一门系统的理论科学。这关键性的一步，有待希腊人去完成。
古埃及人在几何学上的突出成就是计算圆面积的方法，即用直径减去它的 1/9，然后使得数自乘便得出圆的面积，这就等于取 π 值为 3.1605，粗略地接近了后人所算出的比较精确的圆周率（现通常采用的圆周率近似值是 3.1416 ）。
古埃及人的基本的面积单位是斯塔特（1 斯塔特 = 2735 平方米）。
在计算体积方面，古埃及人在长期的实践中掌握了圆柱体积等于底边面积乘以高的计算方法；在建造金字塔的过程中，他们还学会了计算角锥体或截锥体体积的方法。
《莫斯科纸草》中的一个例题（例 14 ）就叙述了一个下底边长为 4，上底边长 2，高为 6 的正方形截锥体的体积计算方法，这清楚地表明了埃及人已懂得我们今天几何学里的求积公式所表达的方法，不过他们是用文字来叙述计算方法和过程的，他们甚至还可能懂得计算半球的体积。
不过，古埃及人的几何知识主要带有实用性质，并被广泛应用于土地测量。例如，尼罗河每年泛滥，耕地面积和地形常常变动，田地的界限在泛滥时受到破坏，土地测量人员就用几何方法经常丈量土地，重新划定地界。在战乱期间，地方各州的疆界混乱，更易引起纠纷。
据相关铭文记载，古埃及第 12 王朝开国君主阿蒙涅姆赫特一世（公元前 1991～前 1962 年）即位后曾巡行全国，分疆划土，整理赋税，派人担任奥里克里斯州的州长，重新划定州与相临两州的疆界，使其不再相互争夺。
公元前 5 世纪，希罗多德曾周游埃及全境，在他所著的《历史》第 2 卷中，就记有关于古代埃及几何学产生的描述：
“塞索斯特里斯（拉美西斯二世）在全体埃及居民中把埃及的土地作了一次划分。他把同样大小的土地分配给所有的人，而要土地持有者每年向他交纳租金，作为他的主要收入。如果河水冲跑了一个人分得的土地的任何一部分，这个人就可以到国王那里去把发生的事情报告给他；于是国王便派人前来调查并测量损失地段的面积；这样今后他的租金就要按着减少后的土地的面积来征收了。我想，正是有了这样的做法，埃及才第一次有了量地法（几何学），而希腊人又从那里学到了它。”
希罗多德的记述，在许多保存下来的古埃及墓室壁画上得到了印证。这些壁画是就绘有测量人员检查土地界石是否有移动和更改，并且用带结的特别丈量的小绳进行土地测量的场面。
古埃及历史上的新王国时代（第 18～20 王朝），由于积累了丰富的几何学方面的知识，测量技术有了新的发展。这一时期埃及首都底比斯的贵族坟墓壁画，就有许多描绘国家官员对田地进行测量登记的场面。这些措施不仅重新清查了农民耕种的田亩面积，而且也是国家决定征收赋税的依据。
古埃及人的数学产生于生活和实践，并广泛应用于生产实践。他们计算赋税、丈量土地、测量距离、计算时间，并没有使用更高深的抽象的数学理论，而只是运用简单的算术，以具体图形提供实际的解决办法。
尽管他们的计算方法非常原始，他们的数字写法十分繁琐，他们却能够计算出三角形、长方形、梯形和圆的面积，计算出各种几何图形的体积。
在建造角锥体和神庙这类建筑活动中，古埃及人显然必须依靠相当精确的数学计算，否则是不会成功的。尤其是建造金字塔所需精确的巨石数目，最能证明古埃及人的数学成就。
计算极其准确、又包含许多数学知识的金字塔
屹立在尼罗河畔的胡夫大金字塔，不仅外观宏大，而且角度、面积、土石压力都经过事先周密的计算。按现代技术测定，其东南角与西北角的高度误差才 1.27 厘米，如此庞大的建筑工程计算得这么准确, 在现代建筑史上也是高水平的。
综上所述，古埃及人在长期的生产实践中积累了丰富的数学知识。每年尼罗河泛滥后重新丈量与分配土地、修凿运河、计算收成和劳工与*队军**的给养以及进行复杂的天文记录等方面的需要，促进了数学的发展。
作为一个讲求实际的民族，古埃及人之所以对数学发生兴趣，仅仅是因为数学有实际用途，他们只求能够解决实际的问题，而并非基于任何抽象原理，他们对数学并没有理论上的兴趣。可以说，实用性是古埃及人数学知识的基本特点。
他们所使用的方法极其原始，因此他们的成就更显得辉煌。这些成就是他们长期经验和知识的积累，虽然缺乏概括的演绎推理，古埃及人也没有形成一套严密的数学理论体系，但是他们在应用数学方面成就显著，贡献甚大，特别是以用数学制定历法，确定节日以及测定金字塔的方位等等。古埃及人以其实用而辉煌的数学成就，对人类文明做出了重要贡献。
最后，另一件事可能对于人类的前途可能更加重要，它之于数学可能比所有技术发展都更重要，不过它的出现很大程度上是依靠这些技术的发展。那就是——人类可能开始意识到，他们说不定可以摒弃在人类初期创造出来的成千上万的不可靠的神祇，给客观存在的宇宙一个理性的解释。
大约在公元前 7 世纪的某一天，一位腓尼基人来到埃及，跟随祭司们学习几何数学和哲学。这位腓尼基人出生在古希腊人的殖民地爱奥尼亚地区的城邦米利都，也就是今天的土耳其城市米雷特。
这个人名叫泰勒斯（Thales，约公元前 624～前 547 年）。古希腊最后一位哲学家普罗克洛斯（Proclus，公元 412～公元 485）对他有较为详细的介绍，说泰勒斯在埃及看到了几何学的重要性，就把这门学问带到了希腊。
他是人类历史上第一位提倡理性主义精神和普遍性原则的人，被称为“哲学史上第一人”。泰勒斯还是一个多神论者，认为世间充满了神灵，万物都有生命。
自从泰勒斯从埃及回到希腊，那里的科学，特别是数学就朝着崭新的革命性的方向突飞猛进地发展。
不过，尽管最后是由古希腊最早、最伟大的数学家清晰地表达了这种可能性，但是埃及和巴比伦的天文学家和科学家已经有所预见：正是从这里开始，我们人类终于成长起来了。
作者简介：三国大司马，一枚资深的世界历史学研究爱好者，现在头条上开启科普正经的世界历史系列，喜欢我的，请大家记得点赞关注一下，谢谢。