一、真题展示
1．(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O -ABC的体积为 ( A )
A. B. C. D.
2．(2020·全国Ⅱ卷)已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为 ( C )
A． B． C．1 D．
3．(2020·天津高考)若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ( C )
A．12π B．24π C．36π D．144π
4．(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
二、解法探究
方法一 直接法(公式法)
【例1】 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面．已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为3，则这个球的体积为_____ ___．
方法二 构造法(补形法)
角度一 构造正方体
【例2】 如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝ ，则球O的体积等于___ _____．
度二 构造长方体
【例3】 如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′-EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为_____ ___．
方法三 寻求轴截面圆半径法
【例4】 正三棱锥A-BCD内接于球O，且底面边长为 ，侧棱长为2，则球O的表面积为________．
方法四 确定球心位置法
【例5】 已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，AB⊥BC且PA＝7，PB＝5，PC＝ ，AC＝10，则球O的体积为________．
