01 引言

之前发了几篇文章关于矩阵中 特征向量和PCA主元分析的文章，大家反响不错。当时并没有涉及到数*运学**算，只是大概讲了讲原理。

这篇文章我们一起来一步一步解读

• PCA的计算过程
• 如何用Python实现PCA分析

准备就绪

02 第一步：数据获取

第一步，大量的数据收集是必须的。手边此时并没有数据，就通过python自己制造点数据吧。

构造数据框架

我们的项目计划是 看看 白种人和黄种人的基因差别。

gene = ['gene' + str(i) for i in range(1, 101)] #创造100个基因

白种人取5人（Wh1 到 Wh5）和黄种人取5人（Ye1 到 Ye5）。

white = ['Wh' + str(i) for i in range(1, 6)]

yellow = ['Ye' + str(i) for i in range(1, 6)]

data = pd.DataFrame(columns = [*white, *yellow], index = gene)

将所有的数据通过pandas包放入一个数据矩阵中。如下所示：

数据矩阵

现在，我们给这个矩阵赋值，完全随机的，不要去管数据严谨性，毕竟全是假设的数据。

数据代码

数据

搞定数据了，一般数据都是现成的。下一步，咱们开始PCA分析。

03 数据中心化

什么叫数据中心化呢？太高大上了！其实就是求平均值，将所有的数据和平均值联系起来。

我们还是用二维数据解释比较顺溜，假设数据如下：

杜撰数据

二维数据

假设我们有6组数据，x轴代表 影响因子1， y轴代表 影响因子2。蓝色小球代表数据，紫色小球代表数据平均值。

数据中心化，就是所有数据 减去 平均值，而图像的变化就是将平均值的点（紫色）移动到原点，其他数据点跟着移动。

数据中心化

数据中心化

简单吧！数据中心化后还有一步，是将数据缩放一下。

你看哦！

数据中心化的过程中，数据的方差是没有变化的。为了数据比较的方便，对数据还需要缩放一下，过程很简单。

数据缩放

所有数据 除以 方差，这样最后的数据的方差都变成 1 了。

上面的python代码我们创建了100个基因，10个人的数据包。总共数据是100 * 10。

我们给中间中心化和缩放一下。

scaled_data = preprocessing.scale(data.T) # 搞定！

数据缩放

04 PCA分析

PCA分析

线性规划大家还记得吧。

线性规划

如上图所示，我们需要划出一条线使得所有的数据点到达这条线的距离的平方和（红色线段）最小。

线性规划

为了详细说明线性规划，我们拿一个点来说明。

当B是无数数据点中的一个，AC（绿线）是一条最匹配的直线。那么我们需要保证：

• B到AC的距离，BC的长度的平方和最小；
• 或者C到A的距离平方和最大（勾股定理可证），两者是等效的。

所有数据点在主元坐标轴上的投射点到原点的距离（如上图中AC）的平方和叫做 Sum of Squared Distances （SSD）。

主元1 上的投射点的 Sum of Squared Distances 就是 主元1的特征值（Eigenvalue），可以参见我之前的文章。

主元2上的投射点的Sum of Squared Distances 就是 主元2的特征值（Eigenvalue）。

Sum of Squared Distances

我们注意到上图中最后一列是Variation。这是通过：

SSD / （数据个数 - 1）求得的。

Variation有什么用的？

主元1的Variation是2.20，主元2的Variation是0.20。那么一共是2.2 + 0.2 = 2.4。

那么，主元1占有：2.2 / 2.4 = 91.5%

主元2占有：0.2 / 2.4 = 8.5%

也就是说，PCA分析后，主元1保留了91.5%的原始数据信息，占比比主元2大的多。那么，主元1就是第一主元。

分析完毕，大功告成！

PCA

对于上述数据做PCA分析后，我们看出主元1占比高达95%。自然是第一主元。

05 总结

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感谢StatQuest。

“逃学博士”：理工科直男一枚，在冰天雪地的加拿大攻读工程博士。闲暇之余分享点科学知识和学习干货。