第2课时　基本不等式在实际问题中的应用

学习目标　1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题．

导语

同学们，我们说数学是和生活联系非常紧密的学科，我们学习数学，也是为了解决生活中的问题，比如：“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，如图为水立方平面设计图，已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左右两个矩形框架，两框架面积之和为18 000 m2，现地上部分要建在矩形ABCD上，已知两框架与矩形ABCD空白的宽度为10 m，两框架之间的中缝空白宽度为5 m，请问作为设计师的你，应怎样设计矩形ABCD，才能使水立方占地面积最小？要解决这个问题，还得需要我们刚学习过的基本不等式哦，让我们开始今天的探究之旅吧！

一、基本不等式在生活中的应用

问题　利用基本不等式求最大(小)值时，应注意哪些问题？

提示　一正：x，y都得是正数；二定：积定和最小，和定积最大；三相等：检验等号成立的条件是否满足实际需要．

例1　(教材46页例3改编)小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度．

解　设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y)m.

方法一　由已知xy＝16，

由≥，可知x＋y≥2＝8，

所以2(x＋y)≥16，

当且仅当x＝y＝4时，等号成立，

因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.

方法二　由已知xy＝16，可知y＝，

所以2(x＋y)＝2≥2×2＝16.

当且仅当x＝y＝4时，等号成立，

因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.

延伸探究　如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？

解　由已知得2(x＋y)＝12，故x＋y＝6，面积为xy，

由≤＝＝3，或＝≤＝3，

可得xy≤9，

当且仅当x＝y＝3时，等号成立．

因此，当游乐园为边长为3的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2.

反思感悟　利用基本不等式解决实际问题的步骤

(1)理解题意，设变量，并理解变量的实际意义；

(2)构造定值，利用基本不等式求最值；

(3)检验，检验等号成立的条件是否满足题意；

(4)结论．

跟踪训练1　要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价．

解　设该长方体容器底面的长和宽分别为a m，b m，成本为y元，

由于长方体容器的容积为4 m3，高为1 m，

所以底面面积S＝ab＝4，y＝20S＋10[2(a＋b)]＝20(a＋b)＋80，

由基本不等式可得y＝20(a＋b)＋80≥20×2＋80＝160(元)，

当且仅当a＝b＝2时，等号成立，

因此，该容器的最低总造价为160元．

二、基本不等式在几何中的应用

例2　如图所示，设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB′交DC于点P，设AB＝x.

(1)用x表示DP，并求出x的取值范围；

(2)求△ADP面积的最大值及此时x的值．

解　(1)矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，

∵AB＝x，∴AD＝－x＝12－x，

在△APC中，∠PAC＝∠PCA，所以AP＝PC，从而得DP＝PB′，

∴AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP，在Rt△ADP中，由勾股定理得(12－x)2＋DP2＝(x－DP)2，

∵AB>BC＝AD，得x>12－x，

∴6<x<12，

∴DP＝12－(6<x<12)．

(2)在Rt△ADP中，

S△ADP＝AD·DP＝(12－x)＝108－(6<x<12)．

∵6<x<12，∴6x＋≥2·＝72，当且仅当6x＝，即x＝6时取等号．

∴S△ADP＝108－≤108－72，∴当x＝6时，△ADP的面积取最大值108－72.

反思感悟　在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．

跟踪训练2　如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4米，AD＝3米，当BM＝________时，矩形花坛AMPN的面积最小．

答案　4

解析　设BM＝x(x>0)，则由DC∥AM得＝，解得ND＝，

∴矩形AMPN的面积为S＝(4＋x)＝24＋3x＋≥24＋2＝48，当且仅当3x＝，即x＝4时等号成立．

1．知识清单：

(1)基本不等式在生活中的应用．

(2)基本不等式在几何中的应用．

2．方法归纳：配凑法．

3．常见误区：生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围．

1．用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为(　　)

A．9 cm2 B．16 cm2

C．4 cm2 D．5 cm2

答案　C

解析　设矩形模型的长和宽分别为x，y，则x>0，y>0，

由题意可得2(x＋y)＝8，

所以x＋y＝4，

所以矩形菜园的面积S＝xy≤＝＝4，当且仅当x＝y＝2时取等号，

所以当矩形菜园的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.

2．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是(　　)

A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算

C．两种方案一样 D．无法确定

答案　B

解析　任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．

第一种方案的均价为＝≥；

第二种方案的均价为＝≤.

所以无论油价如何变化，第二种都更划算．

3．某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则(　　)

A．x＝ B．x≤ C．x> D．x≥

答案　B

解析　由题意得，A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，

则(1＋a)(1＋b)＝(1＋x)2，

因为(1＋a)(1＋b)≤2，

所以1＋x≤＝1＋，

所以x≤，当且仅当a＝b时取等号．

4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，矩形花园面积的最大值为________．

答案　400

解析　由题意设矩形花园的长为x>0，宽为y>0，矩形花园的面积为xy，根据题意作图如下，因为花园是矩形，则△ADE与△ABC相似，所以＝，又因为AG＝BC＝40，

所以AF＝DE＝x，FG＝y，所以x＋y＝40，

由基本不等式x＋y≥2，得xy≤400，

当且仅当x＝y＝20时，矩形花园面积最大，最大值为400.

课时对点练

1.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“(　　)”的几何解释(　　)

A．如果a>b>0，那么>

B．如果a>b>0，那么a2>b2

C．对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立

D．对任意正实数a和b，有a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立

答案　C

解析　可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c(c2＝a2＋b2)，

则外围的正方形的面积为c2，也就是a2＋b2，

四个阴影面积之和刚好为2ab，对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，

当且仅当a＝b时等号成立，故选C.

2．汽车上坡时的速度为a，原路返回时的速度为b，且0＜a＜b，则汽车全程的平均速度比a，b的平均值(　　)

A．大 B．小

C．相等 D．不能确定

答案　B

解析　令单程为s，则上坡时间为t1＝，下坡时间为t2＝，

平均速度为＝＝<<.

3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　)

A．6.5 m B．6.8 m

C．7 m D．7.2 m

答案　C

解析　设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．故C既够用，浪费也最少．

4.如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的(　　)

A．最小长度为8

B．最小长度为4

C．最大长度为8

D．最大长度为4

答案　B

解析　设BC＝a，CD＝b，

因为矩形的面积为4，所以ab＝4，

所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为

2a＋b＝2a＋≥2＝4，

当且仅当2a＝，即a＝时，等号成立．

5．气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第n天的维修保养费为(4n＋46)(n∈N*)元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止，一共使用了(　　)

A．300天 B．400天 C．600天 D．800天

答案　B

解析　设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为＝＋2n＋48，当且仅当＝2n时，取得最小值，此时n＝400.

6．(多选)已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y(万元)与运营年数x的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是(　　)

A．车辆运营年数越多，收入越高

B．车辆在第6年时，总收入最高

C．车辆在前5年的平均收入最高

D．车辆每年都能盈利

答案　BC

解析　由题意，y＝－x2＋12x－25，是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x＝6，故B正确；＝－x＋12－＝－＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x＝5时，等号成立，故C正确；当x＝1时，y＝－14，故D错误．

7．矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为________．

答案　32

解析　由题意，矩形中长为a，宽为b，且面积为64，即ab＝64，

所以矩形的周长为2a＋2b＝2a＋≥2＝32，

当且仅当a＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32.

8．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m3，深度为3 m．如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为________m.

答案　160

解析　设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为m，

由题意可得水池总造价y＝150×＋120×＝240 000＋720(x>0)，

则y＝720＋240 000≥720×2＋240 000＝720×2×40＋240 000＝297 600，

当且仅当x＝，即x＝40时，y有最小值297 600，

此时另一边的长度为＝40(m)，

因此，要使水池总造价最低，则水池的底面周长为160 m.

9．经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝(v>0)．在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？

解　y＝＝，

∵v＋≥2＝20，

∴y＝≤＝，

当且仅当v＝，即v＝10时等号成立．

∴当汽车的平均速度v＝10千米/小时时车流量y最大．

10．根据交通法规，某路段限制车辆最高时速不得超过100千米/小时，现有一辆运货卡车在该路段上以每小时x千米的速度匀速行驶130千米．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．

(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；

(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．

解　(1)由题意，y＝2·＋14·＝＋(0<x≤100)．

(2)因为y＝＋≥2＝26，当且仅当x＝18时，等号成立，

又0<18<100，

所以当x＝18千米/小时时，这次行车的总费用最低，为26元．

11.无字证明是指只用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，请写出该图验证的不等式(　　)

A．a2＋b2≥a＋b B．4ab≥a2＋b2

C．a＋b≥2 D．a2＋b2≥2ab

答案　D

解析　从图形可以看出正方形的面积比8个直角三角形的面积和要大，当中心小正方形缩为一个点时，两个面积相等；因此(a＋b)2≥8×ab＝4ab，所以a2＋b2≥2ab.

12．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为(　　)

A．3 B．8 C．4 D．9

答案　A

解析　由题意p＝7，S＝＝≤·＝3，

当且仅当7－b＝7－c，即b＝c＝4时，等号成立，

此三角形面积的最大值为3.

13．某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，提价幅度较大的一种是(　　)

A．先提价p%，后提价q%

B．先提价q%，后提价p%

C．分两次提价%

D．分两次提价%(以上p≠q)

答案　D

解析　由题意可知，A，B选项的两次提价均为

(1＋p%)(1＋q%)；

C选项的提价为2，D选项的提价为

2，

又∵<，∴(1＋p%)(1＋q%)<2<2，

∴提价最多的为D选项．

14．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km处．

答案　5

解析　设仓库到车站距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费用为y2，

由题意可设y1＝，y2＝k2x，

把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，

∴y1＝，y2＝0.8x，

费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2×4＝8，

当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立．

当仓库建在离车站5 km处两项费用之和最小．

15．一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是(　　)

A．大于10 g B．大于等于10 g

C．小于10 g D．小于等于10 g

答案　A

解析　由于天平两臂不等长，

可设天平左臂长为a(a>0)，右臂长为b(b>0)，则a≠b，

再设先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，则bx＝5a，ay＝5b，

∴x＝，y＝，

∴x＋y＝＋＝5≥5×2＝10，

当且仅当＝，即a＝b时等号成立，但a≠b，等号不成立，即x＋y>10，

因此，顾客购得的黄金大于10 g.

16．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(10－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．

(1)求每套丛书利润y与售价x的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？

(2)每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润．

解　(1)∵∴0<x<100，

y＝x－＝x－－20(0<x<100)，

当x＝80时，y＝80－－20＝55(元)，

此时销量为10－0.1×80＝2(万套)，

总利润为2×55＝110(万元)．

(2)y＝x－－20，

∵0<x<100，

∴100－x>0，

∴y＝－＋80

≤－2＋80＝60，

当且仅当＝100－x，即x＝90元时，每套利润最大为60元．