刘旺忠
2020-9-7
前些天我读了《这才是好读的数学史》,书中讲到了“不可能的、想象中的、有用的：复数计算”。
例如，欧拉仍然纠缠在诸如√-2这样的表达式中。一个实数方根有明确的含义：√2是指2的正平方根。但是，因为复数既不是正的也不是负的，没有好的方法来选择我们所说的平方根。所以我们发现欧拉说
√-2∙√-2=-2和√-3∙√-2=√（-3）∙（-2）=√6
而没有注意到，如果他把第二个方法应用到第一个方程，他就会得到不正确的结果。
√-2∙√-2=√（-2）∙（-2）=√4=2
类比推理经常奏效，但并不总是如此。[1]
上述计算中出现的矛盾如何解决呢？我的想法是：
√-2∙√-2=（-√2）∙（-√2）=√2∙√2=2
理由呢？这需要从实际意义上重新理解平方的含义，举例说明：
一人有2双鞋，3人有几双鞋？算式为2×3=6。虽然你写成3×2=6，得数看起来一样，都是6双，但意义是不一样的，3×2代表每人有3双鞋，2人有几双，完全不是一个问题。所以乘号前后的两个数字不可互换。
一人买了2双鞋，2人买了几双鞋？计算过程应当是：2双/人×2人=4双。很明显乘号前面的2代表鞋的数量，而乘号后面的2代表人的数量，两者不是一回事。
一人借了2双鞋，2人借了几双鞋？计算过程为：（-2）双/人×2人=-4双。
√4和√-4当然不一样，它们计算的结果都应当指向乘号前面的那个数，而不是乘号后面的数，因此：
√4=2
√-4=-√4=-2
这样√-1=-√1=-1。引入虚数“i”，令i×i=-1，实际上这个算式不成立。正确的计算应当是：（-1）×1=-1。虚数的引入是数值计算脱离了实际应用的结果。
2005年12月，数学家陶哲轩在美国加州大学洛杉矶分校数学系，为其著作《陶哲轩教你学数学》写了第二版前言，他说：
我惊喜地发现，即便那些非常复杂的、深奥的结果，也常常可以利用一些相当简单，甚至是常识性的原理推导出来。当你领悟到其中的一个原理，并突然看到该原理是如何阐明一个庞大的数学体系时，你会忍不住惊喜地喊出“啊哈”。这的确是一种不寻常的体验。【2】
这话说的多好，给了我这个数学的门外汉极大的鼓舞，让我有勇气说出自己的想法。即使错了也没关系，好玩就行。
参考文献：
【1】【美】比尔·伯林霍夫、【美】费尔南多·辜维亚著，胡坦译，生云鹤审译，北京时代华文书局，2019年6月第1版，第205页。
【2】【澳】陶哲轩著，李馨译，北京：人民邮电出版社，2017年11月第1版，2020年4月重印。