今天，饼干打算用 Excel

来模拟一个比较经典的问题

三门问题（Monty Hall Problem）

首先，我们排除一切干扰信息

重新确认一下已知的信息：

有三扇门

• 一扇门后是汽车，其余两扇门后是山羊

• 你可以任意挑选一扇门

• 饼干打开了另一扇门，门后是山羊

现在饼干再给你一次选门的机会

• 你会坚持一开始的选择？

• 还是觉得改变可能带来更多的机会？

如果饼干只是 随便 选的门，

你又会如何决策？

今天

饼干将通过 蒙特卡洛模拟

回答这个问题

先简单介绍一下

蒙特卡洛（Monte Carlo）

蒙特卡洛的核心是 大数定律 和 中心极限定理

对于这 2 个定理，我们只需要知道

在一定条件下

大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的

即通过大量的随机模拟，可以用频率的 平均值 来估计 概率

说人话就是

扔 100 次硬币，看看正面的频率到底是不是 50%

如果担心 100 次可能会有波动，那就一万次？甚至百万次？

我们要做的是

1. 构造过程（使用 Excel 模拟过程）

2. 随机抽样（使用 VBA 进行重复采样）

3. 估计变量（用选中汽车的频率估计概率）

构造过程

三门问题的 Excel 模拟相对还是比较简单的

首先，一共只有三扇门

• 实际车子在一扇门后

• 你一开始会选一扇门

也就是说，初始状态有 3 × 3 共 9 种

那么饼干只能在剩下的两扇门里选一扇打开

由于实际饼干打开的门后是山羊

因此，可以构建如下的 开门可能性矩阵

有了可能性矩阵后，我们就可以

构造概率模型

在 Excel 中一般通过构造包含随机数的公式实现

涉及返回随机数的函数有 2 个

• 连续分布

RAND：返回大于等于 0 且小于 1 的均匀分布随机实数

• 离散分布

RANDBETWEEN：返回位于两个指定数之间的一个随机整数

我们希望构造的是如下图的概率模型

每一行代表一次实验

【换】和【不换】这 2 列中：1 代表选中汽车，0 代表没选中

我们来看下具体的公式

• 实际和选择都是随机的离散值

=RANDBETWEEN(1,3)

• 饼干开的门背后是山羊

这里将 Vlookup 的第 3 个参数构造成随机变量

=VLOOKUP([@实际]&[@选择],开门决策,4+RANDBETWEEN(0,1),0)

• 最后判断是否选中汽车

【不换】= ([@实际]=[@选择])*1

【换】= AND([@实际]<>[@选择],[@实际]<>[@开门])*1

*1 是将布尔值转化成数值

随机抽样

由于我们构造好的概率模型只有一行

因此我们只需要

向下拉个 1000 行

就完成了 1000 次抽样

然后比较一下【换】和【不换】的总和就可以知道哪种选择更好了

当然，如果你觉得 1000 行的数据还不够的话

完全可以写几行 VBA 把这个过程重复 100 次、甚至 1000 次

估计变量

这里饼干统计的是

每个【千次实验】中，选中汽车的频数

我们来看一下重复 1000 次【千次实验】的统计结果

模拟数据显示

选择【不换】在

1000 次

实验中平均可以选中汽车

333.4 次

运气好的时候可以选中 402 次，运气不好的话只有288 次

我们再来看下【不换】的频数分布

这个分布形状反过来也可以让我们再复习一下中心极限定理

大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的

也就是说，通过蒙特卡洛模拟的结论是

【不换】坚持一开始的选择，选中汽车的概率是 1/3

【换】尝试改变换一扇门，选中汽车的概率是 2/3

But Why？

相信到这里肯定有人会说

饼干已经开掉了一扇门

那不就相当于只有两扇门，一扇门后有车

任意选一扇门，门后有车的概率应该是 1/2

所以，换不换没有区别

对于这个观点，饼干的看法是这样的

我们所做的决策是基于对信息的利用

而三门问题的关键在于

饼干打开了一扇背后是山羊的门

这个信息有没有影响你的决策！

如果你觉得这个信息是没有意义的

得出的结论自然是

换不换一样

而如果你仔细揣摩

发现这个看似不影响结果的信息背后的意义

3 扇门比起 2 扇门降低了你在第一次就做出正确选择的概率

是的

我们利用了 更多的 信息

做出 更贴近事实的 决策

这或许也是数据分析的魅力所在吧~

最后

如果饼干只是 随便 选的门，你又会如何决策？

这个问题就留给大家留言和我讨论了

关注饼干，少加点班

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