《四色猜想中染色困局构形的4-染色》文中的主要定理及其作用
第一：2017年12月，张彧典发现了两个重要定理：在任何一幅用四色染色的极大平面图中，不可避免地存在至少 “一个四边形之四个顶点用四种不同颜色染色”，简称为“四色顶点四边形”存在定理（即定理1），同时证明了四色顶点四边形的性质定理（即定理2）：
在四色顶点四边形中，已知对角链被它的相反对角链替换时，只会改变构形的几何结构，而不会改变构形的*图色**。
这两个定理为E族构形之几何结构的非十折对称化提供了正确方法。
第二:确立了E-族（4个）构形。
1935年，《美国数学学会会刊》发表了《对已部分染色地图的一组操作》【1】给出赫伍德反例构形的基本模型，同时提出了一个Errera图（即构形），称之为“染色困局”构形。
《一种试探式的平面图四染色》【2】一文又把Errera图称之为CK图。
1992年，《已知的赫伍德范例》【3】把Errera图用它的对偶图简化表示出来，我们称之为“E构形”，就是论文中图3之E1。
为了名称的统一，我们把以上3种叫法统一为“染色困局”构形 。
2018年，他通过解析上述3个同类文献，找到了与E构形同胎的另外3个构形，这4个构形统称为“E-族构形”，分别记为E1,E2,E3,
E4 。
第三:由两个己知引理导出定理3及推论
《一种试探式的平面图四染色》中已经通过E1构形证明了一个引理，这就是
“引理3.1 ：当初始染色为CK0时，算法2.1循环，并以20种不同染色序列为一个周期” 。
这个引理中所说的“初始染色为CK0”，就是初始的*图色**，“算法2.1”就是H染色程序。通过E族中的4个构形周期循环性分析，证明了它们周期循环的根本原因，主要不仅是因为构形初始染色，而且是因为它们都具有的十折对称性几何结构。为什么认识有差别呢？理由是：文献1、2、3，只是考虑到E族中的一个构形即E1的共性---*图色**CK0循环，没有考虑到E族中的四个构形的共性---十折对称的几何结构也循环。所以引理3.1 应该完善叙述为：
引理3.1：“当具有十折对称几何结构且初始染色为CK0时，算法2.1循环，并以20种不同染色序列为一个周期”。
在文献3中，米勒她们两人给出的范例2即“E1构形”，并且证明了：在“四次逆时针赫伍德颠倒之后，构形发生周期性循环”，这里我们不妨称为引理3.2。
显然，以上两个引理互为逆定理，如果把引理3.1作为原定理，那么引理3.2 就是它的逆定理，根据高中数学中的四种命题真假性分类可以判定，引理3.1的四种命题都是真命题，所以它的否定理一定成立，即
定理3：
“当初始染色的CK0不具有十折对称几何结构时，算法2.1不循环。”
把定理3推而广之，得到推论：
“如果任意染色困局构形不具有十折对称几何结构时，那么H染色程序一定不循环，即经过有限次的颠倒染色后使得构形可约。
定理3及其推论为″点与边无限、非十折对称几何结构的染色困局构形"之可约提供了理论证明。
第四: 确立了Z染色程序(定理4)
对于E族4个构形，如果运用H染色程序求解，都会发生周期性循环，无法证明其可约。但是，四个E族构形中，欧文、敢峄等人发现E1存在A-B环，张彧典发现E2也存在A-B环，而E3、E4存在C-D环，当在这两种特征环外作与之相反色链的颠倒染色时，都是可约的，于是完善了前人的片面认识，统一称“张氏染色程序”（简记为Z染色程序），也可以称为定理4。这个定理为E族4构形及其放大构形的可约提供了科学方法。
然后，运用完全数学归纳法证明了：
对于任意具有十折对称几何结构的构形求解，Z染色程序可行。
包括任意放大的，只要没有破坏十折对称几何结构的基本框架，Z染色程序仍然可约。
张彧典等人通过4个定理的确立，完成了四色猜想中染色困局构形理论性的可约证明，也就是弥补了肯普（Kempe）证明d(v)=5时的漏洞，从“实践+理论”结合上给出四色猜想一个完整而简短的证明。论文《四色猜想中染色困局构形的4-染色》，在2022年发表于《应用数学与应用物理杂志》第3期（总10期），中英文对照版见数学中国哥猜难题专栏。至此，完成了四色猜想的人工证明。
张彧典历经了40多年的不懈探索，实现了阿佩尔的预见：
四色问题的一个简短证明有朝一日会被发现，甚至被因此而一举成名的天才高中生所发现。