女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
为什么对称是艺术？对称似乎是人类的普遍经验。它编码在我们身体的节律和季节的循环中。在视觉艺术中，对称对我们的眼睛来说是一种慰藉。令人惊讶的是，对称类型有数学上的限制，这意味着每一个试图制造完美重复图案的人最终都会制造出在某种意义上与你在本文看到的图案相同的图案。
你可以从Frank A. Farris的书《创造对称性，墙纸图案的艺术数学》（Creating Symmetry, The Artful Mathematics of Wallpaper Patterns）中了解到这个展览中图案背后的数学原理。在此，你只需要享受这里提供的图案的对称体验。
对称的图案
当某种变换使图案保持不变时，我们会感觉到一种令人愉快的相同。这种变换被称为图案的对称。我们从平面上的图案开始，我们熟悉的欧几里得几何平面。图案对称性的候选者是平面的刚性运动，如平移和旋转。(可视化词汇表解释了这些术语。)
一个著名的分类结果告诉我们，根据图案的平移程度，图案可以分为三类：墙纸、饰带和玫瑰花结。墙纸图案在两个方向上具有平移对称，饰带图案只在一个方向上具有平移对称。玫瑰花结完全没有平移对称性，这是一个自然的起点。
玻璃曼陀罗，红色和绿色
铝板数码打印，2016，两张20 × 20英寸，一张8 × 8英寸
曼陀罗让人们的眼睛在圆形或螺旋形图案中徘徊，寻找设计重复的地方。在每个曼陀罗中，我们可以找到彩色玻璃窗的窗格，它为设计赋予了色彩。每个曼陀罗都是用一个数学公式来参考窗户的原始照片中的像素，以及它的底片。两幅曼陀罗都有5重的旋转对称性，这在曼陀罗设计中是一个不常见的选择，但它与窗户的对称性相呼应。
饰带取样器
铝板数码打印，2016年，20×24英寸
饰带的名字来源于一个建筑特征:通常沿着墙顶的装饰带。在平面对称理论中，第一个著名的分类结果是存在7种类型的饰带图案。任何人构建的每一个图案，只要它沿着一个方向准确地重复，就可以归为这七种类型中的一种。
数学家，像许多人一样，喜欢收集每一种类型的艺术品。这是我用加州野花的原始照片制作的7个饰带的样本。我特别喜欢下面的第4幅，它体现了滑移反射的对称性——一种翻转和滑行的运动，使图案保持不变。
等距图的可视化词汇表
等距是保持距离不变的平面变换。
平移使平面沿着自身滑动。
旋转使平面围绕一个固定点旋转。这个旋转120度。当你这样旋转3次，你就回到起点。我们称之为三重旋转。
反射使平面围绕一条叫做镜像轴的直线发生翻转。反射称为间接等距反射，因为反射使形状翻转，使文字看起来颠倒。
滑移反射使平面绕一条线翻转，并使其沿同一条线滑动。
白色树皮远景中的松果
铝板数码打印，2013年，20×20英寸
墙纸图案的部分乐趣在于，你的大脑知道如何在给定的框架之外继续呈现图案，在左右和上下方向都是如此。(当数学家使用“墙纸”这个词时，我们指的是任何在两个独立方向上具有平移对称的图案。)
上下对称的起伏翻转和滑动使这种图案类型成为我的最爱之一。它是对称的，但也不太对称。在这里，我们看到与平移无关的滑移反射的交替轴。这种图案类型被国际结晶学家联盟称为PG。
南瓜派的旋转木马
铝板数码打印，2015年，20×20英寸
这个图案有滑移对称性，一排马朝左，下面的马朝右。与之前的图案不同，这个图案具有旋转对称性——你可以围绕马的中心旋转180°，整个图案保持不变。
遗憾的是：数学过程的限制使我无法将最漂亮的颜色加入到图像中，除非我放弃了马的形状。从无限的可能性中选择图像的过程是高度实验性的；数学公式既极其灵活，又很难精确控制。
山中远足途中的秋日飞蛾
铝板数码打印，2016年，20×20英寸
墙纸图案最大的惊喜是，正好有17种类型。每种类型做了很多例子后，我还是回到这个模式的类型作为最爱；叫做p31m。
请注意三重旋转对称，但也要注意镜像对称与三向风车的交替。对我来说，这提供了一个相同和变化的美丽平衡。它是对称的，但又是自然的。
我在一个秋天的日子里拍摄了这张原始照片，当时我正在加利福尼亚州圣何塞市上方的金山上徒步旅行。这件作品表明，有趣的图案可以从调色板相当有限的照片中产生。
木制杯垫上的变色蜥蜴
铝板数码打印，2014年，20×14英寸
除了一次又一次地重复同一件事之外，下一步就是用不同的颜色重复这件事。人类这样做已经有几千年的历史了。给出一组产生重复的数学公式，很容易把它们变成产生改变颜色的重复的公式。
在这张图片中，你可以将图案翻转到不同的水平线和垂直线上，整个图案中的每一种颜色都会切换到相反的颜色。这就是为什么我们称之为颜色反转模式。
什么是相反的颜色？对于那些老到看过彩色胶片底片的人来说，这就是我的意思。在数字世界里，我们可以直接说，有一种定义明确的方法，可以把任何颜色的底片，颠倒色调，把浅色变成深色。在这里，树林中丰富的棕色变成了同样丰富的蓝色。栗色被认为是中性的，就好像它是自己的底片一样。
来自塞拉日落的拼图碎片
铝板数码打印，2012年，20×16英寸
具有最小变化(和艺术价值)的照片可以变成美丽的图案。你能找到反色对称吗?如果你把粉色拼图转90度，它们就会与形状相同但颜色相反的绿色拼图相匹配。
右下角的插图显示，我的原始照片实际上是一幅拼贴画，将原始的日落照片和它倒置旋转的底片结合在一起。同样，黑色带被认为是一种中性色，用来区分正色和负色。
珀斯牛排上的变色卡通
铝板数码打印，2012年，20×16英寸
颜色反转图案也被称为双*图色**案，因为你可以只用两种颜色来制作它们。为什么停在两点?
首先，我把一张照片(漂亮的牛排和洋芋)做成拼贴画，当你把它转120度时，颜色会改变三分之一。然后我使用了一个特殊的数学公式来制作一个图案，其中整个图案具有相同的属性:你可以围绕不同的点将它旋转120°，所有的颜色都能完美地转换色调。当然，这看起来很疯狂。
对称性的变化
平面对称是我对对称的初恋，但它只是图案长篇故事的开始。在打开图案的大门时，有很大的艺术潜力，这些图案的重复并不与平面的刚性运动相联系。例如，允许扩张对称性导致了螺旋形图案的系列。将我们的平面概念扩展到其他领域，可以将我们引向球体上的图案，或者引向令人困惑的非欧几里得几何世界。
苔藓青蛙和花岗岩虫子席卷地球
铝板数码打印，2015年，24×20英寸
这张图片背景中的图案并不完全具有颜色反转的对称性。当你把花岗岩和苔藓的源照片颠倒过来时，它只有模糊的颜色反转：绿色变成了灰色。不过，当我用一个可以产生颜色反转对称性的公式来使用它时，它导致了两个相似但不同的形状：青蛙和虫子。然后我把图案以螺旋状缠绕在一个球体上。
紫色的雾霭是用Photoshop手工添加的。
双曲桃子
铝板数码打印，2014年，30×24英寸
把非欧几里得几何学看作是描述一个玩具宇宙的属性，在这个玩具宇宙的底部有一条独特但难以接近的边缘。你无法到达那个边缘的原因是，你和你所有的物质在你向它下落时以一种可预测的方式收缩。
在图像中找到灰蓝色的三角形，它们的角上有明亮的圆点;在这个缩尺的世界里，它们的大小都是一样的!
多面体取样器
铝板数码打印，2015，30×24英寸
球面上的对称性和反色对称性的故事与欧几里得平面上的故事非常相似。它只是一种圆形的平面。这些对称是柏拉图立体的：四面体，立方体/八面体，十二面体/二十面体。
实际上有七种不同类型的多面体对称性。允许不同的镜像对称，如图中七个较大的球体所体现的。
较小的球体显示出颜色反转的对称性。对于任何颜色反转的图案，我们都可以想一想，如果我们把一种颜色和它的负片当作同一件事，会出现什么样的对称性，就好像反对称是真正的对称性一样。在每条蓝色路径上，较小的球体与路径开始处的球体具有相同的对称类型(向下和向右移动)，如果您要用底片识别颜色，则末尾的球体将具有球体的对称类型。
变形：致敬M.C.埃舍尔
一套四幅铝板数字印刷品，2016年，每幅20×20英寸
每个从事对称工作的人都欠埃舍尔一份人情，他的精彩的具象绘画实际上说明了每一种已知的平面对称。这一套四个面板是为了纪念埃舍尔伟大的变形系列，最大的木刻版画长近7米。
在《变形2》中，埃舍尔的魔法把蜥蜴变成蜜蜂，把鱼变成鸟；都是手工制作的。我的变形技术不需要太多的技巧:我只是从一种模式融入另一种模式。
在这组板块中，我展示了每一种类型的墙纸对称性和3重或6重的旋转对称性，使之成为墙纸的采样器。(哪个图案与 "秋蛾 "有相同的类型？)
幻想的风景
多年来，我一直以抽象的方式工作，为其本身而制作图案。最近，我进入了一个具象的阶段，创造的图像模糊了现实世界和数学世界之间的界限。
光线追踪技术从一个虚拟场景开始，该场景中填充的对象仅具有精确的数学描述意义上的对象。精心设计的软件程序通过追踪场景中虚拟物体反射到虚拟相机上的虚拟光线来计算图像。
光线追踪是现代电影中创造数字效果的主要技术之一，其目的是欺骗。我的意图远非照相写实主义。我邀请你进入我自己的个人领域，在那里真实和数学一起舞蹈。
桃子庙宇
铝板数码打印，2016年，20×16英寸
谁参观了桃子庙宇？我去那里的第一步是将我用来说明非欧几里德几何的双曲线桃子图案粘贴在一个圆柱体的内部，也就是寺庙的墙壁上。
带有桃子徽章的巨型地球仪，球体上装饰着另一个图案，这个图案是由同样的桃子照片制成的，它被支撑在地板上。地面高度反光。我不得不让光线跟踪软件运行一天才能生成这个场景。
柏拉图赛船会
铝板数码打印，2016年，24×20英寸
亨廷顿湖上的三个风帆展示了柏拉图立体的(旋转)对称性:二十面体/十二面体、立方体/八面体和四面体。二十面体上绘有甜豌豆的图案，立方体上绘有明亮的万寿菊。四面体扭曲得太厉害了，所以我用了简单的原色。水面上的倒影是光线追踪的把戏。
他们到了……
铝板数码打印，2016，24×20英寸
画有多面体图案的球漂浮在山上，在月光下降落在内华达山脉的上双子湖。他们来自哪里？他们多久出现一次？
这些球是成对出现的，尽管不是按顺序。有两个具有二十面体的刚性运动的对称性；还有两个分别具有八面体/立方体和四面体的对称性。
樱桃甜甜圈
铝板数码印刷，2016年，24×20英寸
任何墙纸图案都可以缠绕在甜甜圈上，但由于甜甜圈外部隆起，内部挤压，所以会有一些失真。
密铺的墙纸图案是由墙上的樱桃和芥末的照片制成的，必须正确缩放，以使它在甜甜圈的接缝处匹配。在一个超现实的效果中，甜甜圈上的那个图案几乎是爬到了墙上。
二十面体灯花
铝板数码打印，2016年，20×16英寸
这张图片测试了光线追踪的极限，将一个虚拟的灯放在一个部分透明的、二十面体彩绘的地球仪里，地球仪放在水晶花瓶的南瓜茎上。两个相对的略微弯曲的反射墙创造了一个反射和投影的节日。颜色的来源是我现在熟悉的彩色玻璃窗。
当蝴蝶之门打开的时候
铝板数码打印，2016年，20×16英寸
这一场景让人想起尼尔·斯蒂芬森(Neal Stephenson)的小说《阿纳瑟姆》(Anathem)，其中描述了与社会隔绝的数学家社区。这些修道院的大门根据社区的情况，每年、十年、一百年会打开，或者对于少数神秘的人来说，每千年才会打开。
在虚拟灯光改变它们之前，大门和地球仪这两种图案的颜色是一样的，都是从我从祖先那里继承的蓝色大闪蝶翅膀徽章的照片(和底片)上画出来的。大门上的图案显示出换色墙纸的对称性；浮球上的图案是二十面体。
星夜之火
铝板数码打印，2016年，20×16英寸
夜晚，螺旋形的火星在亨廷顿湖的倒影中闪耀。漂浮在湖面上的地球仪以同样的模式发光，但方向相反：当我们从较小的地球仪的外部观察同样的模式时，六重大小的恒星与天穹内部的恒星旋转方向相反。
青山不改，绿水长流，在下告退。
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