第六节二阶常系数齐次线性微分方程
教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法
教学过程：
一、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程: 方程
y ¢¢+ py ¢+ qy =0
称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中 p 、 q 均为常数.
如果 y 1、 y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么 y = C 1 y 1+ C 2 y 2就是它的通解.
我们看看, 能否适当选取 r , 使 y = erx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将 y = erx 代入方程
y ¢¢+ py ¢+ qy =0
得
( r 2+ pr + q ) erx =0.
由此可见, 只要 r 满足代数方程 r 2+ pr + q =0, 函数 y = erx 就是微分方程的解.
特征方程: 方程 r 2+ pr + q =0叫做微分方程 y ¢¢+ py ¢+ qy =0的特征方程. 特征方程的两个根 r 1、 r 2可用公式
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求出.
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(3)特征方程有一对共轭复根 r 1, 2= a ± ib 时, 函数 y = e ( a + ib ) x 、 y = e ( a - ib ) x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数 y = eax cos bx 、 y = eax sin bx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.
函数 y 1= e ( a + ib ) x 和 y 2= e ( a - ib ) x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得
y 1= e ( a + ib ) x = eax (cos bx + i sin bx ),
y 2= e ( a - ib ) x = eax (cos bx - i sin bx ),
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例2 求方程 y ¢¢+2 y ¢+ y =0满足初始条件 y | x =0=4、 y ¢| x =0=-2的特解.
解 所给方程的特征方程为
r 2+2 r +1=0, 即( r +1)2=0.
其根 r 1= r 2=-1是两个相等的实根, 因此所给微分方程的通解为
y =( C 1+ C 2 x ) e - x .
将条件 y | x =0=4代入通解, 得 C 1=4, 从而
y =(4+ C 2 x ) e - x .
将上式对 x 求导, 得
y ¢=( C 2-4- C 2 x ) e - x .
再把条件 y ¢| x =0=-2代入上式, 得 C 2=2. 于是所求特解为
x =(4+2 x ) e - x .
例 3 求微分方程 y ¢¢-2 y ¢+5 y = 0的通解.
解 所给方程的特征方程为
r 2-2 r +5=0.
特征方程的根为 r 1=1+2 i , r 2=1-2 i , 是一对共轭复根,
因此所求通解为
y = ex ( C 1cos2 x + C 2sin2 x ).
n 阶常系数齐次线性微分方程: 方程
y ( n ) + p 1 y ( n -1)+ p 2 y ( n -2) + × × × + pn -1 y ¢+ pny =0,
称为 n 阶常系数齐次线性微分方程, 其中 p 1, p 2 , × × × , pn -1, pn 都是常数.
二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式, 可推广到 n 阶常系数齐次线性微分方程上去.
引入微分算子D, 及微分算子的 n 次多项式:
L (D)=D n + p 1D n -1+ p 2 D n -2 + × × × + pn -1D+ pn ,
则 n 阶常系数齐次线性微分方程可记作
(D n + p 1D n -1+ p 2 D n -2 + × × × + pn -1D+ pn ) y =0或 L (D) y =0.
注: D叫做微分算子D0 y = y , D y = y ¢, D2 y = y ¢¢, D3 y = y ¢¢¢, × × ×,D ny = y ( n ).
分析: 令 y = erx , 则
L (D) y = L (D) erx =( rn + p 1 rn -1+ p 2 rn -2 + × × × + pn -1 r + pn ) erx = L ( r ) erx .
因此如果 r 是多项式 L ( r )的根, 则 y = erx 是微分方程 L (D) y =0的解.
n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:
L ( r )= rn + p 1 rn -1+ p 2 rn -2 + × × × + pn -1 r + pn =0
称为微分方程 L (D) y =0的特征方程.
特征方程的根与通解中项的对应:
单实根 r 对应于一项: Cerx ;
一对单复根 r 1, 2= a ± ib 对应于两项: eax ( C 1cos bx + C 2sin bx );
k 重实根 r 对应于 k 项: erx ( C 1+ C 2 x + × × × + Ck xk -1);
一 对 k 重复根 r 1, 2= a ± ib 对应于2 k 项:
eax [( C 1+ C 2 x + × × × + Ck xk -1)cos bx +( D 1+ D 2 x + × × × + Dk xk -1)sin bx ].
例4 求方程 y (4)-2 y ¢¢¢+5 y ¢¢=0 的通解.
解 这里的特征方程为
r 4-2 r 3+5 r 2=0, 即 r 2( r 2-2 r +5)=0,
它的根是 r 1= r 2=0和 r 3, 4=1±2 i .
因此所给微分方程的通解为
y = C 1+ C 2 x + ex ( C 3cos2 x + C 4sin2 x ).
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二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介
二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程
y ¢¢+ py ¢+ qy = f ( x )
称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中 p 、 q 是常数.
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程
的通解 y = Y ( x )与非齐次方程本身的一个特解 y = y *( x )之和:
y = Y ( x )+ y *( x ).
当 f ( x )为两种特殊形式时, 方程的特解的求法:
一、 f ( x )= Pm ( x ) elx 型
当 f ( x )= Pm ( x ) elx 时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为 y *= Q ( x ) elx , 将其代入方程, 得等式
Q ¢¢( x )+(2 l + p ) Q ¢( x )+( l 2+ pl + q ) Q ( x )= Pm ( x ).
(1)如果 l 不是特征方程 r 2+ pr + q =0 的根, 则 l 2+ pl + q ¹0. 要使上式成立, Q ( x )应设为 m 次多项式:
Qm ( x )= b 0 xm + b 1 xm -1+ × × × + bm -1 x + bm ,
通过比较等式两边同次项系数, 可确定 b 0, b 1, × × × , bm , 并得所求特解
y *= Qm ( x ) elx .
(2)如果 l 是特征方程 r 2+ pr + q =0 的单根, 则 l 2+ pl + q =0, 但2 l + p ¹0, 要使等式
Q ¢¢( x )+(2 l + p ) Q ¢( x )+( l 2+ pl + q ) Q ( x )= Pm ( x ).
成立, Q ( x )应设为 m +1 次多项式:
Q ( x )= xQm ( x ),
Qm ( x )= b 0 xm + b 1 xm -1+ × × × + bm -1 x + bm ,
通过比较等式两边同次项系数, 可确定 b 0, b 1, × × × , bm , 并得所求特解
y *= xQ m( x ) elx .
(3)如果 l 是特征方程 r 2+ pr + q =0的二重根, 则 l 2+ pl + q =0, 2 l + p =0, 要使等式
Q ¢¢( x )+(2 l + p ) Q ¢( x )+( l 2+ pl + q ) Q ( x )= Pm ( x ).
成立, Q ( x )应设为 m +2次多项式:
Q ( x )= x 2 Qm ( x ),
Qm ( x )= b 0 xm + b 1 xm -1+ × × × + bm -1 x + bm ,
通过比较等式两边同次项系数, 可确定 b 0, b 1, × × × , bm , 并得所求特解
y *= x 2 Qm ( x ) elx .
综上所述, 我们有如下结论: 如果 f ( x )= Pm ( x ) elx , 则二阶常系数非齐次线性微分方程 y ¢¢+ py ¢+ qy = f ( x )有形如
y *= xk Qm ( x ) elx
的特解, 其中 Qm ( x )是与 Pm ( x )同次的多项式, 而 k 按 l 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.
例1 求微分方程 y ¢¢-2 y ¢-3 y =3 x +1的一个特解.
解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数 f ( x )是 Pm ( x ) elx 型(其中 Pm ( x )=3 x +1, l =0).
与所给方程对应的齐次方程为
y ¢¢-2 y ¢-3 y =0,
它的特征方程为
r 2-2 r -3=0.
由于这里 l =0不是特征方程的根, 所以应设特解为
y *= b 0 x + b 1.
把它代入所给方程, 得
-3 b 0 x -2 b 0-3 b 1=3 x +1,
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提示:
y *= x ( b 0 x + b 1) e 2 x =( b 0 x 2+ b 1 x ) e 2 x ,
[( b 0 x 2+ b 1 x ) e 2 x ]¢=[(2 b 0 x + b 1)+( b 0 x 2+ b 1 x )×2] e 2 x ,
[( b 0 x 2+ b 1 x ) e 2 x ]¢¢=[2 b 0+2(2 b 0 x + b 1)×2+( b 0 x 2+ b 1 x )×22] e 2 x .
y *¢¢-5 y *¢+6 y *=[( b 0 x 2+ b 1 x ) e 2 x ]¢¢-5[( b 0 x 2+ b 1 x ) e 2 x ]¢+6[( b 0 x 2+ b 1 x ) e 2 x ]
=[2 b 0+2(2 b 0 x + b 1)×2+( b 0 x 2+ b 1 x )×22] e 2 x -5[(2 b 0 x + b 1)+( b 0 x 2+ b 1 x )×2] e 2 x +6( b 0 x 2+ b 1 x ) e 2 x
=[2 b 0+4(2 b 0 x + b 1)-5(2 b 0 x + b 1)] e 2 x =[-2 b 0 x +2 b 0- b 1] e 2 x .
方程 y ¢¢+ py ¢+ qy = elx [ Pl ( x )cos wx + Pn ( x )sin wx ]的特解形式
应用欧拉公式可得
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