—、考情分析
1．考查形式
案例分析题是向考生提供一段或几段案例，然后提出两到三个问题让考生回答,共20分。该题要求考生阅读案例,并依据一定的理论知识,或做出分析、评价，或谈启示、看法，或寻错、析因等。
2.考查特点
从考点分布来看,大部分题目考查的均为数学教学知识,有少量题目涉及学科专业知识。
从考查内容来看,对问题情境、教学过程、教学设计的评析,还有问题纠错这两类题目出现频率较高;还有问题(情境）设计,数学专业知识类的题目也常出现,其中数学专业知识类的题目问题设置基本均围绕高中数学知识,难度不大。
二、题型解读
(一)“评析”类
“评析”类问题一般包含两个角度,一种是评价,一种是分析。这类题目在高中数学案例分析题中出现频率最高。
1．问题分析
评价角度的题目一般要求考生对案例中提供的问题情境,教学片段,教学(例题）设计等内容进行评价。常见的设问方式有:是否认可该教师的教学过程,请说明理由;从××角度对该教师教学过程进行评价;该探究活动存在什么问题,简要说明并简述理由;说明教师的教学是否符合要求;优点有哪些;缺点有哪些。
分析角度的题目一般要求考生根据案例提供的内容,确定教学目标、确定教学过程的主要特点等。常见的设问方式有:该教学过程(例题设计)的主要特点是什么;分析(确定)案例内容涉及的教学目标。
2.作答要领
评价角度的题目,作答时一般从两个维度阐述:一是宏观角度,进行教育理念或模式的分析;二是从具体行为角度,针对教师某一行为去评析教师该有的做法。
(1)宏观角度
宏观角度评析教师的教学行为可以从两个方面考虑：一是从新课程改革倡导的教育观、教师观、学生观等角度评析教师是否具有正确的教育观念；二是从教学原则、教学模式、教学方法、教学过程的基本规律等方面评析教师是否具备或遵循某些原则或规律的要求，是否选择合理的模式或方法。
(2)具体行为分析角度
针对教学片段中的关键行为(设计)，从具体行为（设计）联系到教学理念中。根据该行为(设计)出现的成因,从教学要求、选择依据、行为(设计)作用等方面，分析其优势及不足。例如,评价学生学习情况不积极现象,可以考虑教师在导入上是否合适、在教学方法的选择上是否合理;评价教师代替学生探究活动这一现象,可以考虑教师行为是否符合新课改强调的学生观、教师是否做到学生学习的引导者这一角色等方面进行论述。
3.材料剖析
阅读材料时,可以分别对教师和学生行为进行分析,如果大部分都在描述教师行为,那基本可以判断教师忽视了学生的主体地位;如果教师与学生有互动,那可以注意材料中的关键词(如教师行为中的“引导"“提示""中止”等,学生行为中“懒散""打乱""愣住”等),由此判断教师的教学行为是否得当。
4.答题思路
此类题目作答时,应先指出不足/优势是什么或是指出做法是否妥当,然后阐述作出此评价的理论依据,再结合案例对案例内容中的教师行为/教学设计详细论述。
例1 :教学片段:
通过前面的学习,我们已经得到了异面直线的概念,即不在同一个平面内的两条直线叫作异面直线。为了进一步理解这一概念,请同学们回答下面问题:
如图,在长方体ABCD - A'BC'D'的棱所在的直线中,与线段A'B所在直线成异面直线的有几条?
对于这个问题,甲、乙两位同学举手回答,甲同学回答5条,乙同学回答6条。教师只肯定了乙同学后,就要求学生们做另一组题目。
问题：针对教师的教学处理,谈谈你的看法。
【思路点拨】
题目要求对教师的教学处理谈看法,首先应判断教师的处理是否恰当,然后从教育理念,教学方法、教学内容等角度结合材料分析为什么恰当或者为什么不妥。
【参考答案】
我认为这位教师的教学处理有欠妥当。首先,教学活动是师生积极参与,交往互动,共同发展的过程。教师在提问了两名学生得到答案后就进行后续的教学,没有做到面向全体学生,违背了新课程改革中教育观的要求。其次,在两位同学回答后,只有结果性评价,没有过程性评价,不利于学生形成良好的学习习惯。最后,针对其中的错误答案,没有引导学生分析错误原因,没有很好地起到一个组织者、引导者以及合作者的作用。
例2：下列是两位教师对“复数概念”引人的教学片段。
【教师甲】为了解决 在有理数集中无解,以及单位正方形对角线的度量等问题,在初中,把有理数集扩充到了实数集。
在实数集中有解吗?类比初中的做法,我们如何做呢?看来,又需要扩充数系。
数学家引入了i,使i是方程 的一个根,即使 ,把这个新数i添加到实数集中去,就会得到一个新数集,记作A,那么方程 在A中就有解x=i了。
这样我们就引入了一个新数。
【教师乙】16世纪,意大利数学家卡尔达诺在解决“求两个数,使其和为10,积为40”时,认为这两个数是“ ”和“ ”,这是因为:
看来 也是一个存在的数，从而 是一个存在的数。数学家将 记为i，从而 。
这样我们就引入了一个新数。
....................................................
这节课我们学习了复数的表达形式 。当然,复数还有其他表示法,在后续的学习中我们会学习到。
问题：请分析这两教师教学引入片段的特点。
【思路点拨】题目要求分析引人片段的特点,首先应判断该教师是用什么方式进行引入的,再结合材料从该引入方式特点阐述该片段的优势或不足。
【参考答案】教师甲：引入片段的设计思路是温故知新,让学生回忆初中数系扩充的经过,类比得出高中遇到实数范围内解决不了的问题,也应该想到引人新数的方法来扩充数集,进而引入新课。这样做能够让学生通过复习旧知来获得解决问题的方法,对学生解决问题的能力有一定的提高。但该教师的设计方案有些缺乏趣味性。
教师乙：采用引入数学史来导入新课。这种导入既丰富了教材中的素材,又丰富了教学内容,同时激发了学生的学习兴趣,调动了学生学习复数的积极性，引发了学生的数学思考。该方案促使学生认识数学,理解数学,最终学好数学,体会到数学来源于生活，并应用于生活。有利于激发学生的思维,使学习变成一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。
5.常考角度
(1）新课程改革倡导的教育理念
考试中出现的案例,有些是课堂教学过程，有些是课程教学设计，都是围绕教师和学生两大主体展开。新课程改革的核心理念是教育要以人为本;以人为本的学生观要求把学生置于教育活动的主体地位。在教学中,新课程强调教师应去帮助、引导,教师应在教学过程中起到主导作用。评析案例时,应重点对教师行为和学生行为的关键词、关键句进行推敲。
以例1片段为例,整个片段教师行为较多,如“教师只肯定了乙同学”,很明显的直接忽视了另外一位同学的回答,从教育理念上讲忽视了面向全体学生,并且忽视了学生的主体地位。正确的做法应为，教师请学生说出6条直线分别是什么,帮助甲同学找到遗漏之处或错误之处,并分析甲同学错误的原因，并为全班学生讲解易错易漏之处,最后询问其他学生是否还有其他答案,是否学会本道题目。
(2)教学方法
对教学方法的评价,首先要判断出案例中的教师运用了哪种教学方法,再结合案例内容分析该教学方法的优缺点或是教师是否按照该教学方法的基本要求实施等角度进行分析。一般来说,案例分析题中出现的教学方法比较常规,有讲授法、谈话法(问答法)、讨论法、练习法和发现法等。
(3)教学目标
对教学目标的考查，一般是根据案例内容,分析该案例所落实的教学目标。高中阶段的教学目标应体现学生获得“四基”、提升“四能” ,蕴含了“六大核心素养”,撰写答案时一定要仔细阅读案例,寻找关键线索,找出目标落实不到位的准确依据,再进行答案组织与陈述。
(4)导入
对导入的评价应先判断该导入的类型,再从导入的特点出发,结合案例,阐述该导入方式的优势或者不足;然后再如前面内容所讲,从教育理念、教学模式等方向进行分析。
以例2片段为例,首先可以判断甲教师首先创设问题情境,然后回顾了初中的做法,让学生自然得出扩充数系的问题解法办法;引入i后,教师与学生缺乏互动,导致整个引入缺乏趣味性。乙教师利用数学史问题进行引入,丰富了教学内容,增加了学生的兴趣;在引入过程最初阶段故意制造与学生现有认知的矛盾点,引起学生的好奇心;这些要点都应体现在参考答案中。
(5)提问
对教师课堂提问进行评价,首先应知道课堂中问题的设置应遵循的原则,然后看这些问题是否遵循了这些原则,并对此进行评价。问题设置的原则包括,具有明确的目的性、具有一定的思维含量、具有层次梯度、具有一定的开放性。
例3：下面提供的案例是教师A和教师B在《方程的根与函数的零点》教学中的“课堂提问”。
问题:请对两位教师的课堂提问进行评价,并简述理由。
以上述片段为例,教师A从概念的学习阶段开始,问题的目的性就不是很明确,如问题4和问题5,这种问题对学生理解函数零点的概念帮助不大;还有问题8和问题9,由于问题设置得太抽象,容易导致学生无法理解问题,无法达到教师设置该问题的目的。层次梯度的设置上也存在问题,如问题7,前面没有铺垫函数图像问题,问题跳跃性太强,不利于学生思考。教师B提出的问题基本都有明确的目的,循序渐进引导学生一步一步地理解函数零点的概念和零点存在定理,且每个问题都具备一定的思维性,难度适宜,并在梯度设置上也是由易到难层层递进。
(二)“纠错”类
1．问题分析
此类题目是要求找出学生做题过程中出现的问题,并分析错误原因。历年真题中此类问题错误的设置比较单一,均是运算错误。常见的设问方式有:指出解题过程中的错误(运算过程是否正确),分析错误原因。
2.答题思路
此类案例,一般文字内容较少，即便有文字材料也不在重点分析的范畴内。答题时应明确目的,重点关注题目解题的过程。
此类题目作答时,应先指出错误，找错时重点关注题目的运算过程，然后从算理的角度分析错误产生的原因。
问题：指出上述解答的错误之处,分析错误原因。
【思路分析】基本不等式的运用在高中阶段难度较高。寻找本题错误之处,首先应观察基本不等式的使用是否正确,然后再计算等号的成立条件。本题的问题就出现在先后使用的两个基本不等式等号成立条件不一致。
【参考答案】解答错误之处:该学生在解答中连续两次使用基本不等式,但两个不等式等号成立的条件不同,不等式①等号成立的条件是“x =y",不等式②等号成立的条件是“ x = 2y” ,该生错误地认为两次取等号的条件是一样的,导致最终结果的错误。
错误原因:该生在运用基本不等式时没有注意等号成立的条件,在连续两次使用基本不等式时,没有验证最值成立的条件。
(三)“设计”类
1.问题分析
设计类角度的题目一般是针对课堂学生出现的某种状况或教学中的某个问题设计题情境、设计教学片段或是设计例题。常见的设问方式有:设计一个辅导教学片段;针对某些教学,该如何设置问题;如何引导学生思考××。
2.答题思路
此类题目在作答理念上和教学设计题类似。与教学设计题相比,这类题目要求设计的内容比一堂课更“小”一些。
此类题目基本不需要结合案例作答,但做题前应通过详读案例,明确题目要求设计的具体目标。
此类题目作答时,根据需要设计的具体目标,思考通过怎样的教学过程实现这个目的。在实现这个目的的过程中要注竟教育理念的贯彻、教学模式的选择、教学方法的应用等。
问题：针对该题的教学,谈谈该如何设置问题,帮助学生避免出现上述错误?
【思路分析】首先从题干的设问中确定,本题考查的是问题设计。再明确设计问题的目的是让学生避免忽视题目中直线斜率不存在的情况。所以设置问题时,可选择从最基础的问题入手,如过圆外一点能作几条圆的切线。确定这一结论后,后续求解过程中,即便学生忽视直线斜率不存在这一情况,也能意识到题目解答存在问题,大幅提升解题的正确率。之后的过程可利用数形结合得出直线大致图像,再分类讨论进行求解。
【参考答案】针对本题,结合案例中学生出现的错误,教师应该根据该题的教学步骤,在教学过程中,采取相应策略设置问题。下面结合教学过程进行分析:
- 教师与学生一起回忆旧知,提出问题“过圆外一点能作几条圆的切线”。
- 教师结合本题让学生画出该题相关的图像,设置问题引导学生全面考虑直线l的位置,如“直线l与圆相切有几种情况?”
- 教师通过提问引导学生复习直线斜率的存在情况,如“直线斜率存在时,对应图像是什么样子,不存在时如何表示?”
- 教师结合本题引导学生根据直线斜率的存在情况运用分类讨论思想解题，可设置问题如“当斜率存在时,直线l的方程如何求得?当斜率不存在时,直线l的方程是什么?”
(四)“专业”类
1.问题分析
专业类顾名思义,就是设问为数学学科专业知识的题目。这类题目相对简单涉及的知识一般为高中数学知识。设问方式没有固定模式,如:写出案例中例题的结论;给出上述问题的一般解法;画出某定理证明的示意图等等。
2.答题思路
此类题目在作答与数学学科专业知识题目作答方式类似,但应注意题目的设问是什么，有些要求直接写出结论的题目可不写解题过程。
此类题目的题干都体现在案例中，一般为教学过程或设计中的例题。案例中有多道例题的应逐一分析,前后题目可能会有关联,对解题有一定的启示作用。
作答此类题目时，情景设置和师生互动不是重点，重点在案例中的例题上。此类题目难度低,但撰写答案或解析时应作答准确。
问题：给出上述题目的正确解答过程。
【思路分析】从题干入手,可以发现此类题目与材料内容关系很小，搞清设问、提炼关键信息后，会发现题目很简单,材料给出的包含问题的解法还能起到提示作用。考生可直接当作一道高中数学题目来作答。
(五)“做法”类
1．问题分析
数学案例分析题中的这类题目，一般是针对案例中的某一个现象或某一类问题提出解决方案。常见的设问模式：针对××疑问,该如何回应;如何处理教学过程中学生出现的一些××现象等。
2.答题思路
这类题目要尤其注意针对性,题干设问明确指出针对什么问题,作答时一定要结合针对的内容,不可偏离主题。书写答案时,可先有一句总括句阐述观点，然后分段阐述具体做法并结合具体问题进行举例或分析。
例7:见例1
问题：假如你是这位教师,教学中应如何处理甲同学这种“找不全”的现象。
【思路分析】对于本题,首先要结合材料说明出现此种现象可能的原因,再针对原因具体谈—谈教师应该如何做才能改变学生出现的这种情况。对于学生找不全的现象,教师可以从基础的概念理解入手,加深学生对概念的理解和辨认,再从学生做题的习惯分析,可能是缺乏条理性,可重点谈一谈如何改变学生的思维习惯和做题方法。
【参考答案】
①甲同学这种“找不全”的现象可能是对异面直线的概念理解不清。教师在日常教学过程中,应多运用这些概念,使学生在认识上获得巩固加深,培养和提高他们运用概念分析问题和解决问题的能力,从而形成新的认识结构。同时,要引导学生进行总结,从一个概念出发,把关联概念、派生概念串连成线,相互对比,既直观形象,又有利于发展学生的创造性思维。如本题中,教师可以把两条直线平行、相交、异面三种位置关系一同研究,相互对照,有利于学生对概念的掌握。
②甲同学这种“找不全”的现象还可能是由于方法不得当,缺少条理性,导致遗漏。针对这一问题，用条件和结论的改变拓展学生的思维,对于某个类型的典型题目选择哪一种解法最佳,为什么要选择这种解题方法,要讲充分,让学生真正掌握。还要注重解题方法的比较、总结,只有这样学生才能进一步认识规律。如本题寻找异面直线的问题,可以转化为寻找共面直线,这样就大幅度地降低了本题的难度有利于学生对该知识的理解。
强化练习
针对“点到直线的距离公式”,有两位老师分别设计了以下两个教学片段。请你分析哪一个教学情境更好。
(一)师：一条河的两岸可以看成平行的直线，某人在岸边要驾驶船到对岸，请问，他应该选择在哪个位置到对岸,才能以最短的路径实现目的?
生：随便哪个位置都可以，因为岸的一边上任意一点到对岸的距离都相等。
师:为什么?
生:感觉。
师:这种感觉很好,但我们应该给予证明。今天，我们就来学习点到直线的距离公式。
...................................................
(二）师:前面我们学习了平面上两直线的位置关系：平行与相交。当两直线相交时，我们采用角来刻画它们的“相交程度”。那么，如果两直线平行，我们采用什么来刻画呢?(师平行地拿两支笔进行远近移动)
生:距离。
师:什么意思?
生:你刚才的比划，给我们一个感觉,两平行直线有远和近的区别。
师:好,那么怎样刻画两直线的距离呢?
甲生:作任意一条直线与两直线都垂直，被它们所截得的线段长度都相等,这个长度我们就定义为两平行线的距离。
师:很好!但要说明怎么作任意直线与两直线都垂直,还有别的什么方法?
乙生:其实,两平行直线上的一点到另一条直线的距离相等，这个距离可以定义为两平行直线间的距离。
师:很好!为了研究两平行直线的距离,我们可以选择甲和乙的办法,大家看,该选择哪个办法?
丙生:选择甲,因为点到点的距离最原始。
丁生:选择乙,因为点到直线的距离也是通过点到点的距离来刻画的,如果能够得到点到直线的距离,可以少走弯路。
师:两位同学的构思都有道理,那么,我们就合二为一。今天,我们就开始学习点到直线的距离。
【参考答案】第一位教师选用与所授内容有关的现实生活实例,引导学生思考与现实情境有关的问题,这种导入强调了实践性,能够激发学生的求知欲,使学生产生亲切感,让学生感受到现实生活中处处充满数学。但教师在教学中没有充分发挥学生学习的主动性,在提出问题后没有引导学生自主探索问题,解决问题,学生只能被动地跟随老师的思路学习,不能真正理解和掌握知识。
第二位教师联系学生之前学过的知识,提出新的问题,这种导入淡化了学生对新知识的陌生感,并在旧知上发展新知,能够帮助学生建立起新旧知识的联系。此外,在教学过程中,教师通过层层设问,引导学生自主分析问题,解决问题,充分发挥了学生的主体地位和教师的主导作用,使每个学生都参与到课堂中,积极主动学习知识,提高了教学效率和质量。
综上,我认为第二个教学情境创设得更好。