理解数量关系是培养学生问题解决能力的关键
——吴正宪老师一节问题解决课的启示
一、利用原有经验，唤醒数量关系
教学设计的一个重要策略是唤醒学生原有的学习经验，激起学生的学习动机，引发学生思考。用什么样的方式引导学生进入学习状态，进而思考和探索这节课的核心问题呢？吴老师用了一个在一般的课中很少用的方式。
师：同学们，我先提个问题：“六一儿童节快到了，合唱团要为学生演出服钉珠子，12件衣服，需要多少个珠子？” （开放的问题，蕴含数量关系）
学生发出了“啊”的声音。这时吴老师看到一个男孩双手摊开在胸前，一脸“这怎么解答”的神情，说：“我特别喜欢你刚才的动作，是什么意思呢？”男孩小声说：“没法算。”吴老师追问：“为什么没法算？你们想要什么信息？”
生：1 件衣服要多少个珠子？（师板书1件？个珠子）
师：噢，知道“1件衣服要多少个珠子”很重要。
上面这个片段生动地展现了这个 “不完整”的问题引起的学生的思考，突显了这节课的核心问题。学生的“啊”“没法算”反映出这样的问题将学生原有的有关解决问题的知识和方法调动起来，他们想的是解决问题的几个要素，有问题，有条件，而在这里关键的一个条件没有看到，所以学生出现茫然的表情。而缺少的是什么呢？是“1 件衣服要多少个珠子”，这个缺少的问题正是这节课要学习的数量关系中的关键。可见，这个缺少一个条件的问题的设计是吴老师精心思考的，是独具匠心的。这样设计不只是引发学生学习动机，更重要的是唤醒学生的学习经验，使学生思考这个问题中的数量关系。12件衣服，需要多少个珠子？学生说没法算的时候在他头脑中已经有个算法了，相关的数量关系也出现了。只是这个问题中缺少东西。在思考和提出“1 件衣服要多少个珠子”这个问题时，学生已经把这里涉及的基本的数量关系提取出来备用了。进而让学生体 会“1”和“多”的关系，知道1件衣服多少个珠子，就能知道8 件 、9 件 、500 件衣服需要多少个珠子；知道1个碗多少钱，就知道……知道1小时行了多少千米，就能知道……为后面的学习埋下了重要的一笔。
二、通过阅读理解，提取数量关系
理解题意，弄清问题中表达的意思对正确地解决问题至关重要。吴老师强调了读懂题目，理解题目意思的重要性。
出示问题：儿童节要到了，学校合唱团的孩子们要进行表演，老师决定在孩子们的演出服上钉一些漂亮的珠子。4 件衣服钉了 24个珠子，照这样12件衣服需要多少个珠子？
吴老师边等待边亲切地说：“你有想法了，不急。好好地阅读，还要理解呀。理解清楚了点点头。”
师：要想解决这个问题，一定会有重要的信息，我们要把它从生活情境中挑出来。你看到了什么？
生 1：4件衣服钉了24个珠子，12件衣服需要多少个珠子？
师：真好。还有没有比他更简单的？把最重要的读出来。
生 2：4、24、12、？个。
通过阅读理解问题，把题目中的重要信息找出来，这是学生分析问题和解决问题的重要环节。学生在“把重要的信息挑出来”的时候、生1和生2用了不同的表征方式。语言的叙述、数字的摘录，显然后者既简洁，又容易澄清数量关系。
三、运用几何直观，揭示数量关系
找出相关信息是解决问题的基础，但真正解决问题要理解题目中这些信息之间的关系。所以引导学生把他们的关系表示出来，可以暴露学生思考，体现学生不同的解决问题的思路。接下来吴老师提出了这样的问题：
师：阅读了，理解了，就要独立思考，边分析边解答。不仅能列式，还得让别人能看明白，你也可以画画图或用其他的办法。
这样的要求看似平常，但其中蕴含着重要的教学机智。“独立思考”是对每一个学生学习的要求，也是了解不同学生在对问题的理解上，在解决问题策略上的不同方式和水平。“让别人能看明白”，要让学生明白只有自己明白不行，还要使别人也明白。想明白不一定能说明白，不一定能让别人看明白，这一要求是希望学生厘清自己的思路，知道自己是如何解决问题的，也可以认为是一种元认知的策略。“可以画画图或用其他的办法”，引导学生利用几何直观解决问题，是培养学生解决问题良好的习惯与方法。从学生课堂中的表现，以及面课堂生成的过程，更能体会这一环节的重要意义。
课堂上呈现的学生不同的表示方法，（参见前文中的3幅学生作品图———编者注）体现了学生的不同思考方式和自己对数量关系的理解。每一个学生都有自己对图的解释和对数量关系的理解。作品3虽然不够简洁，但学生说：“我画衣服，是因为我怕别人看不懂。”
在此基础上梳理出解决问题的思路，在这个过程中体现了“1”和“多”的关系。从学生不同的表征方式可以看到，学生试图用不同的方式直观地呈现问题，表达数量关系，表现出学生运用几何直观分析和解决问题的意识和能力。
四、深度思考探究，拓展数量关系
教学到此还没有结束，吴老师又提出进一步思考的问题：刚才是这样分组的（4件、12件；24个，？个），还有不同的分组方法吗？4件除了跟12件有关系，还跟谁有关系？
通过师生之间的讨论，梳理出这些信息之间横向与纵向的关系：
竖着看，由4件是24个，能求出 1 件是6个，就能求出12是72个。12件是72个，72个是12 件，它俩这种关系能求什么？求出1件6个……（如图 1）
横着看，把4件衣服看成“1”,12件衣服 就是“3”，也就是说12件是4件的几倍，那么求出的 72 个也应当是24个的几倍，你这儿是3倍，我这儿也是3倍，是这样吗？（如图2）这个过程是进一步理解“1”和“多”的关系，也是“归一问题”的拓展，延伸到这个“1”可以是件，也可以是4件。把4件看作“1”的话，12件就是这个“1”的3倍，所以24 的3倍就是72。这个过程对于三年级学生来说有一定的挑战性，正是这种挑战性的问题，促进学生对问题的深入思考，不是只停留在现有的问题上，也不是只满足于找到问题的答案，而是进一步地追问，从不同的角度思考问题，在更深的层次上理解数量关系。从而使学生在理解和掌握基本数量关系的基础上，不断思考新的问题，拓展解题思路，问题解决的能力不断提升。
吴正宪老师这节课给我们带来的不只是“归一问题”怎么设计和实施，更重要的是启发我们思考“问题解决”这一类课的设计思路和方法。
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