完整例解增强版“物不知数”

　　2019年8月22日星期四

本文接前文：

——《用现代数学方法解古题“物不知数”》

——《用“辗转相除法”将两数的最大公因数表成两数的线性组合》

约一千五、六百年前，我国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷第28题记载了一道题：

“

今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问：物几何？

”

该问题被称呼为：“物不知数问题”，也叫“孙子问题”。

本文图片均来自网络

今时今日，一个无聊的后生打算将这个问题扩充一下：

“

今有物，不知其数。

两两数之，剩一；

三三数之，剩二；

五五数之，剩三；

七七数之，剩四；

十一、十一数之，剩五。

问：物几何？

”

下面是完整的求解练习，若对“纯计算”过敏者，慎入！！！

一、数学化表达已知条件

设该物有x个，则：

x≡1（mod　2）

x≡2（mod　3）

x≡3（mod　5）

x≡4（mod　7）

x≡5（mod　11）

其中：

m1＝2、m2＝3、m3＝5、m4＝7、m5＝11；

（由于所取除数均为不同之素数，故而满足“两两互素”之条件）

b1＝1、b2＝2、b3＝3、b4＝4、b5＝5。

（我故意选取了1、2、3、4、5作为余数，似乎有种形式美，且均满足：bi＜mi）

二、计算需反复引用的基础数据

m1m2m3m4m5＝2×3×5×7×11＝2310

m2m3m4m5＝3×5×7×11＝1155

m1m3m4m5＝2×5×7×11＝770

m1m2m4m5＝2×3×7×11＝462

m1m2m3m5＝2×3×5×11＝330

m1m2m3m4＝2×3×5×7＝210

三、计算关键参数vi（核心步骤）

①（m1，m2m3m4m5）＝（2，1155）＝1

辗转相除：

1155＝577×2＋1

变换：

1＝（－577）×2＋1×1155

得：

v1＝1，此处无关参数u1＝－577

②（m2，m1m3m4m5）＝（3，770）＝1

辗转相除：

770＝256×3＋2

3＝1×2＋1

变换：

2＝770－256×3

1＝3－1×2

倒推代入：

1＝3－1×2＝3－1×（770－256×3）＝257×3＋（－1）×770

得：

v2＝－1，此处无关参数u2＝257

③（m3，m1m2m4m5）＝（5，462）＝1

辗转相除：

462＝92×5＋2

5＝2×2＋1

变换：

2＝462－92×5

1＝5－2×2

倒推代入：

1＝5－2×2＝5－2×（462－92×5）＝185×5＋（－2）×462

得：

v3＝－2，此处无关参数u3＝185

④（m4，m1m2m3m5）＝（7，330）＝1

辗转相除：

330＝47×7＋1

变换：

1＝（－47）×7＋1×330

得：

v4＝1，此处无关参数u4＝－47

⑤（m5，m1m2m3m4）＝（11，210）＝1

辗转相除：

210＝19×11＋1

变换：

1＝（－19）×11＋1×210

得：

v5＝1，此处无关参数u5＝－19

如果辗转相除的步骤较多时，计算比较繁琐，一定要hold住！

整理关键参数值如下：

v1＝1、v2＝－1、v3＝－2、v4＝1、v5＝1。

四、求出特解c

将上面的已知条件、基础数据、参数代入特解模型：

c＝v1（m2m3m4m5）b1＋v2（m1m3m4m5）b2＋v3（m1m2m4m5）b3＋v4（m1m2m3m5）b4＋v5（m1m2m3m4）b5

＝1×1155×1＋（－1）×770×2＋（－2）×462×3＋1×330×4＋1×210×5

＝1155－1540－2772＋1320＋1050

＝－787

五、从通解中寻找最小合理解

x＝c＋k（m1m2m3m4m5）

－787＋2310＝1523

1523＋2310＝3833

3833＋2310＝6143

……

存在无穷多组正整数解，最小正整数解是：1523。

六、验证

1523＝761×2＋1

1523＝507×3＋2

1523＝304×5＋3

1523＝217×7＋4

1523＝138×11＋5

哈哈，打完收功。