2 如果没成功，那就多试几次

大数定律

幸运的博比在商店开业“限时抢”活动中拔得头筹。

博比·西格尔用时99秒，在北大街99便士商店中绕场一周，成为“限时抢”游戏的赢家。现年27岁的博比来自东汉姆。他在99秒内将37件商品装进了购物车，幸运地从40名参赛者中脱颖而出。

这是2011年12月我们本地报纸上一篇文章的开头部分。当时，我所在大街上的一家99便士商店为庆祝开业，举办了一场疯狂的“限时抢”竞赛，参赛者需要在99秒内将尽可能多的商品装到购物车中。这篇文章描述的就是我在那场99便士超市扫货活动中的取胜经过！

要参加这个比赛，每名参赛者都要提交一首四行诗。在商店剪彩时，获胜者还将当众朗读这首诗。所以，这次比赛不仅是一场幸运抽奖，还需要有一些文艺细胞。不过，从我提交的四行诗就可以看出，它对文艺水平的要求并不是很高。在12月的一个干冷的上午，我愉快地（我并没有觉得难为情）朗读了我那首令人不敢恭维的诗。

《寻找便宜货》 尽管经济衰退，口袋里没钱，但我仍然需要适当地装装门面。 要找到传说中的甜头，有时需要吃很多苦头！ 但一旦发现有人跳楼大甩卖，我就会感到欢乐开怀。 99便士商店——便宜货随处可见！

从5岁开始，我就热衷于参加各种各样的比赛。我参加的那些比赛，有的毫无技术含量可言（例如只需用明信片提交自己的详细信息），有的需要查阅一点点资料（例如回答几个常识性问题），有的则或多或少需要具备一些技能（例如写诗、提交艺术作品，或者把自己装扮成自己喜欢的某个作品中的角色，然后拍一张照片交上去）。值得一提的是，为了做到与众不同，我把麦片盒子的正面切成两半，做成了我的明信片。我们当地的邮递员一定很困惑，因为每隔一两个星期，邮件中就会出现“玉米片”“卜卜米”“香甜玉米片”等麦片品牌（或当时流行的其他家庭装早餐麦片品牌）的包装盒做成的明信片。

那段日子我似乎十分走运，赢得了一系列令人眼花缭乱的奖项：在莱斯特广场的红地毯上见到了出席自己电影首映式的迈克尔·弗拉特利（以踢踏舞剧《王者之舞》等闻名）；比利时豪华游；够我吃一年的巧克力；高配置的笔记本电脑；一年的旅行保险；一次跳伞的机会（我还没来得及使用，它就过期了）；甚至还有一个儿童玩偶屋。我获得的这类奖项，足有上面提到的20倍之多。这是侥幸吗？难道幸运之神一直在眷顾我吗？我天生就是一名幸运儿吗？

我认为并非如此。我的朋友们经常对我说：“（我们）从来没有赢到过任何东西。博比，你参加这类竞赛的运气真是太好了。”事实上，我的“运气”来自数学（具体来说，是一个名叫概率的数学领域）中的大数定律。简单地说，尝试的次数越多，你就越有可能得到想要的结果。每当我看到天鹅优雅地游过温莎附近的小河时，我和大多数观察者一样，都注意到了这些天鹅看起来是多么优雅、多么泰然自若。但我知道，天鹅浸没在水面下的两只脚正在疯狂地打着转，这样水面上的动作才会给人一种富有诗意的错觉。我参加的各类比赛也一样。旁观者只看到我取得了一连串的成功，但他们没有意识到在这之前我已经参加了几十次抽奖活动（不过，参加这些比赛是我的爱好，对我来说是一种享受，而不是艰难的考验）。

早在1993年，《辛普森一家》的某一集就让9岁的我认识到了概率的巨大作用（实际上还有无穷大的巨大作用）。观看这部美国卡通片是一种特殊的享受，因为它只在天空电视台播出，我只能在去表哥家做客（从我家到表哥家只有步行5分钟的距离）的时候看到。在他家的时候，除了这部卡通片，我可能还会看一会儿英超足球联赛，吃姑妈做的美味的南印度小吃。在那一集《辛普森一家》中，斯普林菲尔德发电厂老板伯恩斯先生在一间屋子里关了1000只猴子，它们正在手忙脚乱地摆弄着1000台打字机。伯恩斯先生希望他们能写出“人类已知的最伟大的小说”。然后，他拿起这些猴子辛辛苦苦打出的稿子读了起来：“这是最美好的时代，这是最糟高的时代？”[1]在意识到自己的邪恶计划行不通后，他把稿子扔向那只“蠢猴子”。

我了解伯恩斯的计划背后的理念，并在本地的东汉姆图书馆做了一些研究。东汉姆图书馆是爱德华七世时代用红砖砌成的一座漂亮的知识宝库，我年轻时在那里度过了许多时光。在前互联网时代，我只能咨询图书管理员，然后翻阅大量图书，最后才发现了这个笑话背后的想法：无限猴子定理。关于这个比喻的最初记载之一来自1913年的法国数学家埃米尔·博雷尔。该定理称，如果猴子在打字机上随意敲击键盘无数次，在其中某个阶段，它会打出莎士比亚全集或者任何特定文本，甚至是你现在正在读的这本书！（我确实建议我的编辑去伦敦动物园找出最聪明的猴子，让它们来写这本书，但他拒绝了我的提议，说猴子需要无限长的时间，因此可能会导致这本书无法如期出版！）

无限猴子这个比喻代表的是一个抽象装置，它可以产生无穷无尽的随机字符序列。遗憾的是，猴子打出一部完整的作品（例如艾萨克·牛顿在1687年出版的开创性著作《数学原理》）的概率非常小，即使是在比宇宙寿命——138亿年——还要长成千上万倍的时间里，发生的可能性也非常低（尽管理论上讲不是0）。但这条定理传递的关键信息是：在时间足够长（甚至比宇宙的年龄还要长很多倍）、重复次数足够多时，所有结果都有可能出现，甚至让猴子破解数学上已知的最复杂密码也不是绝对没有可能。

这个定理对我们有什么意义呢？我认为它证明了一个观点：如果某件事不太可能发生（或者用数学术语来说，它发生的概率接近0），那么我们可以不断重复尝试，以增加它发生的可能性，尽管这种可能性仍然很小。重要的是，这意味着如果你坚持尝试某件事足够长的时间，你达成所愿的可能性就会越来越大。这就是为什么我们说好运来自坚持。你越努力，你就越幸运。

让我们回顾一下几年前发生的一些事情。2016年确实是非凡的一年，至少从数学的角度来看是这样。我们见证了英国脱欧（*率赔**是5/1）带来的政治地震，唐纳德·特朗普令人震惊地当选美国总统（在某个阶段*率赔**一度达到150/1），以及莱斯特城在英超联赛中获得的令人难以置信的冠军（赛季开始时的*率赔**是5000/1）。这一切是那么不可思议，如果你有远见地采用累计投注的方式，分别用1英镑博弈这3起事件的理论最佳结果，现在你就可以躺在金色的加勒比海滩上，在清新的海风中吸着古巴雪茄，喝着“椰林飘香”（菠萝汁朗姆酒），怀里还揣着450万英镑（此外还有一些零头，足够你过上一段花天酒地的奢华生活）。

实际上，准确的数字应该是4503906英镑。为了计算准确值，我们把*率赔**转换成概率。如果你看到一支不太被看好的足球队赢得比赛的*率赔**是5/1，这就表明*家庄**认为你押中的概率是1/6。*率赔**为150/1、5000/1表示概率分别是1/151和1/5001。由于这些都是理论上相互不影响的事件（除非唐纳德·特朗普在秘密资助莱斯特城），所以你可以将所有的概率相乘——（1/6）×（1/151）×（1/5001），得到的组合概率（也就是所谓的累计投注押中的概率）为1/4503906。

尽管所有这些事件似乎都不可能发生，但数学可以帮助我们理解这些事件是否真的出乎我们的意料。而除此以外，不大可能发生的事情发生的概率对于我们自己的生活又有什么启示意义呢？

我们可以看一个最平常的例子，这是我们很多人在学校课堂上都会遇到的——抛硬币。抛硬币可能得到两个结果：正面或者反面，得到两个结果的机会各有一半。当然，一些学生会告诉我，硬币有时候可能既不正面朝上也不反面朝上，而是立着。但数学总是离不开假设，我们假设这是一枚公平均匀的硬币，正面和反面朝上的概率是相等的。如果我抛一次，可能会得到正面；抛第二次，可能得到反面。抛第三次，或许会再次得到正面。

每次抛硬币，得到正面的概率都保持不变，不受前一次抛硬币的影响。但是，随着抛硬币的次数越来越多，我就越有可能逼近正反面各50%这个理论概率。

这也是大数定律的一个证明。很简单，你做某事的次数越多，结果就越不可避免，或者说真实的结果与理论期望越接近。在我担任雷曼兄弟银行金融市场交易员的那段日子里，我清楚地意识到了这一点。当时，整个股市热情洋溢，预测者认为收益将一直持续下去（“过去的收益不能预测未来的表现”的警告似乎被当成了耳边风）。

历史可以给予我们一些关于大数定律的启示。1940年，被关押在丹麦纳粹战俘营的英国数学家约翰·克里奇（John Kerrich）对这一理论进行了检验。监禁期间，他坐在单间牢房里，心平气和地扔了10000次硬币（这是我的那些注意力持续时间越来越短的年轻学生们很难理解的）。在抛了10000次硬币（这需要花很长时间）之后，他累计得到了5067次正面，占比50.67%。随着抛硬币的次数增加，平均值会向理论上的50%收敛。他在《概率论实验导论》这本篇幅不长的著作中描述了这次实验，以证明这条概率基本定律通过了实验验证。从数学的角度来看，经验主义主张使用经验或观察证据，而不是理论证据。克里奇成功地证明实际抛硬币的过程中统计数据中正面朝上的比例逐渐逼近50%这个理论值。在计算能力和数字化实验能力大幅提升之前，他的实验一直被认为是一次经典的实证数学研究（同时也是令人痛苦的重复性活动——有一次，我准备做100次抛硬币实验并记录结果，但做到最后我头脑一片混乱，手就像不是自己的！）。

这个实验结果对我们来说可能是显而易见的，但大数定律的确意义重大。它告诉我们，只要有足够的时间，某些事情一定会发生，不管它发生一次的概率是多少。奢华炫目的*场赌**可能会在某一次轮盘赌中赔钱，赌徒也有可能在老*机虎**上赢一大笔钱。但随着时间的推移，赢钱的肯定是*场赌**，因为概率站在他们一边。轮盘转的次数越多，投进老*机虎**里的硬币越多，结果就越能真实地体现概率。这就是大数定律的力量。具有讽刺意味的是，在*场赌**里玩的人越多，*场赌**赢的可能性就越大。

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你舒舒服服地坐在火车上，即将开始一次长途旅行。这时，你突然发现你的前女友/前男友竟然坐在同一节车厢里。你是否有过这样的经历？

有时候奇怪的巧合会超出你的想象。2018年，在加雷斯·索斯盖特率领下出征世界杯的英格兰足球队一共有23名球员，其中有两名生日在同一天。2018年5月28日，后卫凯尔·沃克和约翰·斯通斯分别年满28岁和24岁。这似乎是难得一见的巧合，但数学上的生日悖论告诉我们，在包含23名球员的球队中，出现有两人生日在同一天的情况比不出现这种情况的可能性更高。

23人球队中有两个人同一天生日的概率是50.9%。要计算出有两个人同一天生日的概率，我们可以从反面入手：计算出每个人生日都不在同一天的概率。因此，我们先计算23个人生日各不相同的概率。

对于第1名队员来说，他的生日100%是独一无二的，因为所有日期都没有被占用。对于第2名球员来说，只有生日是某1天时才会与他人生日相同，但其他364天都没有被人占用。所以第二名球员生日独占一天的概率是364/365，第三名球员的概率是363/365。同理，我们可以一直推算出第23名球员的概率是343/365。

把所有这些概率相乘，就可以计算出所有23名球员生日各不相同的概率，即365/365×364/365×363/365×…×345/365×344/365×343/365=0.491。因此，出现生日在同一天这种现象的概率是1-0.491=0.509，即50.9%。（注意，在解决这个问题时，我们没有考虑闰年的情况。）

我本人就曾经历过一件看似不可思议的事情。2014年，我在剑桥大学休斯学堂接受教师培训。在圣诞期间，我们有一个短假。我的兄弟姐妹们经常在短假期间一起出去探险，通常是乘坐瑞安航空公司的短途航班去欧洲某地。但这一次，我们去了美国西海岸。我们住在世界赌城——迷人的拉斯维加斯，然后去科罗拉多大峡谷开始了为期一天的探奇之旅。至今我还记得小时候看到电视上重播的魔术师大卫·科波菲尔“悬空”跨过大峡谷的情景。所以，乘坐直升机穿越峡谷，在一定程度上实现了我儿时的梦想。

这里离我生活的英国有几千英里。然而就在这时，我感到有人拍了一下我的肩膀，然后耳边响起一个带着英国口音的声音：“是你吗，博比？”我转过身来，令我（和我的家人）大为惊讶的是，身后坐着的竟然是同在剑桥大学当老师的一名同事。世界如此之大，她竟然也出现在美国，出现在大峡谷，出现在直升机上与我们相邻的座位上！这是多么难得啊！有人可能会说，这就是一个奇迹。

但数学可以再次帮助我们理解为什么会发生这种情况。让我们回到剑桥大学城，重温一下20世纪60年代嬉皮士的生活吧。1968年，剑桥大学教授约翰·利特尔伍德提出，根据大数定律，只要样本足够大，任何离谱的事情就都会发生。利特尔伍德定律认为，平均而言，我们每个月都可以经历一次发生概率仅为百万分之一的事件。他将“奇迹”定义为发生概率为百万分之一的事件。

利特尔伍德的理论似乎很容易理解。在一天中，我们头脑清醒的时间有8个小时。在这段时间里，我们每秒都可以看到、听到一个事件。通过基本的数*运学**算（8小时×60分钟×60秒）就可以算出，一天下来就是28800个可能的事件。也就是说，在一天的时间里，我们大约可以见证近3万个不同的事件。这些事件大多平淡无奇（比如看到红绿灯变绿或者在早上听到杜鹃鸟的鸣叫声），但只需35天我们就会见证超过100万个可能事件（准确地说是34.72天，这里涉及的数*运学**算同样非常简单，只需用100万除以28800）。

因此，平均每个月，我们每个人身边都会发生一起概率为百万分之一的事件。在全球人口超过76亿的情况下，每天全球各地的人们肯定都会遇到一些几乎不可能发生的事情。这就是不可能事件的必然性。我们只注意到了它们的发生概率极低，但似乎忘记了这个简单的事实。

赌徒们可能会记住他们在幸运时取得的胜利，而忘记他们在不走运时遭受的损失，也是出于同样的原因。作为一名职业交易员（同时也是一名体育迷和长期经历痛苦的西汉姆联球迷），我也为自己犯过这样的错误而感到惭愧。同样的道理也适用于通灵者。他们做出大量的预测，就是希望你记住那些被他们成功命中的预言，而不是那些没有命中的预言。

所以，如果你觉得这一天、这一周，甚至这一年过得不顺心，就把它归咎于不可能事件的必然性吧！不过，小心不要落入赌徒谬误的陷阱。你在*场赌**看到轮盘连续4次都停在红色区，是不是想过它早就应该停到黑色区了？如果是这样，就说明你受到了错误数学观念的蒙蔽，错以为如果某一事件在某一特定时期内发生的频率高于正常值，它在未来发生的频率就会降低。假设结果确实是随机的（*场赌**没有通过某种手段欺骗你），并且轮盘赌的结果是由随机过程的独立试验产生的，那么连续4次红色并不意味着下一次即将出现黑色。就独立事件的概率而言，未发生事件不受之前结果的影响。

赌徒谬误最早的书面描述之一是由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯于1796年完成的。拉普拉斯不仅是天文学领域的专家（他是最早提出黑洞假说的科学家之一），还经常被称为法国的艾萨克·牛顿。在《关于概率的哲学随笔》一书中，他描述了男人是如何计算自己的妻子生儿子的概率的：

我看到一些人热切地希望生一个儿子，但他们只能焦急地等待着，一直等到自己即将成为父亲的那个月，才知道自己有多大可能会生儿子。他们认为每个月出生的男孩与女孩的比例应该相同，因此，如果前面的产妇生的是男孩，他们就会认为后面的产妇生女孩的可能性更高。

拉普拉斯告诉我们，如果其他人生了儿子，这些准爸爸就会非常担心，因为这意味着他们更有可能生女儿，只有这样才能保证生男孩的概率保持不变。这就是赌徒谬误。每个孩子的出生都是相互独立的，如果生男孩的概率是50%，那么不管那个月在当地医院或者其他任何地方出生的男孩有多少，这个概率都不会变化。

所以说，大数定律可以帮助我们拨开笼罩在随机事件上的团团迷雾。大数定律指出，随着试验或观察的次数不断增加，实际概率就会逐渐接近理论或预期概率。如果你只关注单个事件的发生概率，就会觉得很多事情都不太可能发生，因为它们的概率接近0，发生的可能性很小。但是你需要知道这个实验会运行多少轮，因为只要时间足够，轮盘旋转的次数足够多，即使是很难发生的事件，最终发生的可能性也会变得越来越大。

因此，对于那些看似很可能不会发生的事情——比如在比赛中获奖，我通常不会放弃，而是尝试着用更乐观的眼光看待生活。有些人可能会说这是盲目的乐观主义，但我更喜欢鲁德亚德·吉卜林在他的诗作《如果》中鼓励我们坚持不懈的那两行诗句：

全身上下已经一无所有 唯有意志仍在高喊：“坚持住！”

我的卧室里有这首诗的招贴画，它贴在墙上已经有二十年了。它忠实地反映了我的信条：更好的机遇说不定转瞬即至（正如我的足球主队西汉姆联的队歌《我永远在吹泡泡》唱道：“运气总是东躲*藏西**，我已经找遍每个角落”）。我相信，只要我们一直寻找下去，就一定会有收获。生活可能充满挑战，也可能给我们设置了重重障碍。但我相信，你尝试的次数越多，成功的可能性就越大。根据大数定律，“如果一开始你没有成功，那就再试一次”这句话看似疯狂，实际上却富有理性。

趣味问答

“春节快乐！”

在为迎接中国春节而举办的一次活动中，你赢得了与很多动物一起出席晚会的机会。继2016年的猴年、2017年的鸡年之后，2018年，我们欢庆狗年的到来。

晚会在动物园举行，受邀嘉宾有狗、鸡和猴子。

其中，狗的数量是鸡的两倍，鸡的数量是猴子的两倍。

假设所有的狗都有4只脚，所有的鸡和猴子都有2只脚。如果出席晚会的所有动物一共有88只脚，那么狗、鸡和猴子分别有多少？注意，你的脚不包括在内！

[1] 这段文字原文来自狄更斯的《双城记》，原文是“It was the best of times, it was the worst of times”（这是最美好的时代，这是最糟糕的时代），但猴子拼错了一个单词，打成了“It was the best of times, it was the blurst of times”。——译者注