金波，一级注册结构工程师，教授级高级工程师。已出版《高层钢结构设计计算算例》、《钢结构设计及计算实例-基于<钢结构设计标准>GB 50017-2017》。本文摘自作者即将出版的《建筑结构设计疑难问题剖析》一书。
有结构工程师提问：为什么柱下独立承台桩基不需要输入桩基的刚度，但是柱及墙下桩筏基础需要输入桩刚度？桩基刚度如何取值？
对于柱下独立承台桩基础，PKPM、YJK软件按照《建筑桩基技术规范》JGJ 94-2008的公式计算。
《建筑桩基技术规范》JGJ 94-2008第5.1.1条规定，对于一般建筑物和受水平力(包括力矩与水平剪力)较小的高层建筑群桩基础，应按下列公式计算柱、墙、核心筒群桩中基桩或复合基桩的桩顶作用效应：
（1）轴心竖向力作用下：
（2）偏心竖向力作用下：
《建筑桩基技术规范》JGJ 94-2008第5.2.1条规定，桩基竖向承载力计算应符合下列要求：
（1）轴心竖向力作用下：
（2）偏心竖向力作用下，除满足公式(3)外，尚应满足下列要求：
《建筑桩基技术规范》JGJ 94-2008第5.1.1的条文说明指出，桩顶竖向力和水平力的计算，应是在上部结构分析将荷载凝聚于柱、墙底部的基础上进行。这样，对于柱下独立桩基， 按承台为刚性板和反力呈线性分布的假定 ，得到计算各基桩或复合基桩的桩顶竖向力公式(1)、（2）。因假定承台为刚性板、承台下各桩反力呈线性分布，因此， 不需要输入桩基刚度就可以得到桩基反力 。
但是对于 多柱承台桩基础 、 墙下承台桩基础 等复杂的桩基础，如果还采用桩顶竖向力公式(1)、(2)，考虑多柱和剪力墙的多边形外包区域作为单柱，得到的桩基反力可能不太准确。
以YJK软件为例[1]，当采用 非有限元方法 （规范公式(1)、(2)方法）计算时，当承台上为多柱和剪力墙或者短肢剪力墙等构件，用户用围桩承台布置好桩承台，在桩承台计算程序中，程序首先统计承台上所有竖向构件传来的荷载，在处理桩承台上所有竖向构件的荷载时， 程序将剪力墙的均布荷载简化成节点荷载作用在程序虚拟的截面为100x100的柱上 。很显然，软件这样的简化处理 没有考虑各竖向构件之间刚度的差异性 ，得到的桩基反力很可能是不真实的。
因此对于多柱承台桩基础、剪力墙下承台桩基础等复杂的桩基础，结构软件PKPM、YJK均提供了有限元方法的分析模式。
以YJK软件为例，对于由筏板、地基梁组成的整体性基础，统一按“考虑上部刚度的弹性地基梁板法”分析，计算流程如下（图1）：
（1）读入各类荷载，包括底层墙、柱荷载，附加荷载，覆土重，基础自重，水浮力，人防荷载，吊车荷载；
（2）网格自动划分；
（3）形成地基梁、板的单元刚度矩阵，并进行组装；
（4）读入上部结构凝聚到基础的刚度；
（5）形成桩、土刚度矩阵；
（6）形成总刚度矩阵，代入求解器，计算结点位移、弹簧反力、筏板内力，并将弹簧反力换算成基底压力、桩反力，为配筋设计、沉降计算及地基土、桩承载力验算做准备。
图1 由筏板、地基梁+桩、土组成的整体性基础
“考虑上部刚度的弹性地基梁板法”计算公式为：
很显然，如果采用“考虑上部刚度的弹性地基梁板法”的有限元方法进行桩基础计算，则需要 输入桩的刚度、得到桩的刚度矩阵 ，才能建立起公式（5）的矩阵方程。根据矩阵方程计算出结点位移、弹簧反力、筏板内力，并将弹簧反力换算成基底压力、桩反力，从而进行配筋设计、沉降计算、验算地基土、桩承载力。
“考虑上部刚度的弹性地基梁板法”的思想，规范里面一些条文已经有所体现，具体内容见表1。规范中“考虑上部刚度的弹性地基梁板法”思想的内容 表1
由表1可以看出，当不满足规范这些假定（ 独立基础台阶宽高比≤2.5、条形基础梁的高度不小于1/6柱距、梁板式筏基梁的高跨比或平板式筏基板的厚跨比不小于1/6 ）时，则不能按照规范的公式进行基础的内力计算，只能按考虑上部刚度的弹性地基理论计算基础的内力。
(a)线性分布(承台刚度大) (b)非线性分布(承台刚度小)
图2 桩基反力分布
由公式（5）可以看出，桩基刚度不同，会导致节点位移不同，从而导致桩基反力、沉降、承台内力配筋的不同。以笔者设计的武汉绿地汉口一号53层、高250m的超高层双塔楼为例，土层参数见表2，采用钻孔灌注桩，工程桩桩身直径 d=1000mm,以（4-2）层中风化泥岩为持力层，桩端进入持力层 9.0m，采用桩端、桩侧后注浆，工程桩单桩竖向抗压承载力特征值Ra=11000kN，工程桩桩身混凝土强度等级为 C45。
各土层物理力学性质指标 表2
两栋超高层一共试桩6根，试桩单桩竖向抗压承载力特征值Ra=11400kN，试桩结果见表3。
单桩竖向抗压静载荷试验结果 表3
由表3可以看出，试桩4承载力特征值对应的沉降量最大（10.81mm），试桩1承载力特征值对应的沉降量最小（5.64mm），沉降量相差近一倍，那么桩基刚度自然也会相差一倍。
目前求解工程桩基刚度的方法主要有以下三种（图3）：
图3 YJK软件桩基刚度输入菜单
（1）根据试桩静载荷试验的Q-S曲线计算桩基刚度
根据试桩静载荷试验的Q-S曲线按下式计算桩基刚度
与房屋结构重量加载到桩基础上相比，试桩的静载荷试验加载持时较短，一般为3~7天，试桩所完成的沉降只占最终沉降的一定比例。因此计算工程桩桩基刚度时，需要将试桩的沉降增大、也就是将试桩的刚度乘以折减系数[2]。
试桩1刚度
取整为1500000kN/m。
试桩4刚度
取整为750000kN/m。
取工程桩刚度分别为750000kN/m 、1500000kN/m，计算出核心筒下桩基反力和桩基竖向位移分别见图4、图5。
（a）桩基刚度750000kN/m
（b）桩基刚度1500000kN/m
图4 桩基反力
由图4可以看出，当取工程桩刚度为750000kN/m时，核心筒下桩基反力满足Nkmax≤1.2Ra；但取工程桩刚度为1500000kN/m，核心筒下部分桩基反力Nkmax＞1.2Ra，不满足规范桩基承载力的要求。
（a）桩基刚度750000kN/m
（b）桩基刚度1500000kN/m
图5 桩基竖向位移（非迭代计算）
由图5可以看出，当取工程桩刚度为750000kN/m时，核心筒下桩基竖向位移为14~15mm ；但取工程桩刚度为1500000kN/m，核心筒下桩基竖向位移减小为8~9mm。桩基竖向位移减小，导致桩基反力增大。
（2）根据《建筑桩基技术规范》JGJ 94-2008附录C计算桩基刚度
《建筑桩基技术规范》JGJ 94-2008附录C中表C.0.3-2中有桩顶产生单位竖向位移时桩顶集中力的公式（图6）：
图6 桩顶产生单位竖向位移时桩顶集中力示意图
地基土水平抗力系数的比例系数，宜通过单桩水平静载试验确定，当无静载试验资料时，可按表4取值。
地基土水平抗力系数的比例系数 表4
注：1.当桩顶水平位移大于表列数值或灌注桩配筋率较高（≥0.65%）时，值应适当降低；当预制桩的水平向位移小于10mm 时，值可适当提高；
2.当水平荷载为长期或经常出现的荷载时，应将表列数值乘以0.4降低采用；
3.当地基为可液化土层时，应将表列数值乘以《建筑桩基技术规范》JGJ 94-2008表5.3.12 中相应的系数。
当基桩侧面为几种土层组成时，应求得主要影响深度米范围内的值作为计算值（图7）。
当深度内存在两层不同土时：
当深度内存在三层不同土时：
图7 桩顶产生单位竖向位移时桩顶集中力示意图
桩顶产生单位竖向位移时桩顶集中力其实就是桩基的刚度。下面根据《建筑桩基技术规范》JGJ 94-2008附录C计算此工程桩的刚度。
与YJK软件根据《建筑桩基技术规范》JGJ 94-2008附录C计算出的桩基刚度869426kN/m完全一致。
顺便说一下，《桩基规范》5.7.4、5.7.5和附录C围绕m法进行水平承载力与位移的计算，这个方法全称是“ 采用地基系数进行分析的幂级数法 ”。铁三院胡人礼教授较早系统求解和整理了这个方法，思路是假定土体为弹性变形介质，且有沿深度成正比增长的地基系数，再采用幂级数解法求解桩的弹性变形微分方程，进而求解水平承载力与位移。关于m法详尽的推导和计算过程在胡人礼教授的著作《桥梁桩基础分析和设计》中有阐述，完全读懂这本书需要非常扎实的数学基本功和强大的计算能力，进行m法的推导也有同样的要求[3]。
（3）根据地质资料按反算桩基刚度
本算例中，根据地质资料按反算出的桩基刚度为953644kN/m。
以上三种桩基刚度计算方法的计算结果见表5：
不同桩基刚度计算方法的计算结果 表5
注：1.沉降计算采用《建筑地基基础设计规范》GB 50007-2011附录R的实体深基础方法；
2.YJK软件沉降计算参数中有“迭代计算”的选项。勾选此项后，软件根据《建筑地基基础设计规范》GB 50007-2011第5.3.12条（在同一整体大面积基础上建有多栋高层和低层建筑，宜考虑上部结构、基础与地基的共同作用进行变形计算），按迭代方法计算沉降。迭代方法由两部分组成，一部分是采用有限元法（考虑上部刚度）计算竖向位移，第二部分是采用分层总和法计算沉降，程序自动调整地基刚度使竖向位移与沉降趋于一致，实现“上部结构、基础与地基共同作用”。“迭代计算”的步骤如下：
（1）沉降试算->确定初始桩刚度和基床反力系数；
（2）第一次有限元计算得到第一次位移，根据桩土刚度和位移得到桩反力和基底压力计算第一次沉降；根据位移和沉降的差异，更新桩土刚度；
（3）第二次有限元计算得到新位移，再计算一次桩反力和基底压力分层总和法得到新沉降，检查位移和沉降差值，更新桩土刚度；
（4）多次迭代直到位移和沉降之差小于允许值。
需要注意的是，YJK软件“迭代计算”仅用于沉降计算，不用于桩反力的计算。
由表5可以看出，工程桩刚度增大，核心筒下桩基竖向位移减小、核心筒下桩基反力增大。从经济性考虑，本算例最终选用桩基刚度为750000 kN/m进行桩基础设计，非迭代计算桩基竖向位移有15mm。
与桩基沉降计算需要确定沉降计算经验系数一样，桩基刚度的输入也需要有经验的积累，即多积累设计工程项目的沉降观测值，工程桩的桩基刚度可用Ra除以沉降观测实测值。
[1]北京盈建科软件有限责任公司.基础设计软件YJK-F用户手册及技术条件. 2012.
[2]中国建筑科学研究院PKPM CAD工程部.JCCAD（2010版）用户手册及技术条件. 2011.
[3]甘霁虹.PKPM的桩刚度是怎么确定的？PKPM构力科技微信公众号. 2022-05-17.