1.这个“东西"是欧拉“省略了"或是“丢失了”？
欧拉积公式将埃拉托塞尼筛法炉火纯青地应用于Zeta函数变形中，它把只能在局部有限自然数范围内使用的筛法原理，拓展到在一个无限延伸的自然数体系中运用，表达的数域更为宽广，意义更为深远，其方法之巧妙，思维之深邃，令世人惊叹不已。因此数学家们常把欧拉积公式称誉为开启黎曼猜想的“金钥匙"。1859年，黎曼在递交给柏林科学院的论文“论小于给定值的素数个数"的开篇中就表述:“我把这项研究的出发点放在欧拉的观察结果上。"黎曼所说的“观察结果"，就是指欧拉积公式。由此可见，欧拉积公式在黎曼猜想中有着不容忽视的地位和作用。但是人们在惊叹赞赏之余，是否有人意识到，欧拉积公式在推导过程中省略了(或说“丢失了")变形函数式一个长长的、无穷无尽的“尾巴“，虽然舍去的这个"尾巴"，因为都是越来越逼近零的大数据的倒数，並不影响到欧拉积公式的建立，但是人们却丢掉了一个至关重要的、影响黎曼猜想结论的“东西"，这个“东西"到底是用“省略了"或是用“丢失了"的动词来修饰才恰当?笔者颇为纠结。因为这个问题的选择並不是后人所能定夺，而是取决于当年欧拉是否知道他的函数式在变形中还存在有一个非常重要的“长长尾巴的东西”?这个“东西"是否因为无限趋于零而被“省略去了"?我们也不得而知。考虑再三，决定“省略了"和“丢失了"二者并用，让读者取一。但是不管欧拉“知道"或是“不知道“这个“东西"的存在，后人都有责任传承前辈科学家遗畄下来的文化遗产，把这个被舍去了的“东西”给找回来，因为它有着无以伦比的重要性。
2.这个“东西"为什么如此重要?
这个“东西"为什么如此重要?因为这个“东西”正是欧几里得埋藏了二千三百多年无穷的“素数珍宝"，这个“东西“正是数学家们魂牵梦绕、流连忘返的数学圣地。这个“东西”的存在有力地证明了:黎曼猜想“齐整有序的素数排列"，并不在黎曼zeta函数中，也不在欧拉积公式里，而是在欧拉积公式推导过程中几乎被人们遗忘而丢弃的无穷无尽的“尾巴"中！让我们的思维再一次融汇到欧拉积公式推导过程中，真正领略这个“長長尾巴东西"的重要性。
欧拉积公式的推导是通过zeta函数的变形，把从小到大的所有素数的无穷倍数从自然数中通通减去，最终获取无穷素数积与无穷自然数的倒数和相等的欧拉积公式。这里我们用Z(A)表示zeta函数，用2^表示2的A次方，用mn表示自然数中的第n个素数，用mn+1表示第n个素数后的第一个素数，下面是某个大于“1"的A的zeta函数.
Z(A)=1+1/2^+1/3^+1/4^+1/5^+l/6^+1/7^+1/8^+1/9^+1/11^………〈1〉
在〈1〉的两端同乘1/2^得〈2〉:
1/2^z(A)=1/2^+1/4^+1/6^+1/8^+1/10^+1/12^+1/14^+1/16^……:〈2〉
〈1〉一〈2〉得〈3〉如下;
(1+1/2^)Z(A)=1+1/3^+1/5^+1/7^+1/9^+1/11^+1/13^+1/15^+1/17^……〈3)
注意:在〈3〉中，欧拉把自然数中“2"的所有倍数一个不畄的减去了，自然数中畄下来的是大于“2“的素数及其产生的全大于“2"的素因子合数。函数式左端出现第一个素数“2"。以下继续操作。
在〈3〉的两端同乘以1/3^得〈4〉:
(1-1/2^)1/3^Z(A)=1/3^+1/9^++1/15^+1/21+1/27^+1/33^+1/39^+1/51^…〈4〉
〈3〉一〈4〉得〈5〉如下:
(1-1/2^)(1-1/3^)Z(A)=1+1/5^+1/7^+
1/11^+1/13^+1/17^+1/19^+1/23*+1/25^+1/31^+1/35^……………:………〈5》
注意:在〈5〉式中，欧拉把所有“3“的倍数一个不留的减去了，自然数中只畄下大于“3"的素数及其产生的“全大于"3'的素因子合数"。函数式左端出现两个素数的乘积。以下继续操作:
在〈5〉的两端同乘以1/5^得〈6):
(1-1/2^)(1-1/3^)1/5^Z(A)
=1/5^+1/25^+1/35^+1/55^…〈6〉
〈5〉-〈6〉得〈7〉如下:
(1-1/2^)(1-1/3^)(1-1/5^)Z(A)=
1+1/7^+1/11^+1/13^+1/17^+1/19^
+1/23^+1/29^+1/31^……+1/49^…〈7〉
注意:在(7)式中，欧拉把所有"5"的倍数一个不留的减去了，自然数中只留下大于"5"的素数及其产生的全大于“5"的素因子合数，函数式的左端出现三个素数的乘积，以下继续操作:
……按欧拉方法持续不断地做下去，假如我们已减去第n个素数mn的所有倍数，且mn是一个很大的素数(比如说是几千万位)，但无论mn有多大，我们总减不完自然数中无穷无尽的大素数的倍数，总不可能获得无穷素数的积，我们总能得到下列〈a〉式:
(1-1/2^)(1-1/3^)…(1-1/m^n)z(A)=1+
1/m^n+1+1/m^n+2…:1/m^n+i…〈a〉
〈a〉式实际上可称为欧拉变形函数的极限通式，从极限通式〈a〉可以看出，无论我们减到第n个素数是多么大的mn，函数式的左端一定出现且只能出现n个素数的连乘积，函数式的右端“1“的后面总要拖着一个“长长尾巴的东西”，我们表示为"1/m^n+i(i=1.2.3…∞)"，虽然它无限趋于零，但却是永远割不断的“尾巴”。这个“尾巴"中为什么没有标出合数?因为当mn的数值超过极限值后，随着mn值增大，“全大于mn的素因子合数"在自然数中的分布密度说要多小就有多小，完全进入无限趋于零的状态，因此我们就把合数省略去了。1/m^n+1可以说是一个素数的分布密度说要多大就有多大的往无穷方向延伸的大于mn的顺序素数表。数学家们是否因为这个“长长尾巴"无限趋于零而把它省略去了?但是省略去的“东西"却是几千年来数学家们魂牵梦绕的素数“王国"，一个无穷无尽的素数世界。
3.丢掉了一个无穷的素数世界。
为什么说欧拉积公式丢掉了‘一个无穷的素数世界?因为欧拉积公式在zeta函数变形中要减掉无穷无尽的素数倍数是减不完的，因此无穷素数的积也不可能实现。欧拉函数变形式获得的永远是有限个素数的连乘积，函数式右端“1"的后面永远拖着一个“长长尾巴"，这个割不断的“尾巴"表示为“1+1/m^n+i(i=1.2.3…∞)"。此时，在自然数中已经减去了前n个素数的所有倍数后，余留下来的自然数只存在两种数，一种数是大于mn的全体素数，另一种数则是全大于mn的素因子合数。为什么余留自然数中的合数一定是“全大于mn的素因子合数“呢?因为一个合数的组成结构中，只要出现一个小于等于mn的素因子，这个合数一定是小于等于mn的素数倍数被欧拉函数在前面变形式中给减去了。因此在mn+i(i=1.2…∞)中任意两个紧邻素数间隙间排列的合数一定是“全大于mn的素因子合数"。当mn超过一个极限值后，全大于mn素因子合数在自然数中的分布密度随着mn的提升会出现说要多小就有多小，无限的向零靠近，大于mn的素数可以在指定的说要多大就有多大的数域内不会产生合数。指定数域外也会出现“全大于mn素因子合数无限趋于零的状态。设想mn是一个二千万位的大素数，mn+1是比mn大的第一个素数，这个大素数在余留下来的自然数中要排列到“mn+1平方数”位置(相当于4千万位的大数据位置)才产生第一个最小的“全大于mn的素因子合数"。第二个“全大于mn的素因子合数"则要排列到“mn+1×mn+2:位置才产生，第三个合数要排列到“mn+2平方数"位置才产生…这样稀疏的合数分布密度就是在普通计算器中难以统计出来。这就证明了欧拉变形函数极限通式中余留下来的自然数的合数分布密度完全处于一种无限趋于零的状态。欧拉变形函数中余留的自然数只存在两种数，“全大于mn的素因子合数"趋于零，大于mn的素数就逼近100%了。因此欧拉积公式在推导过程中“省略了"(或说“丢失了")的“东西"，就是一个大于mn的全顺序素数表，是一个无穷无尽的素数世界。这不正是黎曼猜想梦寐以求的终极目标吗?
4.把失去的“东西"找回来!
欧拉的zeta函数变形式把有限数域内获取素数的筛法，改进为在一个完整的自然数体系内排除无穷合数获取无穷素数的巅峰力作。这是筛法原理的重大改革和创新。遗憾的是:欧拉却在函数变形中把这个"无穷无尽的素数世界"给丢失了(或说“省略了")，欧拉积公式实际又从一个完整的自然数体系中，回归到局部有限数域中来讨论素数了，尽管黎曼猜想对欧拉积公式进行了解析延拓，但也弥补不了用有限数域中获得的素数去解决自然数中的素数无穷性问题的弊端。如何把丢失了的素数世界找回来，才是实现黎曼猜想终极目标的有效渠道。事实上人们用不着把自然数中无穷素数的倍数减完，只要减到人们理想的一个极限值后，就会发现欧拉变形函数“长长尾巴"1/m^n+i(i=1.2…∞)中，可以随着mn值无限提升，获取说要多大就有多大的数域内不再产生一个合数，而是一个100%的顺序素数表。既使在指定数域外，也会出现素性纯洁度随着mn值提升说要多高就有多高的无限逼近100%的“全素数表"无限延伸。与《全素数表》理论殊途同归，不谋而合，产生同一结论。以下我们举出一个欧拉变形函数通式〈a〉的一个实例(以下简称“变形式”)來说明欧拉变形通式是怎样由混沌走向有序?
假设“变形通式"〈a〉已经减去了n=100亿个素数的所有倍数，在〈a〉式左端出现n=100亿个素数连乘积(也称100亿个素数的最小公倍数)，我们表示为△=[m1m2…mn]，mn=1117869524291，为简捷起见，我们令F=1117869524，则mn=F291，得出欧拉变形通式〈a〉如下:
(1-1/2^)(1-1/3^)…(1-1/m^n)=1+1/F293^
+1/F351^+1/F371^+1/F381^+1/F411^+
1/F417^+1/F477^+1/F491^+1/F503^+……,1/m^n+i…〈a〉
根据欧拉“变形式"的性质和功能，得出以下两个结论:
〈1〉在“变形式尾巴“指定数域“mn+1平方数"范围内，即从F293起一直排列到“mn+1平方数"(是一个25位大数)以下区域内排列有一个连续有序的包含了二百多万亿亿个大于mn=F291的顺序素数表，其间不会间杂一个合数，为什么?
证明:因为“F293平方数"以下任意两个紧邻素数间隙中排列的合数，都是小于(或等于)mn的素数倍数而被欧拉函数式在变形中一个不留的给减去了，余留下來的自然数一定是10O%的顺序素数，这个素数表一直要排列到“F293平方数"才出现一个最小的“全大于mn的素因子合数"。这个顺序素数表的长度是十分惊人的。证毕!
〈2〉"变形式尾巴"中在指定数域外，即大于“F293平方数"以后的顺序素数长度取决于两两相邻的“全大于mn素因子合数"的距离差。差值越大，这个区段的素数分布密度越高。而两个紧邻的“全大干mn的素因子合数"之差决定于这两个紧邻合数相同素因子之积越大，其间顺序素数表越长。另一个因素则是两个紧邻的“全大于mn的素因子合数"不同素因子的积差越大，其间的顺序素数表也越长。而这两个因素实际上都会随着欧拉变形式减去第n个素数mn数值的无限扩大而呈现出上升趋势。因此欧拉"变形式尾巴“无限操作的结果，人们就会获得一个无限逼近100%的“全素数表"往无穷方向延伸。现以大于“F293平方数“以后的“全大于mn素因子合数"依序排列的分布间距计算获得的区段顺序素数长度(以自然数“1"为单位)是怎样变化的?
〈1〉大于mn以后排列的第一个合数与第二个合数间隔的顺序素数长度:
F293xF351-F293xF293
=64836432408994.
〈2〉第二个“合数"与第三个“合数"间隔的顺序素数长度:
F351xF351-F293×F351
=64836432412358.
〈3〉第三个"合数"与第四个"合数"间隔的顺序素数长度:
F351xF371-F351xF351
=223573904870.
〈4〉第四个“合数"与第五个"合数"间隔的顺序素数长度:
F371XF371-F351xF371
=22357390487420.
……按上述方法，持续不断地往下计算，以“全大于mn的素因子合数"从小到大按序排列计算两两相邻"合数"的长度差，我们发现，无论我们计算到多少个相邻的“全大于mn的素因子合数“的长度差，我们都会得出“任意一个区段的顺序素数分布密度都在99.9999999%或99.999999999999区间排徊，(因篇幅所限，我们省略了素数分布密度的计算过程。)虽然有时会出现反弹(降低)，但总的趋势呈现出越来越趋于100%的方向发展。这就有力地证明了当欧拉变形式减完第100亿个素数的所有倍数后，“变形式尾巴“中排列的顺序素数分布密度已经进入无限趋于100%的状态了。以下我们再解决如何把指定数域即小于“F293平方数"以下的素数计算出来?其二是如何找到指定数域外即大于“F293平方数“以后无穷无尽的素数排列模式?把欧几里德埋藏了二千多年无穷的“素数珍宝"挖掘出来!
(1)设欧拉“变形式"获得的100亿个素数的连乘积是:△=[m1m2…mn]，把小于“F293平方数"末尾数字为1.3.7.9的所有自然数Ni按从小到大排列，从大于mn=F291起，凡Ni满足:
(Ni△)=1，则Ni一定是新生素数。
按上面公式可以把小于“F293平方数"以下二百多万亿亿个顺序素数用超级计算机批量挖出(如果是普通计算器则多台并行使用。)
(2)如何找到指定数域外(即大于“F293平方数"以后)无穷无尽的素数排列模式?
通过(1)方法可以把mn<Ni<△区间所有满足(Ni△)=1的自然数排列出来，我们把:这些数设为mn+i，则任意一个mn+i与△K(K=1.2…∞)之和均是一个无穷无尽的素数生成模式，可以99.99999…%的获取大于△的超级素数，它的极限公式表述为:
mn+i+△K(K=1.2…∞)
这里mn+i表示为三种数:〈1〉表示+1或-1〈2〉表示mn<mn+i<(△一mn)区间所有顺序素数。〈3〉表示“全大于mn的素因子合数。这三种数组成了一个规模宏伟壮观、气势磅礴素性逼近100%的素数等差数列纵队，往无穷方向延伸。其铺盖面积，若按普通打字表格排列，至低也要覆盖整个神洲大地。是一个取之不尽用之不竭的素数公式源。它从“1"开始，跨越了大大小小的连续合数区，到“-1"(即“△-1")止，不但一个不漏地包含了全体素数，而且也覆盖了一个完整的自然数体系。前面我们已经证明欧拉变形函数在减去了超过10O亿个素数的倍数后，余留下来的任意一个自然数("长长尾巴"中的数)都属于上述三种数。为什么这三种数与△K(K=1.2…∞)之和一定是一个素性趋于100%的素数等差数列极限公式呢?我们证明如下:
证明:当“变形式"减去了mn=F291的所有倍数后，欧拉函数的左端出现了100亿个素数的连乘积，函数式右端余留下来的自然数是“1+1/m^n+i"，这个“尾巴"中只有三种数，一种是“1"，第二种是大于“mn=F291"的全体顺序素数，第三种是“全大于mn=F291的素因子合数"。前证)这三种数与欧拉函数左端100亿个素数的连乘积△=[m1m2…mn]沒有非“1"公因子，即与△的最大公约数等于“1"，也就表明△K(K=1.2…∞)中的任意一个素因子都除不尽这三种数。因此这三种数要么是大于mn的素数或“土.1"，要么是“全大于mn的素因子合数”。前面我们通过计算証明，当n≥100亿后，“全大于mn的素因子合数"在自然数中的分布密度已进入无限趋于零:的状态，因此这三种数与△k(K=1.2…∞)之和就是一个素性逼近100%的规模宏伟的素数等差数列纵队往无穷方向延伸。证毕。
5.结束语。
以上我们用大量的无可辨驳的事实和理由，证实了无穷无尽的素数生成原理和齐整有序的素数排列模式，並不在黎曼猜想的zeta函数中，也不在欧拉积公式里。而是存在于欧拉积公式推导过程中几乎被人们遗忘而丢弃了的变形函数式的一个“长长尾巴"里。人们要想破解素数领域中的种种"猜想"和世界难题，要想解决几千年积淀下来的历史遗留问题，首要问题就是找到素数分布规律，因此把欧拉变形函数式“丢失了“的素数世界找回来，才能实现黎曼猜想的终极目标和结论，才能获得真实客观的素数分布规律!才能使长期停滞不前的数论科学产生翻天覆地的变革和激动人心的转化。基于上述理由，本论文通过实例计算，无可非议地证明了，当n≥100亿后，欧拉变形式“尾巴"中排列的无穷无尽的顺序素数表已进入无限逼近10O%的状态了，这就理所当然的证实，用《n级自然数表》获得的公式和定理也能把欧拉变形式“长长尾巴"中排列的大于mn的“全素数表"一个不漏的挖掘出来。实现黎曼猜想终极目标和结论，绝不仅仅是一场“美梦“!