我心中的代数大神约瑟夫·罗特曼(Joseph.J.Rotman)，他不是什么知名的大数学家，但是他写的书绝对是上乘的，在数学教育或者说数学知识传授方面，我认为他是一流的。
他写过的两本书评价都非常不错，《高等近世代数》和《抽象代数基础教程》都有中译本，前者的豆瓣评分为9.0。后者更适合初学者。那么今天为什么要介绍这位老教授呢？
就是题目。
在伯克利的教材上看到过，说民间有这种声音：数学证明不能体现数学本质和真理，那种所谓的严谨证明不过是数学家自顾自的逻辑游戏，它们是无意义的，怀尔斯那几百页的证明有几个能看懂的？看不懂谈何理解和普及？不普及怎么去激发后辈的学习热情？
他们似乎认为如果有个非常切实的证据说明某个数学命题，那么就可以认为它是正确的，而不需要寻求什么严格的证明。
你当然知道接下来我要说什么。没错，上面论断是不对的。数学证明是不可替代的！在数学里，举例论证一般只有两个用处：
一，提供某些证据、例子以及研究思路。它们就像灯塔，为你的前进提供光明的辅助。
二，提供反例用以直接否定某些命题。
第二种算作证明，更准确地说是证明其否定命题是正确的。除此之外数学命题必须给予“逻辑推理法则下，有限步内得到结论”的推理链条——证明，否则该命题的正确性一定是待定的。
来看罗特曼的例子：
整数s称为完全平方数：若有整数n，使得n²=s成立。
考虑命题：对于n≥1的整数，S(n)=991n²+1是完全平方数。
这个命题是错误的。使得命题不成立的最小数，其位数很长，具体我就不写了，用科学计数法写个数量级，约为 。粗略估计地球的寿命为100亿年，即 天，它对于 来说是微不足道的，如果有人从地球诞生的第一天开始，在第n天验证S(n)是否成立，此命题成立的证据和“太阳明天早上一定会升起”这个命题的证据一样多。然而S(n)中还是有些命题不成立！
如果你觉得一天验证一个有点少，那我们可以多验证几个，100个怎么样？其实还是少，一百万亿个如何？即 个，那么我得验证约 天，即约 年(3千亿年)。宇宙现在按观测才138亿年左右，假如宇宙一千亿年轮回一次(爆炸-膨胀-收缩-再爆炸)，这都轮回三次了。你得保证宇宙轮回你不死，或者下次转世时你还记得上次你验证到哪了，然后接着验证[偷笑]。
一天验证一个，那个是罗特曼的原话，后面是我的调侃。虽然这个例子很平淡，但是借助地球寿命的类比显然更具现实感。看完这个例子我就觉得他是一位优秀的教师，等看了一阵他的著述，其风格更是让我钦佩不已。唯一只恨我的能力有限，他的740页的大部头《高等近世代数》确实需要大量的精力和耐心，谁要能掌握这本书，从知识含量来说，至少是代数方向硕士级别的。里面有很多优美的定理，我对它们的研习真是源自于定理本身的内容和罗特曼精致的讲解。不褒不贬，平心而论，我对代数这门学科的喜爱都是拜此书所赐。
接着说他的例子。他用这个例子来说明，经验的归纳推理不是数学证明。归纳推理肯定要以可靠的证据为基础，然后做出“合乎逻辑”的猜测，但是“合乎逻辑”并不代表符合真相。哥猜(哥德巴赫猜想)已经被证到了1+2(一个素数和“一个素数或两个素数的乘积”)，黎猜(黎曼猜想)前10万个点都在那条“零点线”上，没发现反例，但即便这样，数学家依旧不承认它们是定理，它们还是猜想！
任意有限量在无穷量的面前都是无限趋近于0，所以无论你验证了多少，都没有用，因为我们不可能验证全部无穷量，所以，只要没有可靠的数学知识和严格的逻辑推理的支持，仅凭举出海量靠谱的例子就说其是正确的命题，这其实是不对的，命题的真理性不能被数学认可。
你也许会拿哥德尔的定理来说明：证明也有局限性啊！然而那是一种误解。哥德尔的不完全性定理只是说在给定的公理体系下，有真命题不能被证明。“给定公理体系”这几个字是重要的，它要求公理体系的公理个数是有限个确定的命题，正是因为有限所以公理体系的能力(内容覆盖范围)也是有限的，存在不可证的真命题是正常的，它说明该命题超出该公理的能力范围，但是只要你添加其它公理，原来不可证的有的就变的可证了。比如CH(连续统假设)，它就不可证，但是你添加新公理——钻石原理，那么康托尔的梦想就实现了，用表达式就是：
(ZFC+钻石)→CH。ZFC是现有的公理系统。称呼上直接读英文字母就行，含义上是“策梅洛-弗兰克尔-选择公理”系统。
所以当代的问题变成了怎么判定一个新添加的公理是否合理，我为什么选择它而不是其它；有没有别的途径(不是添加公理)证明某个公理体系原先不能判定的命题，其真实性是否与公理体系的选择有关等等。
严格的证明，自《几何原本》开始一直都是数学的灵魂，它从未让步于“例举事实”，我的偶像用其无以伦比的威望使得“证明的严谨性”上升到了一个不可忽视的程度。最后，用他的话作为文章的结束：
我们不应当忘记，(复变)函数与其他所有数学构造一样，都是我们的创造物。因此当我们由之开始的定义不再有意义的时候，我们就不应当再问它是什么，而应当问，如何做出合适的假设，使它继续有意义。——C.F.Gauss。