《什么是数学：对思想和方法的基本研究》读后

尺规作图（Compass-and-straightedge Constructions，有时简称CSC）是最古典的数学行为，早在古希腊时期欧几里等人（最先提出的是伊诺皮迪斯）就以它为利器，攻克了颇为可观的数学问题，奠定了人类几何学基础。

最正统的CSC要求尺规都不能有刻度，尺只能是没有刻度的straightedge。所以严格地说，另一个英文说法Ruler-and-compass Construction不够精确，因为ruler可以有刻度。

若没有尺规作图做基础，就算拥有复杂工具或者软件，面对问题你也不见得知道从何入手。举例（选自《初中数学尺规作图专题讲解》）：

电信部门要修建一座电视信号发射塔。要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？

【解】

1.作两条公路夹角的平分线OD或OE；2.作线段AB的垂直平分线FG；则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是发射塔的位置。

使用普通CAD模拟尺规作图，画6个圆定3条线就解决问题。且无需测量任何尺寸。此题的关键在于垂直平分线、角平分线这两个属于初级尺规作图的概念。

这个简单例子说明，尺规作图除了是一种制图手段，更是一种思维逻辑。今天的制图技术已经完全能够脱离实物尺规，但我们的大量几何知识仍然来自基础教育中的尺规作图（包括虚拟的），它作为思考方式与思维练习而继续存在。

尺规作图独具的魅力令不少人沉湎其中，首当其冲的当然就是数学家，相关数学著作多如牛毛。以下仅从R·柯朗、 H·罗宾合著的《什么是数学：对思想和方法的基本研究》（以下简称《什么是数学》）中选几个兴趣点来说明。

代数运算与几何作图的互译。希尔伯特几何中就充斥着这类问题，包含了非常复杂的代数过程。普通读者可以通过最基本的加减乘除了解这种互译。

通过相似三角形完成除法 a÷b

OC即a/b，因为OC：a=1：b 。这里需要先确定一个1。（《什么是数学》图29）

通过相似三角形完成乘法 a×b

OD即a×b，因为OD：b=a：1（《什么是数学》图30）

1

意大利数学家罗兰索·马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni）发现了一个令人吃惊的事实：所有用圆规和直尺可以实现的几何作图，只用圆规也都能作出（当然不包括画直线）。这种作图有时需要用到“反演”概念，见04。

单规作图由于工具受限，比尺规作图难度更高，步骤也更复杂。

尺规作正方形（图片来源于网络）

单规作正方形（图片来源于网络）

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类似地，施泰纳（Jakob Steiner 1796～1863）证明了，只要预先给定一个圆及其圆心，所有尺规作图均可以只使用尺来实现。

事实表明，无论单规还是单尺，这些表面上对手段的限制，恰恰是丰富数学思维的途径。

尺规作正六边形（图片来源于网络）

单尺作正六边形（图片来源于网络）

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单规单尺作图法有时涉及几何变换中的“ 反演 ”（Inversion）。反演类似于反射，定义如下：已知一圆C，圆心为O，半径为r，如果P与P’在过圆心O的直线上，且OP·OP'=r 2，则称P与P'关于O互为反演。见下图。

求反演点

只用圆规即可求出P的反演点P' 。等腰三角形ORP与ORP‘相似，所以OP/OR=OR/OP'，即OP·OP'=r2（OR=r）。故P'就是P的反演点。（《什么是数学》图41）

运用反演概念就可以使用 单规求线段AB中点 。以A为起点，AB为半径在圆B上画三段弧，则C与A、B共线。作出C关于圆A的反演点C'，C'便是AB中点。因为AC'·AC=AB2，而AC=2AB，所以2AC'=AB。（《什么是数学》图44）

不经过O的 直线反演是一个圆 。A为垂足，P为L上任一点。作A、P的反演点A'、P'，则由于OA·OA'=OP·OP'=r2，故OA'/OP'=OP/OA，因此三角形OP'A'与OPA相似，然后得知角OP'A'是直角，意味着P'位于以OA'为直径的圆上。（《什么是数学》图39）

《什么是数学》讲的是高观点下的初等数学，其中有许多类似于反演这样的基本概念。它们不见得属于基础教育的内容，跟普通大众有一定距离，但研究数学的人必须知道。故此处所谓初等数学，实乃数学家眼中之初等数学。

在数学家眼里尺规作图的趣味当然远远不止这些，但限于篇幅不再赘述。

设计师是另一个喜爱尺规作图的群体。一方面具有高度几何化特征的尺规作图有利于视觉标准化，它使用较少参数便可精确定义视觉产品，方便制作、复制、传播，另一方面设计师的炫技心理也在起作用。

参数较少的图形可使用简单工具绘制，并便于精确传达（图片来源于网络）

但有些刻意表现出来的尺规作图只是设计师的炫技之举（图片来源于网络）

我们经常看到某类图案刻意保留着尺规辅助线，甚至本来没有辅助线也硬要加上（上图）。究其原因，是因为辅助线代表了制图过程，是一种专业表征。用手机作比方，用户无需通晓其制作技术，只需面向结果、体验成品即可，但专业人士的重点却在过程，因而过程映射着专业。尺规辅助线便是“过程”的一种，保留它意味着保留专业“痕迹”。这跟数学没多大关系。

原书及作者简介

什么是数学：对思想和方法的基本研究

What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas And Methods

作者：[美] R·柯朗 (Richard Courant) H·罗宾 (Herbert Robbins) 著 I·斯图尔特 (Ian Stewart) 修订

左平 张饴慈 译

上海：复旦大学出版社

丛书名：西方数学文化理念传播译丛

ISBN: 978-7-309-08623-2/O·485

开本：890×1240 1/32

588页 475千字

2012年1月第三版

在数学界，德国哥廷根大学占据着举足轻重的地位，几乎相当于世界中心。本书是该学派名家名著，出发点是为了提高普通人的数学素养。作者理查德·柯朗并非两耳不闻窗外事的迂腐书生，他关注社会时势，认为数学基础是民族素质的重要组成，故写作了此书。

用专业语言来说，本书展现的是高观点下的数学概貌，具有哥廷根学派的鲜明特征，强调了数学的整体性。同时也表现了数学与其他科学，主要是物理学的密切关系。作者对数学问题的论述显示着大家风范，如行云流水般顺畅，处处给人举重若轻之感。本书初版时间距今已大半世纪，现在看到的修订版补充了1990年代的数学新进展。

不过我觉得本书并不见得适合做普及读物，读者得真懂数学才能通读它，一般人也许只能看懂一小部分。这个分界线应该是高中数学。

R·柯朗（Richard Courant） 1888~1972

哥廷根学派重要成员。曾任纽约大学数学系和数学科学研究院的主任。

H·罗宾（Herbert Robbins） 1915~2001

新泽西拉特杰斯大学数理统计教授。

References：

1. Alexander Bogomolny. Geometric Construction with the Compass Alone. [2015-11-07]. http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/compass.shtml
2. http://en.wikipedia.org/wiki/What_Is_Mathematics?; /Compass-and-straightedge_construction; /Richard_Courant; /Herbert_Robbins
3. 田秀丽. 尺规作图拾趣[J]. 中学生数理化(八年级数学)(人教版). 2009(Z1)
4. 张远波. 初中数学尺规作图专题讲解. [2015-11-04]. http://www.doczj.com/doc/31f26a640066f5335a812170.html
5. 知乎话题. 尺规作图（Compass-and-straightedge construction）. [2015-11-04]. http://www.zhihu.com/topic/19659848