在前面我的文章中谈到圆锥曲线的来历及其种类，列出的都是其标准方程。
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方程 |
特征值 |
离心率e |
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圆 |
X2+y2=r2 |
半径r |
等于0 |
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椭圆 |
X2/a2+y2/b2=1 |
长轴在x上为2a |
小于1 |
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双曲线 |
X2/a2-y2/b2=1 |
实轴在x上 |
大于1 |
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抛物线 |
Y2=2px |
焦点到准线距离为p,对称轴为x |
等于1 |
表一：圆锥曲线的标准形式
它们共同的特点是其图形中心都在直角坐标的原点，都对称于坐标轴，并且没有xy乘积项。
那么有没有一种通用的形式能够表达上面的圆锥曲线方程呢？答案是肯定的。
设二元二次方程为：
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 （1）
就能满足圆锥曲线的通式，其中A，B, C, D, E, F都是实数。
（1） 式通过坐标的平移或旋转的变换就可以变成表一中的标准表达式。
讨论1：如果B=0， 那么Ax2+ Cy2+Dx+Ey+F=0， （2）
这个方程通过配方就可以转换成圆锥曲线的对称轴平行于x或y轴（特殊情况可能是直线或一点）的形式。
如果A或C中有一个为零，则曲线的形式为抛物线，例如x2- 4x − 8y + 12=0
其经过配方为（x-2）2=8(y-1), 这是顶点在（2，1）焦点到准线距离p=4的抛物线。如图1：
图一
方程式(2)通过平移可以转换成表一的标准形式。
平移的公式为： x=x’+h
y=y’+k （3）
其中（x, y）是（1）式的原坐标，(x’, y’)是平移后的新坐标。由下图可清晰地看出点P在新旧坐标之间的关系，其中O‘（h, k）是新坐标原点在旧坐标系的坐标。
图2：坐标轴平移
讨论2：如果A， C同为正数或负数，B=0，则式子（1）为椭圆的表达式。
例如：9x2 + 4y2− 36x + 24y + 36=0，它经过配方可变成：
利用平移原理，可知它在新坐标是符合椭圆的标准方程, 只要设x’=x-2, y’=y+3， 即坐标平移到（2，-3）这点就满足标准形式。
图3
讨论3：如果A，C是异号，B=0，则是（1）是双曲线的方程，举例如下：
9x2 − 16y2 + 36x + 32y – 124=0，将其配方可得：
根据平移公式可知h=-2, k=1, 即新坐标原点，也是双曲线的轴对称中心为（-2，1），其中长半轴a=4,短半轴（虚轴）=3，曲线如下：
图4
讨论4：如果B≠0，通过坐标轴的旋转变换可去掉xy乘积项。高中学习了坐标旋转变换的公式：
x=x’cosθ-y’sinθ
y=x’sinθ+y’cosθ （4）
该公式根据下图可自行推导。
图5：坐标轴旋转
将旋转坐标公式（4）带入（1）中推导会得出新坐标系下的方程：
A’x’2+Bx’y’+Cy’2+Dx’+Ey’+F=0 (5)
将（5）式与（1）式的系数对应相等，然后让B’=0, 可推出：
若A=C，则旋转π/4, 就可以消除xy乘积项。A≠C可得下面的系数转换式子：
若A≠C，利用（6）式子可得出θ角，然后按上面的算式求A’, B‘，C’，D‘，E’, F’. 但实际上利用三角变换可以不求θ角，而直接算出新系数。因为知道cot2θ的值可求得tanθ, 随后利用tanθ的结果带入上面的系数公式，请读者利用三角函数的知识自行推导。
举个例子：13x2 − 6 3xy + 7y2 − 256 = 0.
在这个等式中A = 13, B = −6 3, C = 7, D = 0, E = 0, 及 F = −256.
cot 2θ = （A – C）/B, 可得θ=π/3, 带入旋转坐标转换的公式中可得：
A’=4， B’=0, C’=16, D’=0, E’=0, F’=F. 由此可得方程：
其曲线图形如下：
图6
想想xy=1怎样坐标转化，最后是什么圆锥曲线？
最后讨论Ax2+Bxy+ Cy2+Dx+Ey+F=0系数满足什么条件会是椭圆，双曲线或抛物线。
令判别式Δ=B2-4AC， 当Δ=0时为抛物线（特殊形式为两平行直线）
当Δ＜0时为椭圆（特殊形式为点）
当Δ＞0时为双曲线（特殊形式是两相交直线）
这个判别式的记忆可参照离心率e,只是结果由1换成0，e换成Δ。
除了特殊形式，还可以给出这样的结论：
二元二次方程的曲线是圆锥曲线，反过来圆锥曲线的方程是二元二次方程。