中世纪的欧洲国家的贵族盛行赌博之风，赌博之方式倒是特别地简单：掷*子骰**，或者抛硬币。不过，如此简单的*具赌**中却蕴藏着不一般的数学，因为这儿涉及到的游戏结果，是与众不同的一类变量。
比如说抛硬币吧，硬币有正反两面，抛丢的硬币落下后的结果不确定，可能是“正”面，也可能是“反”面。结果的正反是随机的，难以预料的，但却按照一定的概率出现，因而被称之为“随机变量”。现在，我们把研究随机变量及其概率之数学理论称为“概率论”。
（抛硬币。图片来自网络）
话说当年的法国有一位叫德·梅雷的贵族，在掷*子骰**游戏之余，也思考一点相关的数学问题，苦思不得其解时，便向以聪明著称的帕斯卡请教。
1654年，他向帕斯卡请教了一个亲身经历的“分赌注问题”。故事大概如此：梅雷和赌友各自出32枚金币，共64枚金币作为赌注。掷*子骰**为赌博方式， 如果结果出现“6”， 梅雷赢1分；如果结果出现“4”，对方赢1分。谁先得到10分，谁就赢得全部赌注。赌博如此进行了一段时间，梅雷已得了8分，对方也得了7分。但这时，梅雷接到紧急命令，要立即陪国王接见外宾，于是只好中断赌博。那么，问题就来了，这64枚金币的赌注应该如何分配才合理呢？
（帕斯卡。图片来自网络）
这个问题实际上在15、16世纪时就已经被提出过，称之为“点数分配问题”，意思就是说，当一场赌博半途中断的情况下，应该如何分配赌注？人们提出各种方案，但未曾得到大家都认为合理的答案。
就上面梅雷和赌友的例子。将赌注原数退回显然不合理，没有考虑赌博中断时的输赢情况，相当于白赌了一场。将全部赌注归于当时的赢家也不公平，比如当时：梅雷比对方多得一分，但他还差2分才赢，而对方差3分，如果继续赌下去的话，对方也有赢的可能性。
帕斯卡对这个问题十分感兴趣。直观而言，上面所述的两种方案显然不合理，赌博中断时的梅雷应该多得一些，但到底应该多得多少呢？也有人建议以当时两人比分的比例来计算：梅雷8分，对方7分，那么梅雷得全部赌注的8/15，对方得7/15。这种分法也有问题，比如说，如果甲乙双方只赌了一局就中断了，甲赢得1分，乙得0分。按照刚才的分法，甲拿走全部赌注，显然又是极不合理的分法。
费马和帕斯卡对点数分配问题的思路
帕斯卡从直觉意识到，中断赌博时赌注的分配比例，应该由当时的输赢状态与双方约定的最终判据之距离有关。比如说，梅雷已经得了8分，距离10分的判据差2分，赌友7分，还差3分到10分。
因此，帕斯卡认为需要研究从中断赌博那个“点”开始，如果继续赌博的各种可能性。为了尽快地解决这个问题，帕斯卡以通信的方式与住在法国南部的费马讨论。费马不愧是研究纯数学的数论专家，很快列出了“梅雷问题”中赌博继续下去的各种结果。
梅雷原来的问题是掷*子骰**赌“6点”或“4点”的问题，但可以简化成抛硬币的问题：甲乙两人抛硬币，甲赌“正”，乙赌“反”，赢家得1分，各下赌注$10，先到达10分者获取所有赌注。如果赌博在“甲8分、乙7分”时中断，问应该如何分配这$20赌注？
上图显示了费马的分析过程：从赌博的中断点出发，还需要抛4次硬币来决定甲乙最后的输赢。这4次随机抛丢产生16种等概率的可能结果，如图中所列。因为“甲赢”需要结果中出现2次“正”，“乙赢”需要结果中出现3次“反”，所以，在16种结果中，有11种是“甲赢”，5种是“乙赢”。换言之，如果赌博没有中断，而是从中断点的状态继续到底的话，可以如此算出甲赢的概率是11/16，乙赢的概率是5/16。
（图片来自网络）
赌博的中断使得双方按照这种比例失去了最后赢得全部赌注的机会，因此，按此比例来分配赌注应该是合理的方法。所以，根据费马的分析思路，甲方应该得$20×11/16=$13.75，乙方则得剩余的，或$20×5/16=$6.25。
帕斯卡十分赞赏费马思路之清晰，费马的计算也验证了帕斯卡自己得到的结论，虽然他用的是与费马完全不一样的方法。帕斯卡在解决这个问题的过程中提出了离散随机变量之“期望值”的概念。期望值是用概率加权后得到的平均值。如上图（b）所示，帕斯卡计算出从甲方的观点，“期望”能得到的赌注分配为$13.75，与费马计算的结果一致。
（费马。图片来自网络）
期望是概率论中的重要概念，期望值是概率分布的重要特征之一。它常被用在与赌博相关的计算中。例如，美国*场赌**有一种轮盘赌。其轮盘上有38个数字，每一个数字被选中的概率都是1/38。顾客将赌注（比如$1）押在其中一个数字上，如果押中了，顾客得到35倍的奖金（$35），否则赌注就没了，即损失1美元。那么，如何计算顾客“赢”的期望值呢？
*场赌**轮盘对赌徒而言的期望值
根据期望值之定义“概率加权求平均”进行计算，图1-1-5显示了计算结果：顾客赢钱的期望值是一个负数：约等于-0.0526美元。也就是说，对赌徒而言，平均起来每赌1美元就会输掉5美分，相当于*场赌**赢了5美分，所以，*场赌**永远不会亏！
从研究掷*子骰**开始，帕斯卡不仅仅引入了期望的概念，还发现了帕斯卡三角形（即中国古书中所记载的“杨辉三角”），虽然杨辉之发现早于帕斯卡好几百年，但是帕斯卡将此三角形与概率、期望、二项式定理、组合公式等等联系在一起，与费马一起为现代概率理论奠定了基础，对数学作出了不凡的贡献。
帕斯卡三角
1657 年，荷兰科学家惠更斯在帕斯卡和费马工作的基础上，写成了《论赌博中的计算》一书，被认为是关于概率论的最早系统论著。不过，人们仍然将概率论的诞生日，定为帕斯卡和费马开始通信的那一天--1654年7月29日。
（摘自《从掷*子骰**到阿尔法狗：趣谈概率》，作者：张天蓉）
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