之前说过学了相似到熟练运用需要很多练习。今天恰好遇到一例相似应用的解答题，非常适合学完相似不久的孩子巩固提高用。
试题来自浙江中考试卷分享的一份九年级期末试卷。试题分层明显，从基础到全等到相似。难度适中，但是每问分数均不易得，设置了些许障碍。看官可自行尝试。
题目背景是圆，也是九年级上册一大重点。两条直径呈60°角相交，知圆中必有丰富的30/60/120角。第一问略过，第二问并没有直接说出两线段到底什么关系。凭肉眼看，应该是相等。既然说明相等，首选必是用全等。但是目测没有现成的全等三角形。这个时候，经验告诉我们，需要找中间量了。也就是找一条中间线段，先去说明它和AM相等，再说明它和CN相等，这样AM=CN了。圆中半径处处相等，这给全等带来很大便利。题目一大条件就60°角的两条直径，在我眼里，一只非常漂亮的“蝴蝶”就产生了。在ON上寻点E，使OM=OE并连接CE。怎么样，蝴蝶漂亮吧！此时，CE=AM，我们只需再说明CE=CN就可以了。说明这两个线段相等，用“等角对等边”即可。说明的方法很多，一可以借用OMPN四点共圆，二可以利用外角定理和圆周角定理来倒角。
压轴之问来了。为了分层，这里命题老师设置了一个比较大的障碍，两条线段之和等于一个常数和另一个线段之比。看到这怪怪的结论，你会怎么想?我们在学相似之前，先学习了比例线段。并且学会了比例式和乘积式的转化。所以，我们第一步要做的是把这个我们不熟悉的表达式，变成我们熟悉的表达式。两个线段和，我们可以看成整体。那么结论出现了两条线段，这不符合我们经常使用的结论，一般比例式，有四条线段，即便比例中项，也有三条线段，怎么办？我们要把3这个常数替换成线段。仔细读题，还有一个半径为1的条件。1和3怎么联系?其实我刚刚已经透露奥秘了。如果把这个结论变成四条线段的比例式，比较困难。所以我们选择变成三条线段的比例式，那么就要利用比例中项。3是√3的平方，所以我们在圆中找一条长度为√3的线段作为比例中项。有120°就有√3，相信你也找到了，就是线段AC。找到了它，规范的比例式也找到了，AM:AC=AC:(PA+PC)。这种比例式，对应的相似模型大家应该非常熟悉，共角共一边。这一问，是不是挺有意思，外形很吓人，本质还是相似的应用。
为了一碗水，我们得储存一桶水。
