很多同学在高中阶段学习函数的时候,对函数平移变换的理解存在思维模糊,并没有深刻理解,这里我们将做一次深入的推导方便,理解为啥是"左加右减,上加下减"
一:函数的左右平移: "左加右减""的结论推导:
数学是严谨的,一般在推导证明过程,我们要先从定义出发:
1.向左平移动: 函数y=f(x)为原函数, 将此函数的向左平移动h个单位(h>0),新函数如何被定义?
我们将这句话,用最朴素的数学语言进行表达如下:
(1)y=f(x)函数,水平向左移动h个单位后(h>0),得到一个新的函数,求新函数的表达式,我们不妨设新函数的表达式为y=g(x).
(2)y=f(x)函数,水平向左移动h个单位后(h>0), 因为是水平移动, 所以函数的纵坐标不会发生变化.
于是基于(1),(2),我们可以定义如下的等式:
设P(x,y) 在原函数y=f(x)上,向左平移后得到P'(x',y').
x'=x-h y'=y 因此我们得到了 x'=x-h 和 f(x)=g(x')两个等式 ,
求的x=x'+h,因为y=f(x)是我们已知的函数,要求的是g(x).
所以 f(x)=f(x'+h) =g(x'), 得到f(x'+h)=g(x'),
f(x)已知具有规则的表达式, 所以我们将x=x'+h代入f(x)当中
(举个列子: 已知f(x)=x, 代入得到f(x'+h)=x'+h)
由于我们最后的g(x)是不含x'的表达式,
将x'替换成x(函数的基本迭代性质) ,就得到了g(x)=f(x+h)
所以就有了,水平向左移动h个单位后(h>0),新函数的解析式g(x)=f(x+h),
即在原函数f(x)上水平向左,左加的口诀.
2.函数水平向右移动: 水平向右移动h个单位(h>0)
根据1的推导过程 ,因为向右移动h单位:
x'=x+h(水平向右移动h,h>0)
y轴不变的原理定义. y'=y
则 f(x)=g(x'), x=x'-h 代入f(x),
(为什么要代入f(x),因为f(x)是已知函数具备已知的规则,假若f(x)=x, f(x'-h)=x'-h;)
得到 f(x'-h)=g(x') ,
因为我们要求的是g(x),而不是g(x')
将x'用x替换,最终得到g(x)的表达式.
g(x)=f(x-h)
所以就有了,水平向右移动h个单位后(h>0),新函数的表达式为g(x)=f(x-h),即口诀"水平向右,右减"
总结: "函数的水平移动, 左加右减",特别提醒是在移动的之前的原函数上进行操作.
二: 函数上下移动,上加下减的证明过程:
1.垂直向上移动,Y轴向上移动:
设p(x,y)原函数y=f(x), 函数沿着y轴垂直向上移动k个单位(k>0),得到p'(x',y'), 根据垂直向上移动特点, x不变,y发生变化:
x'=x
y'=y+k y'=g(x') y=f(x)
得到 f(x)+k=g(x'), x=x'带入f(x),得到f(x')+k=g(x'),因为要求的是g(x)的表达式, 而f(x)是已知的函数,在这里将x'替换成x,于是就得到了 f(x)+k=g(x),写成g(x)=f(x)+k (k>0),即结论如下:
y=f(x)垂直向上移动k个单位,得到g(x)=f(x)+k.(k>0),口诀"上加"
2.垂直向下移动k个单位: 同理可以得证 g(x)=f(x)-k,(k>0),口诀"下减"
三:最后的说明:
学习数学的过程,一般是先从定义出发,不断地推导,直到证明问题所要求的结论.
知其然,更加要知其所以然.