2021年南京市中考已经尘埃落定，录取工作也已经完成；桥归桥，路归路，每一位考生都已经做出了自己未来发展方向的选择，即将开始新的学习生活。回顾南京市中考，最让人难忘的可能就是数学考试了，有些考生刚走出考场，就泪流满面！有些考生，答题卡的正面也许还有办法写满，但答题卡的背面只能是留下一片空白！南京这次中考数学试卷到底难不难，有多难？这是个有争议的话题，老师们的评价也是褒贬不一，有些老师甚至直接预言，这份数学中考试卷，中等生努力一下，可以考90多分，学霸们努力一下，可能也只能考90多分！管中窥豹，分析第27题压轴题的解答过程，也许能给大家一个大致的难度体验。
2021年南京市数学中考第27题第（1）小题
2021年南京市数学中考第27题第（2）小题
这是一道求几何空间两点之间最短路径的题目，蚂蚁是此类题目的常见主角。苏科版（2012）中学数学课本中，关于空间几何的知识点，出现在七年级上册第五章《走进图形世界》的第三小节《展开与折叠》。
苏科版（2012）数学七年级上册封面
具有空间观念的几何知识出现在5.3《展开与折叠》
在这小节，学生主要学习如何将几何体展开为平面图形，以及如何将平面图形想象成正确的几何体。
如何将几何体展开成平面图形
树立平面图形和几何体的空间观念
教育部颁发的义务教育数学课程标准（2011年版）的第三部分“内容标准”中，对这个知识点是这样要求的：了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型；通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用。
义务教育数学课程标准（2011年版）部分文字节选
对于平面图形的展开与折叠，教育部课程标准的结果目标是“了解”，也即“了解”、“理解”、“掌握”和“应用”这四个层次结果目标中，最基本的要求。有些学校老师在实际教学中，会在这个要求的基础上，做适当的延伸：
勤劳的蚂蚁是常见主角
南京中考的第27题，显然不是仅仅“了解”《展开与折叠》这个章节的知识和技能，就能够正确作答的！第（1）问相对简单，学生对知识点有了解，老师教学适当延伸，做出正确答案还是比较容易的；当然，在初中阶段，角度还不能用弧度制来表示，只能用“度”来表示。
第27题第（1）问解答
第（2）问的第①小题是第（1）问的进一步延伸，动动脑筋，填出正确答案应该不是太难。
A到O的最短路径的长是 l+h
争议的真正所在是第（2）问的第②小题！
第（2）问第②小题
这一问虽然也是第（1）问的延伸，但是有些教育观察博主已经一针见血指出：如果要求计算出最短路径的结果，难度太大，超过了一般的高考难度！好在中考出题者只要求考生写出解题思路。
求从点A到点B的最短路径，显然必须把圆锥和圆柱同时展开，但是怎么展开，大有学问！右边展开平面图中标注的字母，其实是出题者有意无意的“暗示”，给出了几何体展开的方法：对于圆柱，以CD连线为展开图对称中心轴，剪开圆柱位于CD连线的对侧的母线进行展开；对于圆锥，显然需要沿着刚才的位置，接着往上剪开圆锥的母线；由于圆锥展开平面图是扇形，因此必须把圆锥与圆柱的连接圆剪开。如果也以OC为对称轴剪开，显然得不到AB的最短路径：
显然此时AB间的路径不是最短
因此，如何剪开圆锥和圆柱中间的连接圆得到展开平面图是第②小题的解题关键。根据初中阶段“两点之间直线距离最短”的论断，剪开连接圆，点H为圆锥展开图和圆柱展开图的接触点，当A、H、B恰好在一条直线上时，AB之间的路径最短，如图所示：
点A、H、B共线时，AB路径最短
做到这一步，如果考官就能够认为这道题已经回答完毕，那么，第27题虽然独辟蹊径，在冷门知识点上大作文章，难度也算是中规中矩，不算过分！
心累
如果出题者本意是希望考生能够用表达式的形式呈现AB最短路径的长度，那么第27题的难度就是很难！很难了！
第②小题AB最短路径的代数表达式
如图所示，就是AB最短路径的代数表达式（设HC=x）。为了表述简洁，α的角度用弧度表示，初中阶段实际只能用“°”来表示；HB的长度用余弦定理表达，初中阶段实际需要两次使用勾股定理求解。
现在，第27题的解题过程看起来已经非常的完美了，应该不会被出题者诟病了吧？事实是这么完美的解题过程也是存在逻辑漏洞的：一定会存在一个点H，使得此时点A、H、B共线时，AB取得路径的最小值吗？初中阶段“两点之间直线距离最短”的论断是基于两点都是定点的前提条件的，此处B点显然是一个动点！为了使上述求解AB最短路径代数表达式成立，我们要证明一定存在一个这样的点H。因此，我们需要先对AB最短路径代数表达式进行一次求导，计算出一次导数为0时，X的取值X0；再将X0的值代入表达式的二次导数式，判断出AB最短路径代数表达式能够取得最小值，并且取得最小值时∠β=∠θ，点A、H、B恰好共线！
解题思路真正的完美了！然而事实上，这个表达式不是初等函数，是无法计算出X0的精确值的，只能证明取得最小值时，∠β=∠θ，点A、H、B恰好共线！
出题者，是永远的神！