动点问题，是中考的热点题型之一，它以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，聚多种解题思想于一题，综合性较强，能力要求较高，解题的关键是:"动"中求"静".在"静"中探求"动"的一般规律，用相关字母表示几何图形中的长度，点的坐标等，运用勾股定理，相似，三角函数，三角形面积公式等建立方程，从而解决问题.所用的数学思想一般有:分类思想，函数思想，方程思想，数形结合思想，转化思想.下面以初二四边形的知识逐一说明.
一.平行四边形中的动点问题
1.如图，在平行四边形ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F两点不重合)，且保持BE=DF，连接AE，CF，请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并加以证明.
【分析】本题不难，动点E，F运动单一，只在BD上运动，但不管如何变化，始终保持BE=DF这一"静"态特征，结合平行四边形ABCD，AB=CD，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，∴可得△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，即AE=CF，AE∥CF.
2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24㎝，BC=30㎝，点P自点A向D以1㎝/s的速度运动，到D点即停止，点Q自点C向B以2㎝/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形，P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形是平行四边形？
【分析】题中只有两个动点，按各自的速度做直线运动，若设t秒中其中一个四边形为平行四边形，所以有两种情况，尽管P，Q两点在动，但他们所行的路程可用数量关系表示出来，即AP=t，PD=24一t，CQ=2t，BQ=30一2t，∵AD∥BC，若要其中一个四边形为平行四边形，只须对边相等即可，所以可分两种情况列方程即可.①当四边形ABQP为平行四边形时，则，AP=BQ，即t=30一2t，解得t=10，②当四边形PQCD为平行四边形时，则，PD=CQ，即24一t=2t，解得t=8，所以当10s或8s后其中一个四边形是平行四边形.
二，菱形中的动点问题
3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60㎝，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4㎝/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2㎝/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D，E运动的时间是ts(0≤t≤15)，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF，若四边形AEFD为菱形，求t的值.
【分析】∵Rt△ABC，∠B=90°，∠A=60°，∴∠C=30°，∵DF⊥BC，∴∠DFC=∠B=90°，∴AE∥DF，且DF=CD/2，∵运动时间为t，∴CD=4t，则AD=60一4t，DF=2t，而AE=2t，∴运动过程中AE=DF，又AE∥DF，∴四边形AEFD为平行四边形，若要四边形AEFD为菱形，只须AD=AE即可，∴60一4t=2t，解得t=10，所以当t=10时，四边形AEFD为菱形.
4.在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.
(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积.
(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否发生变化？请说明理由.
(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由;若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由.
【分析】(1)在菱形ABCD中，AC⊥BD于G，BG=BD/2=16×1/2=8，在Rt△ABG中，由勾股定理，得AG=6，∴AC=2AG=12，菱形的面积=1/2×AC×BD=1/2×12×16=96.
(2)OE+OF的值不发生变化.理由如下:如下图①
连接AO，则S△ABD=S△ABO十S△ADO，∴1/2×BD×AG=1/2×AB×OE+1/2×AD×OF，即1/2×16×6=1/2×10×OE+1/2×10×OF，解得OE+OF=9.6是定值，不变.
(3)OE+OF的值发生变化，OE与OF的数量关系为OE一OF=9.6，理由如下:
如下图②，连接AO，则S△ABD=S△ABO一S△ADO，∴1/2×BD×AG=1/2×AB×OE一1/2×AD×OF，即1/2×16×6=1/2×10×OE一1/2×10×OF，解得OE一OF=9.6是定值，不变.
三.矩形中的动点问题
5.如图，在矩形ABCD中，AB=4㎝，BC=8㎝，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O.
(1)连接AF，CE，试证明四边形AFCE为菱形，并求AF的长.
(2)动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，已知点P的速度为5㎝/s，点Q的速度为4㎝/s，运动时间为ts，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.
【分析】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形.设AF=CF=x㎝，则BF=(8一x)㎝，在Rt△ABF中，AB=4㎝，由勾股定理得，4²+(8一x)²=x²，解得x=5，∴AF=5㎝.
(2)当点P在AF上，由于AF=5，即0≤t≤1时，点P在AF上运动，同时，0≤t≤1时，点Q在CD上运动，显然，以A，C，P，D四点为顶点构不成平行四边形;易知BF=DE=3，当1<t≤8/5时点P在BF上，当1<t≤7/4时点Q在DE上，若AQ=PC，因AD∥BC，则以，A，C，P，D四点为顶点可构成平行四边形，此时PC=AF+PF=5t，AQ=AD+DC一CQ=12一4t，∴5t=12一4t，解得t=4/3，∵1<4/3<7/4，符合题意，∴当t=4/3时，以A，C，P，D四点为顶点可构成平行四边形;当t>8/5时，点P在AB上，当t>7/4时，点Q在EC上，以A，C，P，D四点为顶点显然不能构成平行四边形.
综上，当t=4/3时，以A，C，P，D为顶点可构成平行四边形.
6.如图，点P是矩形ABCD的边AD上一动点，矩形的两条边，AB，BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是多少？
【分析】要求动点P到两条对角线距离之和，作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连接PO，如图
虽然点P是动点，PE，PF是动线段，有静态面积关系，即1/4S矩形ABCD=S△AOD=S△APO+S△DPO，∴1/4×AB×AD=1/2×AO×PE+1/2×DO×PF，∵AO=DO=1/2×AC=5/2，(AC可由勾股定理算出)，∴1/4×3×4=1/2×5/2×PE+1/2×5/2×PF，解得PE+PF=12/5.
四，正方形中的动点问题
7.如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，EF，求∠EBF的度数.
【分析】F是动点，M也就是动点，但BE=EF始终不变，而AC是正方形的对角线，∴CA平分∠BCD，∴过E点作GH∥BC，交AB于G，交C刀于H，过E点作EQ⊥BC于Q，则EH=EQ，易证EQ=BG，∴EH=BG，又BE=EF，而∠BGE=∠EHF=90°，∴Rt△BGE≌Rt△EHF，∴∠GBE=∠HEF，而∠GBE+∠GEB=90°，∴∠HEF+∠GEB=90°，∴∠BEF=90°，而EM垂直平分BF，∴∠EBF=45°.
8.如图，正方形ABCD中，AC是对角线，有一大直角三角板一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.
(1)如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明;
(2)如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想.
【分析】(1)PB=PQ，理由如下，过点P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，如下图①，
因P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，∴PF=PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPE十∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，∴∠BPE=∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB=PQ.
(2)PB=PQ，过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，如上图②，证法与①相同，不再叙述.
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