BOOK 2
方今有粟一斗，欲为粝米。问得几何？
答曰：为粝米六升。
术曰：以粟求粝米，三之，五而一。
今有粟三斗六升，欲为粺饭。问得几何？
答曰：为粺饭三斗八升二十五分升之二十二。
今有粟三斗少半升，欲为菽。问得几何？
答曰：为菽二斗七升一十分升之三。
今有粟五斗太半升，欲为麻。问得几何？
答曰：为麻四斗五升五分升之三。
今有粟一十斗八升五分升之二，欲为麦。问得几何？
答曰：为麦九斗七升二十五分升之一十四。
原文
粟米之法[1]：
粟率五十，粝米[2]三十，
米[3]二十七，
米[4]二十四，御米[5]二十一，小
[6]十三半，大
[7]五十四，粝饭[8]七十五，
饭五十四，
饭四十八，御饭四十二，菽[9]、
[10]、麻[11]、麦各四十五，稻六十，豉[12]六十三，飧[13]九十，熟菽一百三半，蘖[14]一百七十五。
今有术[15]曰：以所有数乘所求率为实[16]，以所有率为法[17]，实如法而一[18]。
刘徽 刘徽（约公元225—公元295年），数学家。他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国宝贵的数学遗产。刘徽是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。他在开方不尽的问题中提出“求徽数”的思想，这不仅是圆周率精确计算的必要条件，也促进了十进小数的产生；还首次提出了“不定方程问题”；建立等差级数前n项和公式等。他在世界数学史上有崇高的地位，被称为“中国数学史上的牛顿”。
注释
[1]粟米之法：以“粟率五十”为标准，粮谷间相互兑换的比率数（如粟米∶粝米=50∶30）。本处所列比率表是一个兑换比率表。
[2]粝米∶粗米。粝米三十指粟米∶粝米=50∶30，以下类推。
[3]
米：比粝米稍精的米。
[4]
（zuó）米：舂过的米，稍精于米。
[5]御米：上等精米，精于米。
[6]小
、大
：
（zhé）磨碎后未分筛的麦屑。磨得较细一点的为小
，粗一点的称大
。
[7]小
、大
：
（zhé）磨碎后未分筛的麦屑。磨得较细一点的为小
，粗一点的称大
。
[8]饭：煮熟的谷类食物，因加水谷类煮成熟饭后数量增多，故饭率为米率的两倍（如粺、糳、御）或两倍半（如粝）。
[9]菽：大豆。
[10]
：小豆。
[11]麻：芝麻。
[12]豉：用煮熟的大豆发酵后制成，供调味或药用。
[13]飧（sūn）：稀饭。
[14]蘖（niè）：酿酒用的发酵剂，即酒曲，以粮食制成。
[15]今有术：根据已知数及比率关系推求未知数的算法，也就是现今所讲的四项比例算法。
[16]实：被除数。
[17]法：除数。
[18]实如法而一：被除数除以除数所得的结果。
译文
以粟为基础而规定的粮食兑换标准：粟的交换率定为50，粝米30，
米27，
米24，御米21，小
，大
54，粝饭75，
饭54，
饭48，御饭42，菽、
、麻、麦各45，稻60，豉63，飧90，熟菽
，蘖175。
四项比例运算法则是：用所有数乘所求率为被除数，以所有率为除数，以除数除被除数得出一新结果（以公式表示：所求数=所有数×所求率÷所有率）。
原文
〔一〕今有粟一斗[1]，欲为粝米。问得几何？
答曰：为粝米六升。
术曰：以粟求粝米，三之，五而一。
注释
[1]斗：度量单位，1斗＝10升，本章以后算题中常出现这个单位，不赘注。
耧车 汉代 耧车，也叫耧犁，是西汉时期出现的一种畜力条播机。据东汉崔《政论》记载，耧车由三只耧脚组成，即三脚耧，车身下面有三个开沟器，播种时用一头牛拉着耧车，耧脚便在平整好的土地上开沟播种，同时进行覆盖、*压镇**，一举多得，省时又省力，其效率之高，可达“日种一顷”。常用来播种大麦、小麦、大豆、高粱等作物。
译文
〔一〕今有粟1斗，要换成粝米，问可换粝米多少？
答：可换得粝米6升。
算法：已知粟数求粝米数，以粟数乘以3，再除以5即可。
译解
粟∶粝米＝50∶30，
答案＝
。
石臼 石臼利用了斜面省力的原理。当杵下舂时，被舂的谷物就会沿臼壁斜推而上，这实际就是斜面提升。当谷物沿壁升到一定高度时，在自重和震动力的作用下，又会回落到底部，被二次加工。如此往复，谷物就可脱壳或被加工成粉。图为杵臼加工示意图。
术解
所求粝米＝粟数×3÷5＝1斗×3÷5＝6升。
原文
〔二〕今有粟二斗一升，欲为粺米。问得几何？
答曰：为粺米一斗一升五十分升之十七。
术曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一。
译文
〔二〕今有粟2斗1升，要换成粺米。问可换得多少米？
答：可换得粺米1斗
升。
算法：已知粟数求粺米数，以粟数乘27，再除以50即可。
译解
粟米∶米＝50∶27，
答案＝
。
术解
所求粺米数＝粟数×27÷50＝2斗1升×27÷50＝1斗
升。
原文
〔三〕今有粟四斗五升，欲为
米。问得几何？
答曰：为
米二斗一升五分升之三。
术曰：以粟求
米，十二之，二十五而一。
译文
〔三〕今有粟4斗5升，要换成
米。问可换得多少
米？
答：可换得
米2斗
升。
算法：已知粟数求
米数，以粟数乘以12，再除以25即可。
译解
粟∶
米＝50∶24，
答案＝
。
术解
所求粟米数＝粟数×12÷25＝4斗5升×12÷25＝
升。
铜砝码 明代 图为明朝铜砝码，重928.4克，刻有铭文“崇祯丁丑年置”（1637年）“贰拾伍两”，由官方颁发，这是商贾间相互校准、通行的标准器。
原文
〔四〕今有粟七斗九升，欲为御米，问得几何？
答曰：为御米三斗三升五十分升之九。
术曰：以粟求御米，二十一之，五十而一。
译文
〔四〕现有粟米7斗9升，要换成御米。问能换得多少御米？
答：可换得御米3斗
升。
算法：已知粟数求御米数，以粟数乘以21，再除以50即可。
译解
粟∶御米＝50∶21，
答案＝7斗9升×
＝79升×
＝3斗
升。
太极图 “二进制”来源于我国的《易经》。该书中“—”记作1，“——”记作0，再按照“逢二进一”的法则，即可表示出《易经》中的四仪八卦。每次取出两个符号排列，组成“四象”；每次取出三个排列，组成“八卦”；而每次取出六个排列，就组成了全书64个“卦爻辞”的标题。如今，二进制是电子计算机的运算基础。
术解
所求御米数＝粟数×21÷50＝7斗9升×21÷50＝3斗
升。
原文
〔五〕今有粟一斗，欲为小
，问得几何？
答曰：为小
二升一十分升之七。
术曰：以粟求小
，二十七之，百而一。
译文
〔五〕现有粟1斗，要换成细麦屑。问能换得多少细麦屑？
答：能换得细麦屑
升。
算法：已知粟数求细麦屑数，用粟数乘以27，再除以100即可。
译解
粟∶细麦屑（小
）＝50∶
，
麦屑数＝
升。
术解
所求细麦屑数＝粟数×27÷100＝1斗×27÷100＝
升，
原文
〔六〕今有粟九斗八升。欲为大
。问得几何？
答曰：为大
一十斗五升二十五分升之二十一。
术曰：以粟求大
，二十七之，二十五而一。
译文
〔六〕今有粟9斗8升，要换成粗麦屑。问能换得多少粗麦屑？
答：能换粗麦屑10斗
升。
算法：已知粟数求粗麦屑数，用粟数乘以27，再除以25。
徐光启与利玛窦 图为明末科学家徐光启（右）与意大利传教士利玛窦（左）讨论中西方数学的情形。
译解
粟∶粗麦屑（大
）＝50∶54，
答案＝9斗8升×
＝98升×
＝10斗
升。
术解
所求粗麦屑数＝粟数×27÷25＝9斗8升×27÷25＝10斗
升。
原文
〔七〕今有粟二斗三升，欲为粝饭。问得几何？
答曰：为粝饭三斗四升半。
术曰：以粟米粝饭，三之，二而一。
译文
〔七〕今有粟2斗3升，要换成粝饭，问能换得多少粝饭？
答：能换得粝饭3斗
升。
算法：已知粟数求粝饭数，用粟数乘以3，再除以2即可。
莲花铜砣 明代 此铜砣为明朝时期的量器，此砣之上铸有莲花云纹饰。
译解
粟∶粝饭＝50∶75，
答案＝
。
术解
所求粝饭数＝粟数×3÷2＝2斗3升×3÷2＝3斗
升。
原文
〔八〕今有粟三斗六升，欲为粺饭。问得几何？
答曰：为粺饭三斗八升二十五分升之二十二。
术曰：以粟求粺饭，二十七之，二十五而一。
译文
〔八〕今有粟3斗6升，要换成粺饭。问能换得多少粺饭？
答：可换得粺饭3斗
升。
算法：已知粟数求粺饭数，用粟数乘27，再除以25即可。
译解
粟∶粺饭＝50∶54，
答案＝3斗6升×
＝36升×
＝3斗
升。
术解
所求饭＝粟数×27÷25＝3斗6升×27÷25＝3斗
升。
原文
〔九〕今有粟八斗六升，欲为
饭。问得几何？
答曰：为
饭八斗二升二十五分升之一十四。
术曰：以粟求
饭，二十四之，二十五而一。
各圆形算法图 《周易》 西周 《周易》是中国古代的一本占卜书，记录的是理、象、数、占，主要由符号和文字组成。同时，它也是中国数学发展的最早源头，甚至在一些重要的数学著作中，数学家们还运用《周易》中的有关概念来表述数学问题。图为《周易》中各种圆形的计算方法。
译文
〔九〕今有粟8斗6升，要换成
饭。问能换多少
饭？
答：能换
饭8斗
升。
算法：已知粟数求
饭数，用粟数乘以24，再除以25。
布天平 唐代 布天平是唐朝时期的称重工具。因托盘材质为布料，所以称之为“布天平”，古人用它来称量小型的器物。
译解
粟∶
饭＝50∶48，
答案＝
术解
所求
饭数＝粟数×24÷25＝8斗6升×24÷25＝8斗
升。
原文
〔一〇〕今有粟九斗八升，欲为御饭。问得几何？
答曰：为御饭八斗二升二十五分升之八。
术曰：以粟求御饭，二十一之，二十五而一。
译文
〔一〇〕今有粟9斗8升，要换成御饭。问能换得多少御饭？
答：能换得御饭8斗
升。
算法：已知粟数求御饭数，用粟数乘21，再除以25即可。
译解
粟∶御饭＝50∶42，
答案＝9斗8升×
＝98升×
＝8斗
升。
术解
所求御饭数=粟数×21÷25＝9斗8升×21÷25＝8斗
升。
彩帛规矩图 汉代 “规”和“矩”是古代用来画线作图的工具，规常用于画圆，矩用来作直角或者测量长度等。在功能上，矩可以代替规，堪称万能工具。图中，伏羲手执矩，女娲手执规，这说明早在远古时代，规、矩就已被使用。
原文
〔一一〕今有粟三斗少半[1]升，欲为菽。问得几何？
答曰：为菽二斗七升一十分升之三。
〔一二〕今有粟四斗一升太半[2]升，欲为荅。问得几何？
答曰：为荅三斗七升半。
〔一三〕今有粟五斗太半升，欲为麻。问得几何？
答曰：为麻四斗五升五分升之三。
〔一四〕今有粟一十斗八升五分升之二，欲为麦。问得几何？
答曰：为麦九斗七升二十五分升之一十四。
术曰：以粟求菽、荅、麻、麦，皆九之，十而一。
注释
[1]少半：古代称
为少半。
[2]太半：古代称
为太半。
割圆八线 割圆八线，即对一个角而言的八个三角函数，因其可用第一象限单位圆中八条线长（NP、ON、OB、BR、OS、OR、NA、PQ）表示而得名。明末邓玉函所撰的《割圆八线表》有所提及。
译文
〔一一〕今有粟3斗
升，要换成大豆。问能换得多少大豆？
答：能换大豆2斗
升。
〔一二〕今有粟4斗
升，要换成小豆。问能换得多少小豆？
答：能换得小豆3斗
升。
〔一三〕今有粟5斗
升，要换成麻。问能换得多少麻？
答：能换麻4斗
升。
〔一四〕今有粟10斗
升，要换成麦。问能换得多少麦？
答：能换麦9斗
升。
算法：已知粟数，求大豆、小豆、麻、麦的数量，都用粟数乘以9，再除以10即可。
译解
〔一一〕粟∶大豆＝50∶45，
答案＝
。
术解
所求大豆数＝粟数×9÷10＝3斗
升×9÷10＝2斗
升。
译解
〔一二〕粟∶小豆＝50∶45，
答案＝
。
术解
所求小豆数＝
。
译解
〔一三〕粟∶麻＝50∶45，
答案＝
。
术解
所求麻数＝
。
译解
〔一四〕粟∶麦＝50∶45，
答案＝
瓷砣 明代 图为刻有铭文“万历辛丑年”（1601年）字样，重568克的瓷砣。
术解
所求麦数＝粟数×9÷10＝10斗
升×9÷10＝9斗
升。
原文
〔一五〕今有粟七斗五升七分升之四，欲为稻。问得几何？
答曰：为稻九斗三十五分升之二十四。
术曰：以粟求稻，六之，五而一。
译文
〔一五〕今有粟7斗
升，要换成稻。问能换得多少稻？
答：能换稻9斗
升。
算法：已知粟数求稻数，用粟数乘以6，再除以5即可。
计数符号 图为新石器陶器，其上有阿拉伯数字1－30的早期代表符号。
译解
粟∶稻＝50∶60，
答案＝
。
术解
所求稻数
。
原文
〔一六〕今有粟七斗八升，欲为豉。问得几何？
答曰：为豉九斗八升二十五分升之七。
术曰：以粟求豉，六十三之，五十而一。
译文
〔一六〕今有粟7斗8升，要换成豉。问能换得多少豉？
答：能换得豉9斗
升。
算法：已知粟数求豉数，用粟数乘63，再除以50即可。
译解
粟∶豉＝50∶63，
答案＝
。
术解
所求豉数＝粟数×63÷50＝7斗8升×63÷50＝9斗
升。
原文
〔一七〕今有粟五斗五升，欲为飧。问得几何？
答曰：为飧九斗九升。
术曰：以粟求飧，九之，五而一。
取锡 《天工开物》插图 在殷墟文化中曾出土过数具虎面铜盔，内部红铜尚好，外面镀一层厚锡，镀层精美，这说明当时的人们已认识到铜外镀锡，而锡的开挖技术据此可判断是在殷商之前。
译文
〔一七〕今有粟5斗5升，要换成稀饭。问能换得多少稀饭？
答：能换得稀饭9斗9升。
算法：已知粟数求稀饭数，用粟数乘以9，再除以5即可。
译解
粟∶飧（稀饭）＝50∶90，
答案＝
。
术解
所求稀饭数＝粟数×9÷5＝5斗5升×9÷5＝9斗9升。
原文
〔一八〕今有粟四斗，欲为熟菽。问得几何？
答曰：为熟菽八斗二升五分升之四。
术曰：以粟求熟菽，二百七之，百而一。
译文
〔一八〕今有粟4斗，要换成熟大豆。问能换得多少熟大豆？
答：能换得熟大豆8斗
升。
算法：已知粟数求熟大豆数，用粟数乘以207，再除以100即可。
悯农 图中描绘了在烈日下农民种粮食的景象，表现了农民终年辛勤劳动的生活，最后以“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”这样近似蕴意深远的格言，体现了粮食的来之不易以及诗人对农民真挚的同情之心。
译解
粟∶熟菽＝50∶
，
答案＝
术解
所求熟大豆数＝粟数×207÷100＝4斗×207÷100＝8斗
升。
原文
〔一九〕今有粟二斗，欲为蘖。问得几何？
答曰：为蘖七斗。
术曰：以粟求蘖，七之，二而一。
译文
〔一九〕今有粟2斗，要换成酒曲。问能换得多少酒曲？
答：能换得酒曲7斗。
算法：已知粟数求酒曲数，用粟数乘以7，再除以2即可。
译解
粟∶酒曲（蘖）＝50∶175，
答案＝2斗×
＝20升×
＝70升＝7斗。
术解
所求酒曲数＝粟数×7÷2＝2斗×7÷2＝7斗。
吴越地区的堤坝 五代时期，南方各国都重视水利灌溉，注意改土治水，提高抵抗自然灾害的能力，使农业得到迅速的发展。当时，劳动人民利用水乡河身较高、田面较低的地势，在河渠两岸、农田周围修筑堤坝，内以围田，外以隔水。图为吴越地区的堤坝，被用以保护农田不受水灾的破坏。
原文
〔二〇〕今有粝米十五斗五升五分升之二，欲为粟。问得几何？
答曰：为粟二十五斗九升。
术曰：以粝米求粟，五之，三而一。
译文
〔二〇〕今有粝米15斗
升，要换成粟。问能换多少粟？
答：能换粟25斗9升。
算法：已知粝米数求粟数，用粝米数乘以5，再除以3即可。
译解
粝米∶粟＝30∶50，
答案＝
25斗9升。
宋代农耕图 宋真宗时期大兴水利，大面积开荒，农业发展迅速。并从占城引进耐旱、早熟的稻种，唐代平均亩产约1.5石，宋代约2石，比唐代高约30％。
术解
所求粝米数＝粟数×5÷3＝15斗
×5÷3＝25斗9升。
原文
〔二一〕今有粺米二斗，欲为粟。问得几何？
答曰：为粟三斗七升二十七分升之一。
术曰：以粺米求粟，五十之，二十七而一。
译文
〔二一〕今有粺米2斗，要换成粟，问能换得多少粟？
答：能换得粟3斗
升。
算法：已知粺米数求粟数，用米数乘以50，再除以27即可。
译解
粺米∶粟＝27∶50，
答案＝
。
术解
所求粺米数＝粟数×50÷27＝2斗×50÷27＝3斗
升。
原文
〔二二〕今有糳米三斗少半升，欲为粟。问得几何？
答曰：为粟六斗三升三十六分升之七。
术曰：以糳米求粟，二十五之，十二而一。
译文
〔二二〕今有糳米3斗
升，要换成粟。问能换得多少粟？
答：能换得粟6斗
升。
算法：已知糳米数求粟数，用糳米数乘以25，再除以12即可。
译解
糳米∶粟＝24∶50，
答案＝
。
术解
所求粟数＝糳米数×25÷12＝3斗
升×25÷12＝6斗
升。
原文
〔二三〕今有御米十四斗，欲为粟。问得几何？
答曰：为粟三十三斗三升少半升。
术曰：以御米求粟，五十之，二十一而一。
译文
〔二三〕今有御米14斗，要换成粟。问能换得多少粟？
答：能换得粟33斗
升。
算法：已知御米数求粟数，用御米数乘以50，再除以21即可。
计时工具 漏是古代一种计时器，又称“刻漏”和“漏壶”，是利用漏水或受水的方法来计量时间，前者称泄水型，后者称为受水型。泄水型漏壶是观测壶内水漏泄减少的情况来计算时间的，而受水型漏壶则是观测壶内流入水增加的情况来计算。图为兽耳八卦铜壶滴漏。
译解
御米∶粟＝21∶50，
答案＝
。
术解
所求粟数＝御米数×50÷21＝14斗×50÷21＝33斗
升。
原文
〔二四〕今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四，欲为粟。问得几何？
答曰：为粟一十斗五升九分升之七。
术曰：以稻求粟，五之，六而一。
译文
〔二四〕今有稻12斗
升，要换成粟。问能换得多少粟？
答：能换得粟10斗
升。
算法：已知稻数求粟数，用稻数乘以5，再除以6即可。
译解
稻∶粟＝60∶50，
答案＝
。
术解
所求粟数＝稻数×5÷6＝12斗
升×5÷6＝10斗
升。
原文
〔二五〕今有粝米一十九斗二升七分升之一，欲为粺米。问得几何？
答曰：为粺一十七斗二升一十四分升之一十三。
术曰：以粝米求粺米，九之，十而一。
译文
〔二五〕今有粝米19斗
升，要换成粺米。问能换得多少粺米？
答：能换得粺米17斗
升。
算法：已知粝米数求粺米数，用粝米数乘以9，再除以10即可。
译解
粝米∶粺米＝30∶27，
答案＝
。
术解
所求米数＝粝米数×9÷10＝19斗
升×9÷10＝17斗
升。
原文
〔二六〕今有粝米六斗四升五分升之三，欲为粝饭。问得几何？
答曰：为粝饭一十六斗一升半。
术曰：以粝米求粝饭，五之，二而一。
译文
〔二六〕今有粝米6斗
升，要换成粝饭。问能换得多少粝饭？
答:能换得粝饭16斗
升。
算法：已知粝米数求粝饭数，用粝米数乘以5，再除以2即可。
译解
粝米∶粝饭＝30∶75，
答案＝
16斗
升。
术解
所求粝饭数＝粝米数×5÷2＝6斗
升×5÷2＝16斗
升。
打谷 《天工开物》 插图 图为古代农民收割和舂打稻谷的情景。
原文
〔二七〕今有粝饭七斗六升七分升之四，欲为飧。问得几何？
答曰：为飧九斗一升三十五分升之三十一。
术曰：以粝饭求飧，六之，五而一。
译文
〔二七〕今有粝饭7斗
升，要换成稀饭。问能换得多少稀饭？
答：能换得稀饭9斗
升。
算法：已知粝饭数求稀饭数，用粝饭数乘以6，再除以5即可。
译解
粝饭∶飧（稀饭）＝75∶90，
答案＝
。
术解
所求稀饭数＝粝饭数×6÷5＝7斗
升×6÷5＝9斗
升。
原文
〔二八〕今有菽一斗，欲为熟菽。问得几何？
答曰：为熟菽二斗三升。
术曰：以菽求熟菽，二十三之，十而一。
译文
〔二八〕今有大豆1斗，要换成熟大豆。问能换得多少熟大豆？
答：能换得熟大豆2斗3升。
算法：已知大豆数求熟大豆数，用大豆数乘以23，再除以10即可。
译解
大豆∶熟大豆＝45∶
，
答案＝1斗×
＝10升×
＝2斗3升。
冶铁水排 冶铁水排是公元31年东汉南阳太守杜诗发明的，用于冶铁时鼓风。它是由立水轮、卧轴、拐木、偃本、皮橐排气管、吊杆等部件组成。这种以水为动力，利用杠杆和立水轮的机械原理制成的水排用力小，功效大，一直沿用至唐代。
术解
所求熟大豆数＝大豆数×23÷10＝1斗×23÷10＝2斗3升。
原文
〔二九〕今有菽二斗，欲为豉。问得几何？
答曰：为豉二斗八升。
术曰：以菽求豉，七之，五而一。
译文
〔二九〕今有大豆2斗，要换成豆豉。问能换得豆豉多少？
答：能换得豆豉2斗8升。
算法：已知大豆数求豆豉数，用大豆数乘以7，再除以5。
译解
大豆∶豆豉＝45∶63，
答案＝
＝2斗8升。
术解
所求豆豉数＝大豆数×7÷5＝2斗×7÷5＝2斗8升。
原文
〔三〇〕今有麦八斗六升七分升之三，欲为小
。问得几何？
答曰：为小
二斗五升一十四分升之一十三。
术曰：以麦求小
，三之，十而一。
《方圆阐幽》 书影 李善兰 清代 《方圆阐幽》为清代李善兰的数学著作。其内容是关于幂级数展开式方面的研究。书中提出“尖锥术”，并把“尖锥术”用于对数函数的幂级数展开；用求诸尖锥之和的方法来解决各种数学问题。
译文
〔三〇〕今有麦8斗
升，要换成细麦屑。问能换得多少细麦屑？
答：能换得细麦屑2斗
升。
算法：已知小麦数求细麦屑数，用小麦数乘以3，再除以10即可。
译解
麦∶小
＝45∶
，
答案＝
。
术解
所求细麦屑数＝小麦数×3÷10＝8斗
升×3÷10＝2斗
升。
原文
〔三一〕今有麦一斗，欲为大
。问得几何？
答曰：为大
一斗二升。
术曰：以麦求大
，六之，五而一。
译文
〔三一〕今有麦1斗，要换成粗麦屑。问能换得多少粗麦屑？
答：能换得粗麦屑1斗2升。
算法：已知小麦数求粗麦屑数，用小麦数乘以6，再除以5即可。
译解
麦∶大
＝45∶54，
答案＝1斗×
＝10升×
＝1斗2升。
术解
所求粗麦屑数＝小麦数×6÷5＝1斗×6÷5＝1斗2升。
原文
〔三二〕今有出钱一百六十，买瓴甓[1]十八枚。问枚几何？
答曰：一枚，八钱九分钱之八。
〔三三〕今有出钱一万三千五百，买竹二千三百五十个。问个几何？
答曰：一个，五钱四十七分钱之三十五。
经率术[2]曰：以所买率[3]为法，所出钱数为实，实如法得一钱[4]。
注释
[1]瓴甓（líng pì）：砖。
[2]经率术：古代称物品单价为“经率”。经率术，指物品单价的算法。
[3]所买率：所买物品的数量。
[4]一钱：每个物品值多少钱，即物品单价。
译文
〔三二〕今有人出钱160，买砖18块。问一块砖要多少钱？
答：一块砖
钱。
〔三三〕今有人出钱13500，买竹2350根，问每根竹要多少钱？
答：买一根竹需要用
钱。
物品单价的算法：用所买物数量作除数，所出钱的数量作被除数，两数相除得物品单价。
译解（“术解”与译解一致）
〔三二〕每一块砖价格为：160钱÷18＝
钱。
〔三三〕每一根竹价格为：13500÷2350＝
钱。
原文
〔三四〕今有出钱五千七百八十五，买漆一斛[1]六斗七升太半升。欲斗率之[2]。问斗几何？
答曰：一斗，三百四十五钱五百三分钱之十五。
〔三五〕今有出钱七百二十，买缣[3]一匹[4]二丈一尺。欲丈率之，问丈几何？
答曰：一丈，一百一十八钱六十一分钱之二。
〔三六〕今有出钱二千三百七十，买布九匹二丈七尺。欲以匹率之，问匹几何？
答曰：一匹，二百四十四钱一百二十九分钱之一百二十四。
〔三七〕今有出钱一万三千六百七十，买丝一石二钧[5]一十七斤。欲石率之，问石几何？
答曰：一石，八千三百二十六钱一百九十七分钱之一百七十八。
经率术曰：以所率[6]乘钱数为实，以所买率为法，实如法得一。
注释
[1]1斛＝1石＝10斗，1斗＝10升。
[2]欲斗率之：打算以斗为单位进行计算。
[3]缣（jiān）：一种细绢。
[4]匹：古代长度单位。1匹＝4丈，1丈＝10尺。
[5]钧：古代重量单位。1石＝4钧，1钧＝30斤。
[6]所率：所确定的折算单位。此处与题设中的“欲斗率之”“欲丈率之”“欲以匹率之”相呼应。“所率”指题设所确定的“一斗”“一丈”“一匹”等。
望远镜图 图为《崇祯历书》中的望远镜图。从中可以看出明代科技已受西方科技的影响，开始与世界接轨。
译文
〔三四〕今有人出钱5785，买漆1斛6斗
升，打算以斗计算。问1斗漆要多少钱？
答：1斗漆要
钱。
〔三五〕今有人出钱720，买缣1匹2丈1尺。打算以丈计算，问买1丈缣要多少钱？
答：1丈要
钱。
〔三六〕今有人出钱2370，买布9匹2丈7尺。打算以匹计算，问买1匹布要多少钱？
答：买1匹布要
钱。
〔三七〕今有人出钱13670，买丝1石2钧17斤，打算以石计算。问买1石丝要多少钱？
答：买1石丝要
钱。
物价单位算法：以折算单位乘钱数为被除数，以所买物的数量为除数，除数除被除数得出单价。
译解
〔三四〕1斛6斗
。
〔三五〕1匹2丈1尺＝
。
〔三六〕9匹2丈7尺＝
。
〔三七〕1石2钧17斤
。
术解
以卷第二题〔三四〕为例：
原文
〔三八〕今有出钱五百七十六，买竹七十八个。欲其大小率之[1]，问各几何？
答曰：其四十八个，个七钱。其三十个，个八钱。
〔三九〕今有出钱一千一百二十，买丝一石二钧十八斤。欲其贵贱斤率之。问各几何？
答曰：其二钧八斤，斤五钱。其一石一十斤，斤六钱。
〔四〇〕今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱石率之。问各几何？
答曰：其一钧九两一十二铢，石八千五十一钱。其一石一钧二十七斤九两一十七铢，石八千五十二钱。
〔四一〕今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱钧率之，问各几何？
答曰：其七斤一十两九铢，钧二千一十二钱。其一石二钧二十斤八两二十铢，钧二千一十三钱。
〔四二〕今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱钧率之，问各几何？
答曰：其一石二钧七斤十两四铢，斤六十七钱。其二十斤九两一铢，斤六十八钱。
〔四三〕今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱两率之，问各几何？
答曰：其一石一钧一十七斤一十四两一铢，两四钱。其一钧一十斤五两四铢，两五钱。
其率术[2]曰：各置所买石、钧、斤、两为法，以所率乘钱数为实，实如法而一。不满法者反以实减法，法贱实贵。其求石、钧、斤、两，以积铢各除法实，各得其积数，余各为铢。
50两银锭 中国古代货币。即熔铸成锭的白银。始自汉代，其后各代皆有铸造，但流通不广。至明代盛行，但不是国家法定银锭货币。至清始，作为主要货币流通。重量不等，因以“两”为主要重量单位，故又称银两。
注释
[1]欲其大小率之：拟分大小两种竹为单位进行计算。以竹数除钱数尚有余分，为便于找补，或舍弃奇零分数取不足近似整数为物价之“小者”，或收入奇零分数取过剩近似整数为物价之“大者”。大小二价钱相差为1。
[2]其率术：指贵贱二价的算法。
秦朝量制与衡制的换算
度量衡的统一标准战国时期，度量衡的使用相当混乱。秦朝为了保证国家的赋税收入，规定由中央和地方的各级政府统一制造度量衡器具，并在全国推行统一的度量衡标准。图为秦朝量制与衡制换算的表格示意图。
译文
〔三八〕今有人出钱576，买竹78根。拟分大、小两种竹为单位进行计算。问可买大、小竹各多少根？每根竹的单价各是多少钱？
答：可买小竹48根，每根单价7钱。还可买大竹30根，每根单价8钱。
〔三九〕今有人出钱1120，买丝1石2钧18斤，拟分贵、贱两种以斤为单位计算。问可买贵、贱丝各多少斤？每斤丝的单价是多少钱？
答：可买贱丝2钧8斤，每斤单价5钱。可买贵丝1石10斤，每斤单价6钱。
〔四〇〕今有人出钱13970，买丝1石2钧28斤3两5铢。拟按贵、贱两种以石为单位计算。问可买贵、贱丝各多少？每石丝的单价各是多少钱？
答：可买贱丝1钧9两12铢，每石单位8051钱。可买贵丝1石1钧27斤9两17铢，每石单价8052钱。
〔四一〕今有人出钱13970，买丝1石2钧28斤3两5铢。拟按贵、贱两种以钧为单位计算。问可买贵、贱丝各多少？每钧丝的单价各是多少？
答：可买贱丝7斤10两9铢，每钧价2012钱。可买贵丝1石2钧20斤8两20铢，每钧价2013钱。
〔四二〕今有人出钱13970，买丝1石2钧28斤3两5铢。拟按贵、贱两种以斤为单位计算。问能买贵、贱丝各多少？每斤丝单价多少？
答：能买贱丝1石2钧7斤10两5铢，每斤价67钱。能买贵丝20斤9两1铢，每斤价68钱。
〔四三〕今有人出钱13970，买丝1石2钧28斤3两5铢。拟打算按贵、贱两种以两为单位计算，问能购贵、贱丝各多少？贵丝、贱丝单价各多少？
答：能购贱丝1石1钧17斤14两1铢，每两4钱。能购贵丝1钧10斤5两4铢，每两5钱。
贵贱二价算法：各自列出所买物的石、钧、斤、两之数作为除数，以折算单位乘钱数作为被除数，用除数去除被除数。除之不尽者，则以被除数之余数（“实余”）去减除数，于是所得除数之余数（简称“法余”）即是贱者之数，而“实余”即为贵者之数，这就是“法贱实贵”。当其数要化为石、钧、斤、两，则以各单位所含铢数去除“法余”与“实余”，使得相应单位的量数、余数以铢为单位。
译解（“术解”与译解一致）
〔三八〕567钱÷78根＝7钱/根……余30钱，
因大竹比小竹多用1钱，由余数30可知买大竹30根，买小竹78根－30根＝48根。小竹每支7钱，大竹每支8钱。
〔三九〕1石＝120斤，1钧＝30斤，1石＝4钧，1斤＝16两，1两＝24铢。
1石2钧18斤（1×120＋2×30＋18）斤＝198斤，
1120钱÷198斤＝5钱/斤……余130钱，
因贵丝比贱丝每斤价多1钱，可知：
买贵丝：130斤＝4钧10斤＝1石10斤，买贱丝：198斤－130斤＝68斤＝2钧8斤，贵丝单价：6钱/斤，贱丝单价：5钱/斤。
〔四〇〕1石2钧28斤3两5铢＝
石。
13970钱÷
石＝8050钱/石……余68201钱。由余数68201钱可知：
可买贵丝：68201铢＝
石＝1石1钧27斤9两17铢，可买贱丝：1石2钧28斤3两5铢－1石1钧27斤9两17铢＝1钧9两12铢，贱丝单价：8501钱/石，贵丝单价：8502钱/石。
〔四一〕1石2钧28斤3两5铢＝79949铢＝
钧，13970钱÷
钧＝2012钱/钧……余77012钱，
因钧已化为铢，余数77012应与贵丝“铢”数相对应。由余数77012钱知：
可买贵丝：77012铢＝
钧＝1石2钧20斤8两20铢，可买贱丝：1石2钧28斤3两5铢－1石2钧20斤8两20铢＝7斤10两9铢，贵丝单价：2013钱/钧，贱丝单价：1012钱/钧。
〔四二〕1石2钧7斤10两4铢＝
斤，13970钱÷
斤＝67钱/斤……余7897钱。
因“斤”已化成“铢”计，余数7897钱应与贵丝“铢”对应，所以由余数7897钱可知：
可买贵丝：7897铢＝
斤＝20斤9两1铢，可购贱丝：1石2钧28斤3两5铢－20斤9两1铢＝1石2钧7斤10两4铢，贵丝单价：68钱/斤，贱丝单价：67钱/斤。
〔四三〕1石2钧28斤3两5铢＝
两，13970钱÷
两＝4钱/两……余15484钱，
因“两”已化为“铢”计，余数15484钱应与“铢”数相对应。所以由余数15484钱知：
能购贵丝：15484铢＝
两＝1钧10斤5两4铢，能购贱丝：1石2钧28斤3两5铢－1钧10斤5两4铢＝1石1钧17斤14两1铢，贵丝单价：5钱/两，贱丝单价：4钱/两。
原文
〔四四〕今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱铢率之，问各几何？
答曰：其一钧二十斤六两十一铢，五铢一钱。
其一石一钧七斤一十二两一十八铢，六铢一钱。
〔四五〕今有出钱六百二十，买羽二千一百翭[1]。欲其贵贱率之，问各几何？
答曰：其一千一百四十翭，三翭一钱。其九百六十翭，四翭一钱。
〔四六〕今有出钱九百八十，买矢簳[2]五千八百二十枚。欲其贵贱率之，问各几何？
答曰：其三百枚，五枚一钱。其五千五百二十枚，六枚一钱。
反其率术[3]曰：以钱数为法，所率为实，实如法而一。不满法者反以实减法，法少，实多。二物各以所得多少之数乘法实，即物数。
注释
[1]
（hóu）：箭矢。
[2]矢
（gǎn）：箭杆。
[3]反其率术：卷第二题〔四三〕后有“其率”，“其率”是求贵贱物品每一单位值几钱，而“反其率”则是求一钱能买多少物品，恰与“其率”相反，故称“反其率”。
《则古昔斋算学》书影 李善兰 清代 《则古昔斋算学》是清李善兰的13种数学、科学著作的总集。其子目为《方圆阐幽》一卷、《弧矢启秘》二卷、《对数探源》二卷、《垛积比类》四卷、《四元解》二卷、《麟德术解》三卷、《椭圆正术解》二卷、《椭圆新术》一卷、《椭圆拾级》三卷、《火器真诀》一卷、《对数尖锥变法解》一卷、《级数回求》一卷及《天算或问》一卷。它代表了中国传统数学的最高成就。
译文
〔四四〕今有人出钱13970，买丝1石2钧28斤3两5铢。拟按贵、贱两种以铢为单位计算。问可购得贵、贱丝各多少？每钱可购得贵、贱丝各多少铢？
答：可购得贵丝1钧20斤6两11铢，每钱可购5铢。可购得贱丝1石1钧7斤12两18铢，每钱可购6铢。
〔四五〕今有人出钱620，买箭矢2100支。打算按贵贱两种价计算，问可购得贵、贱箭矢各多少支？每钱可购得贵、贱箭矢各多少支？
答：可购得价格贵的箭矢1140支，每钱可购得3支。可购得价格贱的箭矢960支，每钱可购得4支。
〔四六〕今有人出钱980，买贵、贱两种不同的箭杆5820支，打算按贵、贱两种价计算。问分别购得贵、贱两种箭杆各多少支？每钱可购得贵、贱箭杆各多少支？
答：可购得贵箭杆300支，每钱可购得5支。可购得贱箭杆5520支。每钱可购得6支。
求一钱能买多少物品的算法：以钱数作为除数，以所买物数作被除数，用除数去除被除数得一结果。除之不尽，则以被除数之余数（实余）去减除数，于是所得除数之余数（法余）即是少者之数，被除数之余数即是多者之数，这就是“法少”“实多”。以每钱买物两种多少之数去分别乘“法余”与“实余”，即得相应之物数。
丁桥织机 丁桥织机是一种多综多蹑的织机，古称“绫机”，约发明于先秦战国时期，在汉唐时代非常盛行，是古代四川织锦艺人用来织造古蜀锦的专用提花丝织机。因为这种织机的脚踏板上布满了竹钉，形状像河面上依次排列的过河石墩“丁桥”，所以被称为“丁桥织机”。这种织机在近代仍被用来生产花绫、花锦、花边等织品。
译解（“术解”与译解一致）
〔四四〕1石2钧28斤3两5铢＝79949铢，
79949铢÷13970钱＝5铢/钱……余10099铢，
由此可知，每钱5铢是贵丝的价格，每钱6铢是贱丝的价格。
故贱丝重：10099钱×6铢/钱＝60594铢＝1石1钧7斤12两18铢，贵丝重：1石2钧28斤3两5铢－1石1钧7斤12两18铢＝1钧20斤6两11铢。
〔四五〕2100支÷620钱＝3支/钱……余240支，
由此可知，每钱3支是价格贵的箭矢，每钱4支则是价格贱的箭矢。
可买价贱的箭矢数：240钱×4支/钱＝960支，可买价贵的箭矢数：2100支－960支＝1140支。
〔四六〕5820支÷980钱＝5支/钱……余920支，
由此可得，每钱5支是贵箭杆的价格，每钱6支是贱箭杆的价格。
贱箭杆数：920钱×6支/钱＝5520支，贵箭杆数：5820支－5520支＝300支。