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二叉搜索树的这些你都会了吗？

🏷️ Java架构师CAT ✍️ 北京动力节点教育科技有限公司Java讲师 📅 2026-03-15T14:01:58+00:00

树结构

在计算机科学中，树（英语：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。

二叉树

二叉树（英语：Binary tree）是每个节点最多只有两个分支（即不存在分支度大于2的节点）的树结构。通常分支被称作“左子树”或“右子树”。二叉树的分支具有左右次序，不能随意颠倒。

二叉搜索树（Binary Search Tree）

二叉查找树相比于其他数据结构的优势在于查找、插入的时间复杂度较低。为O(log n)。二叉查找树是基础性数据结构，用于构建更为抽象的数据结构，如集合、多重集、关联数组等。

  1. 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；
  2. 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；
  3. 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树；
  4. 没有键值相等的节点。

java实践

1. 简单书写

ps:这里要注意一点，由于二叉搜索树要求存入的元素必须有可比性，所以我们选择继承Comparable,让泛型具有可比性。我们这里的二分搜索树是假定不允许有相同元素存在的，当然你要允许也不影响

public class BST<E extends Comparable<E>> {
 private class Node {
 public E e;
 public Node left, right;
 public Node(E e) {
 this.e = e;
 left = null;
 right = null;
 }
 }
 private Node root;
 private int size;
 public BST(){
 root = null;
 size = 0;
 }
 public int size(){
 return size;
 }
 public boolean isEmpty(){
 return size == 0;
 }
}

2. 添加新元素

这里用到递归性要好实现一些，递归要先考虑递归的终止条件，然后再书写递归的函数。

 // 向二分搜索树中添加新的元素e
 public void add(E e){
 if(root == null){
 root = new Node(e);
 size ++;
 }
 else
 add(root, e);
 }
 // 向以node为根的二分搜索树中插入元素e，递归算法
 private void add(Node node, E e){
 if(e.equals(node.e))
 return;
 else if(e.compareTo(node.e) < 0 && node.left == null){
 node.left = new Node(e);
 size ++;
 return;
 }
 else if(e.compareTo(node.e) > 0 && node.right == null){
 node.right = new Node(e);
 size ++;
 return;
 }
 if(e.compareTo(node.e) < 0)
 add(node.left, e);
 else //e.compareTo(node.e) > 0
 add(node.right, e);
 }

优化策略

这里我们把NUll看成一个树，就不需要管

if(root == null){
 root = new Node(e);
 size ++;
			}

这个条件了

// 向二分搜索树中添加新的元素e
 public void add(E e){
 root = add(root, e);
 }
 // 向以node为根的二分搜索树中插入元素e，递归算法
 // 返回插入新节点后二分搜索树的根
 private Node add(Node node, E e){
 if(node == null){
 size ++;
 return new Node(e);
 }
 if(e.compareTo(node.e) < 0)
 node.left = add(node.left, e);
 else if(e.compareTo(node.e) > 0)
 node.right = add(node.right, e);
 return node;
 }

3. 查找元素

和插入类似

// 看二分搜索树中是否包含元素e
 public boolean contains(E e){
 return contains(root, e);
 }
 // 看以node为根的二分搜索树中是否包含元素e, 递归算法
 private boolean contains(Node node, E e){
 if(node == null)
 return false;
 if(e.compareTo(node.e) == 0)
 return true;
 else if(e.compareTo(node.e) < 0)
 return contains(node.left, e);
 else // e.compareTo(node.e) > 0
 return contains(node.right, e);
 }

4. 遍历操作

深度优先遍历

深度优先遍历的基本思想：对每一个可能的分支路径深入到不能再深入为止，而且每个结点只能访问一次。深度优先遍历的非递归的通用做法是采用栈。要特别注意的是，二分搜索树的深度优先遍历比较特殊，可以细分为前序遍历、中序遍历、后序遍历。1.前序遍历：先访问当前节点，再依次递归访问左右子树 ，访问到前面节点才继续 2.中序遍历：先递归访问左子树，再访问自身，再递归访问右子树，访问到中间节点才继续 3.后序遍历：先递归访问左右子树，再访问自身节点，访问到后面节点才继续

例如，对于下面的这个二分搜索树，其前序遍历结果是：28 16 13 22 30 29 42，其中序遍历结果是：13 16 22 28 29 30 42，其后序遍历结果是：13 22 16 29 42 30 28。分为前序遍历，中序遍历，后序遍历

  1. 前序遍历 
 public void preOrder(){
 preOrder(root);
 }
 // 前序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
 private void preOrder(Node node){
 if(node == null)
 return;
 System.out.println(node.e);
 preOrder(node.left);
 preOrder(node.right);
 }

2.中序遍历

 public void inOrder(){
 inOrder(root);
 }
 // 中序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
 private void inOrder(Node node){
 if(node == null)
 return;
 inOrder(node.left);
 System.out.println(node.e);
 inOrder(node.right);
 }

3.后序遍历

 public void postOrder(){
 postOrder(root);
 }
 // 后序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
 private void postOrder(Node node){
 if(node == null)
 return;
 postOrder(node.left);
 postOrder(node.right);
 System.out.println(node.e);
 }
  1. 非递归实现前序遍历 先把root节点压入其中，再取出节点，取出节点后，我们再看该节点有无左右子树，有则压入，无则取出下一个节点，这里注意一点，由于栈是先入后出，所以这里先压右子树，再压左子树。
 public void preOrderNR(){
 if(root == null)
 return;
 Stack<Node> stack = new Stack<>();
 stack.push(root);
 while(!stack.isEmpty()){
 Node cur = stack.pop();
 System.out.println(cur.e);
 if(cur.right != null)
 stack.push(cur.right);
 if(cur.left != null)
 stack.push(cur.left);
 }
 }

广度优先遍历

深度优先遍历的基本思想：从上往下对每一层依次访问，在每一层中，从左往右（也可以从右往左）访问结点，访问完一层就进入下一层，直到没有结点可以访问为止。广度优先遍历的非递归的通用做法是采用队列。从根节点开始入队，出队后，该节点有无左右子树，有则从左到右一个个入队，然后再从队列里出队

 public void levelOrder(){
 if(root == null)
 return;
 Queue<Node> q = new LinkedList<>();
 q.add(root);
 while(!q.isEmpty()){
 Node cur = q.remove();
 System.out.println(cur.e);
 if(cur.left != null)
 q.add(cur.left);
 if(cur.right != null)
 q.add(cur.right);
 }
 }

5. 删除节点

删除节点比较麻烦，这里进行拆解

删除最大最小值

先寻找二分搜索树的最小（大）元素，看改节点左（右）子树是否为空，若为空，则为最小（大）元素

再进行删除，1，该节点无左右子树，自接进行删除 2，该节点有左（右）子树，删除后进行拼接（类似于链表删除节点的拼接）

 // 寻找二分搜索树的最小元素
 public E minimum(){
 if(size == 0)
 throw new IllegalArgumentException("BST is empty");
 Node minNode = minimum(root);
 return minNode.e;
 }
 // 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
 private Node minimum(Node node){
 if( node.left == null )
 return node;
 return minimum(node.left);
 }
 // 寻找二分搜索树的最大元素
 public E maximum(){
 if(size == 0)
 throw new IllegalArgumentException("BST is empty");
 return maximum(root).e;
 }
 // 返回以node为根的二分搜索树的最大值所在的节点
 private Node maximum(Node node){
 if( node.right == null )
 return node;
 return maximum(node.right);
 }
 // 从二分搜索树中删除最小值所在节点, 返回最小值
 public E removeMin(){
 E ret = minimum();
 root = removeMin(root);
 return ret;
 }
 // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
 // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
 private Node removeMin(Node node){
 if(node.left == null){
 Node rightNode = node.right;
 node.right = null;
 size --;
 return rightNode;
 }
 node.left = removeMin(node.left);
 return node;
 }
 // 从二分搜索树中删除最大值所在节点
 public E removeMax(){
 E ret = maximum();
 root = removeMax(root);
 return ret;
 }
 // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最大节点
 // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
 private Node removeMax(Node node){
 if(node.right == null){
 Node leftNode = node.left;
 node.left = null;
 size --;
 return leftNode;
 }
 node.right = removeMax(node.right);
 return node;
 }


删除任意元素

1.该节点有左（或者右）子树或者无子树为空，删除后进行拼接（类似于链表删除节点的拼接） 2.删除左右子树都有的节点，这里采用Hibbard Deletion方法。先删除该节点，对查找出该节点的左子树的最大（右子树的最小）元素（这里就可以复用上面的代码），然其代替该删除的节点

 // 从二分搜索树中删除元素为e的节点
 public void remove(E e){
 root = remove(root, e);
 }
 // 删除掉以node为根的二分搜索树中值为e的节点, 递归算法
 // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
 private Node remove(Node node, E e){
 if( node == null )
 return null;
 if( e.compareTo(node.e) < 0 ){
 node.left = remove(node.left , e);
 return node;
 }
 else if(e.compareTo(node.e) > 0 ){
 node.right = remove(node.right, e);
 return node;
 }
 else{ // e.compareTo(node.e) == 0
 // 待删除节点左子树为空的情况
 if(node.left == null){
 Node rightNode = node.right;
 node.right = null;
 size --;
 return rightNode;
 }
 // 待删除节点右子树为空的情况
 if(node.right == null){
 Node leftNode = node.left;
 node.left = null;
 size --;
 return leftNode;
 }
 // 待删除节点左右子树均不为空的情况
 // 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
 // 用这个节点顶替待删除节点的位置
 Node successor = minimum(node.right);
 successor.right = removeMin(node.right);
 successor.left = node.left;
 node.left = node.right = null;
 return successor;
 }
 }

原文：https://mp.weixin.qq.com/s/DWguYPi3Y3cBIPB7qa8Rqg

作者： 原映雪

来源：微信公众号

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