数学的理解 一般性原理 19 存在性公理和连续统假设
籍连续性公理，实数的逻辑完备性被赋予直线。可是，这样的直线存在吗？
我们看一看直线段的长度是怎么来的。任取长度为 L （L＞0）的一段直线，显然线段的长度是由组成线段的点贡献的。要对几何点进行数学操作（运算，或变换），就必须给点以数学的定义。
不少人的认知里，点是没有大小的，其度量（长度、面积、体积）为零。如果真是这样，长度为零的点，不管有多少个点的长度累加，结果总归还是零。可见这样的认知是有问题的。点肯定是有大小的，要不然线段的长度从何而来呢！那么，一个点的长度是多少呢？这却是一个不可知的量！
点有大小，其值不可知！
设点的长度为 δ， δ＞0，否则如果 δ＝0 的话，线段 L 的长度必然为 0 了；但是点的长度又必须“足够小”，否则线段 L 的长度就会无穷大。要给点以数学定义，关键是如何在数学上定义“足够小”呢？
“足够小”是用一个动态的过程来界定的：无论你说得怎么小，它比你说的还要小。这就是极限是思想。
对于任意的 ε＞ ，无论ε 有多小，恒有0＜δ＜ε。这样一个动态的过程，叫做极限过程，或者简称极限。数学上记作（ε大于0且趋于0时δ 的极限等于 0）：
极限过程意味着无限接近但永远不能抵达。
那条连续的直线，看不到摸不着。可是若因此否认它的存在，等于是拒绝逻辑完备性，数学就变得无立锥之地。所以我们必须假定或者承认它的存在，这就是著名的存在性公理：那条连续的直线是一个极限的存在。
我们承认它的存在，但是却画不出来。画出来的，就不是那条直线了。
有了几何点的极限定义，线段的长度就可以极限的形式计算：
括号中的两项，分别为 有理点集 和 无理点集 对线段长度的贡献。可以去掉括号，分别对这两项先求极限再求和：
式②中有理点集项的贡献，由归纳公理的推论数学归纳法，允许求和号和极限符号交换位置，即先求和再求和的极限，等于先求极限再求和：
有理点集对线段L长度的贡献居然为0！再把 ③ 带回到 ② 式，结果
④式表明，一方面，对于不可数点集，极限符号和求和号是不能交换先后顺序的，若不然其结果也必然为0了，这意味着归纳公理在这儿失灵了；另一方面，线段长度 L 完全是无理点集的贡献。
由于 L 的任意性，不可数多个点相加的结果，可以等于任何一个指定的非负的实数，包括零。而可数多个点的长度相加的结果，尽管也是无限多个点相加，却永远等于零。这些意味着，在不可数的无穷世界里，既无法基于归纳法公理进行逻辑推理，也是无法进行计算的，你只能指定而不能计算！
由上可知，有理点集 和 无理点集 都是 无限集合，但是它们有着本质的区别！或者一般地讲，可数集合 和 不可数集合有着本质的不同，也就是 不可数集合的势 必定远远大于 可数集合的势。
连续统假设
基于二元逻辑法则，我们构建了逻辑完备的实数系。借助连续公理，把实数系的逻辑完备性原封不动地移植到了几何体系当中。我们也知道了无限集合存在可数无限集合，也存在不可数无限集合。但是我们不知道是否存在势严格介于可数无限集合的势和不可数无限集合的势之间的集合。一方面，我们迄今没有发现这样的无限集合；另一方面，二元逻辑法则使我们倾向于否定这种集合的存在性，从而使得无限集合也具备逻辑完备性。而这是通过叫做“连续统假设”的一个公理来设定的。
连续统假设：不存在势 严格 介于 可数无限集合的势 和 不可数无限集合的势 之间的 集合。
于是，无限集合的势，要么等于自然数集的势，要么等于无理数集的势，二者必居且只居其一。这样一来，我们也知道了实数集的势等于无理数集的 势。