原创 张奠宙 郑正亚 数学竞赛的那些事儿
（本文为张奠宙、郑正亚两位教授所写，原名为《数学教育争鸣十题》）
数学和数学教育的历史可以说一样长，
但是，数学早已形成系统完整的理论，而数学教育理论仍在襁褓之中，世上至今没有一部公认的权威的“数学教育学”，正因为如此，数学教育中的争论应该特别多，
在国外，数学教育学派林立，新口号新观点不断涌现，彼此的交流讨论十分活跃；相比之下，国内的数学教育界少有争鸣，比较沉寂。鉴于此，本文想提出一些不同的意见，开展争鸣，欢迎同行提出不同看法，进行商榷，
俗话说：“不打不相识”，
形成有中国特色的数学教育理论，需要不同意见的切磋琢磨。
一、要探索数学教育的特定规律，不要走“教育学+数学例子”的路子
数学教育是一般教育的一部分，当然受一般教育规律的支配，
但是，数学教育学要研究的是数学教育的特殊规律，应该突显教学教育的特色，翻开一些著作，其中提到“数学教学原则时”，只是“抽象与具体相结合”“分析与演绎相结合”“教师主导作用与学生主体学习相结合”等等，这似乎是在读一般教育学，其意义就不很大了。
且看国外提出的口号：“大众数学”“数学问题解决”“非形式化原则”“计算机辅助数学教学”等等，都是数学教育*特中**有的问题，循此路子下去，终有一日会形成数学教育的特有规律。
弗赖登塔尔提出的数学教学原则是：①“培养学生的数学现实”，②“发展学生教学化能力”，③“学生创造数学”，④“适度严谨性”，这些提法都是数学教育所特有的，因而受国际同行尊重，并被反复引用。
一般理论加数学例子的做法，在数学方*论法**的著作中也有体现，如果还是分析综合、演绎归纳、联想类比这种一般的科学方*论法**内容，称之为数学方*论法**，恐怕不太合适罢！
徐利治先生提倡RMI原理，受到广泛欢迎，正因为它是数学教育所特有的，所有才有很强的生命力。
二、不要过分渲染“逻辑思维能力”
我国在数学教育论上的一大创造，便是三大能力的提出，即要培养运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力。
这三条，绝不是“教与学”加“数学例子”，确实为数学教育所特有，其概括的简洁与精确，将是数学教育理论中的精品，当然，三大能力之外，还应该提倡培养用数学意识和方法解决实际问题的能力，这在新的九年义务教学大纲中已有强烈体现，这里不赘。
现在，还有一种说法是：“三大能力中的核心是逻辑思维能力”，对此我不敢苟同，我曾和许多同志交换过看法，他们觉得数学教育的价值就是培养人的逻辑思维能力，至于有用无用，不必讨论。
中学数学无非是锻炼思维的体操，谈应用就会走上实用主义的道路，乃是一种短视行为，我觉得这种观点是有害的，
理由有三，①数学不等于逻辑，数学是生动活泼的模型和思想，方程是平衡的模型，函数是变化的模型，结构思想、向量观点、随机理念、计算机功效等等都不是逻辑可以推出来的。数学比逻辑要丰富得多，学习数学可以培养学生的逻辑思维能力不过是重要的副产品，并非第一位的目的。②逻辑思维只是思维能力的一种，它到处有用，但范围有限，一个人若只会逻辑思维，单一运用逻辑语言，那便会成为形而上学者，书呆子，一些迷恋数学的学生常常会觉得物理学、化学等学科“不严格”，因而不愿去学，就是因为太相信“逻辑”的功能了，在某种意义上，这样的学生已是错误数学教育的受害者。③数学创造主要不是靠逻辑，逻辑演绎只是同语反复，出现一个个的重言式，你要创造，必须提出新的概念，添加新的对象，创立新的方法，只在逻辑圈子里打转不会有新东西出来，
所以，著名数学家、菲尔兹奖获得者小平邦彦甚至说：“我认为数学和逻辑没有关系”，这已是极而言之了。
三、“严谨性与量力性相结合”的提法不够准确
关于数学的特点，我曾经写过文章，对抽象性、严谨性、广泛应用性这三条提出质疑。我的意思是这三条不够准确，没有指出数学抽象的特点，没有指出严谨性适用的范围，如果一味地讲抽象、严谨，除了把不喜欢数学的孩子们吓跑之外，并不能给数学教育带来多少好处。
数学的内容如此丰富多彩，生动活泼，为什么非要众口一词地念叨“抽象”“严谨”不可呢？在此基础上发展一下，丰富一下，使之更吸引人，更加准确，总是没有坏处的罢！
现在来谈“严谨性与量力性”的数学教学原则，这一条具有数学特点，应予肯定，但是严谨性的问题并不是简单的年龄特征问题，不仅是量力而行的问题，而且是如何评价严谨性，什么是严谨性的标准，以及是否处处需要严谨的问题。
首先，不严谨的数学也是数学，
许多数学在刚创立时往往是不严谨的，如果拿20世纪的数学严格性来衡量，中国古代数学根本没有严格证明，牛顿发明的微积分毫无严格基础，欧拉也成了“不严格”的数学家，但是谁能否认中国古代数学成就以及牛顿、欧拉的数学功绩呢？评判一项数学成果的价值，不能仅仅从严格性着眼。因此，严谨性并非只是孩子们的接受能力高低问题，而是数学本身固有的现象。
其次，现今的中学数学根本做不到完全严谨，数学逻辑学家罗素和怀特要证1+1＝2，花了300多页，这样的严谨性谁能受得了，希尔伯特的《几何基础》是完全严谨的，可是大多数数学教师并不能做到这样的严谨，我们只能做到局部严格，因此，并不是“教师”、“教材”都能做到严格，只是学生年龄太小，才故意降低严格程度，事实是，老师、学生都做不到真正的严谨！
第三，数学活动不需要完全严格，我们研究数学，进行数学教学，从来不是在绝对严格的环境内进行的，不懂希尔伯特的《几何基础》中的严密性，照样可以教几何，照样可以发表数学论文，所以，中学教材中的严密性，是按人们的需要而设计的，并不仅是考虑学生的可接受性。
因此，数学教学的原则应该是适度的严谨性，
这个度，是根据数学本身需要，社会对数学严谨性的要求，以及学生年龄特征等综合确定，因时因地而异，经常在改变着，不要把严格性吹得神乎其神，也不要怕别人扣“不严格”的帽子，问题要看你的“严格性”是否适度，是否恰当。
四、淡化形式，注重实质
这一问题和严格性有密切联系，自从20世纪50年代学习苏联以来，中国数学教材的内容大幅度地严密化了，严谨的标准便是形式主义，追求形式上的完美，保持教学语言的形式逻辑严格要求，
总的来说，这是一个进步，但是过分的形式化，带来繁琐、雕琢的毛病，反过来抑制了生动活泼的数学思维，这方面，陈重穆教授已作了精辟的论述（见文［3］），真可谓鞭辟入里，下面所引入的许多例子，都是来自该文。
形式化的一个表现是什么都要来个定义，按形式逻辑的要求，属加种差是最常用的定义形式，于是“方程”要有严格定义：“含有未知数的等式叫作方程”，学生们必须背出来，而且要考，这就大可不必了，试问ax=b中，a、b是不是未知数，0＊x=0，x-x=0算不算含未知数？x+1=x+2是不是等式？
总之，可以没完没了地和你“抬杠”。其实，在中学里许多名词不必正式定义，说明一下就可以了，淡化处理为好，弗赖登塔尔在华东师大讲学时说，椅子这个概念人人都懂，描写可以，但下严格定义十分困难，即使有了严格定义，也不好用，何必呢？
人们在分类时，要求不重不漏，本来是对的，可是有人硬要将三角分为“等边三角形”“等腰三角形”和“不等边三角形”三类，后者岂不是画蛇添足？有何意义？报刊上也见讨论0是不是虚数之类的问题，都是企图走向划一的形式主义道路。
以上种种，都是追求形式的花架子，应该谈化。学好数学，主要是抓住数学思想，形成数学观念，掌握数学技能，不要被那些无关宏旨、貌似高深的问题所左右，以免浪费精力。
有人说“形式化的严谨性”是悬在数学教师头上的一把剑，
一旦被人从形式逻辑上找出破绽，指为“不严格”“犯科学系错误”，那真是奇耻大辱，可能一辈子抬不起头来。当然，逻辑上真有毛病，当然要改过来，诚恳接受批评，问题是有些批评属于吹毛求疵，对课堂上的自然语言横加挑剔，结果弄得许多教师（特别是青年教师）谨小慎微，使生动活泼的思想淹没在形式的海洋里中。
适度的“非形式化”是国际上同行的数学教育原则之一，
讲微积分不用ε—N方法，讲概率不从排列组合开始，应是完全正常的事，但在形式主义者看来，就是“不严格”“误人子弟”“烧夹生饭”，这样下去，现代化的数学内容怎样到中学里去？
现在的九年义务制大纲，还保留着形式演绎的某些过分要求，例如初中生不接触立体几何，说那是高中的事，可是大多数学生是不升高中的，他们一生就永远接触到天天接触的地球，建筑等立体几何内容了，这岂非作茧自缚？
五、布鲁姆的目标教学可能导向“数学八股”
布鲁姆的教育目标分类创立于20世纪50年代初，其目的是为了协调大家对“理解”“掌握”“运用”等词语的含义，给出统一的理论框架，因此，这一理论从一开始就是为考试而服务的。它在美国得到一些响应，但并未形成共识，另一方面，荷兰的弗赖登塔尔对它提出了许多质疑和批评，认为这一理论只适用社会科学和人文科学，不适合数学，特别是把整个知识看成一些知识点的总汇，缺乏整体认识，仍是它的致命弱点。（见文［4］）
然而，80年代的中国，布鲁姆理论却风行一时，究其原因，自然是应试教育的需要，说得不好听一点，布鲁姆的教育目标分类理论为中国的应试教育提供了美丽的科学外衣。
在这一理论指导下，整个数学被分解为若干知识点，按照目标要求出题，教师就把知识点按考试要求列出考点，按重要性配备数量不等的练习题。
既然目标明确，就大运动量训练，对号入座，刻意模仿，记忆程式，以求考试成功。出考题者则以知识点的覆盖面大为要求，所以试题越来越多，题量越来越大，学生见题就套，必须不假思索就能回答才好，因为根本没有时间让你思考。这样一来，考者和应考者都在知识点上做文章，年年如此，知识点前，人人平等，中国现*考代**试的格局由此形成。
我们不想对布鲁姆的理论发表评论，而是想就这种考试模式发表意见。国家考试中心杨学为主任曾说，中国的封建科举也曾经考过策论，诗词等很实用的科目，但是后来为了“客观公正”，便拟出了“起承转合”的要求，形成八个“考点”，大家就在这八个点上作同样的文章，这便是明清以后的八股文，中国高考如果不是考能力，而是考知识点，那就难免会与考八股文殊途同归。
因此，我想到，布鲁姆的教育目标理论如果被用来指导数学“知识点”“考点”的安排，那就会被异化为“数学八股”！把布鲁姆理论用来为“应试教育”提供理论依据，是否把人导入了误区？
六、正视“数学的应用”
中国的数学教育，似乎已经将数学应用的意识失落了，虽然在讲数学特征时总忘不了带上一句“数学的广泛应用性”，实际上却再也不研究数学究竟如何用于其他学科和日常生活，一个突出的例子是：社会主义市场经济已经列入宪法多年，中学数学却无丝毫反映，是不是神经已经麻木了？
究其实质，还是有许多思想障碍，
其一，正因为数学有“数学广泛性”，到处都可用，毕业以后总有用，学好理论自然有用，因此，不必教应用。
其二，*革文**时期讲应用，失败了，应用就是实用主义，忽视基础理论谁讲应用谁倒霉，何必讲应用？
其三，考试不能考应用，数学试卷不能出现数学以外的名词和知识，否则，究竟是考学生的数学还是考别的知识？既然不能考应用，当然不必教应用。
其四，数学应用太简单，用不着深入的数学知识。既然“应用”如此容易，不教也会用，所以无需教应用。
其五，谁说没有数学应用？行程问题，浓度问题，年龄问题，工程问题，多得很，我们不管哪些真有用，哪些假有用。
其六，最保险的是数学内部的应用，三角在几何中应用，复数在几何中应用，几何在代数中的应用等都是，应用就是运用，何必一定要在实际生活中应用？
还可以举出一些，总而言之，就是反对在其他学科和日常生活中运用数学知识，上述理由都是不想搞应用的遁词，根本站不住，不值得认真反驳。
还是谈谈社会主义市场经济，据调查，初中毕业生半数不会填银行单据，不懂复利，不理解利润，看不懂股票走势图，弄不清有奖销售的概率，更不会计算分期付款，扪心想一想，这样搞数学教育，将置全民的数学素质于何地？对得起父老乡亲吗？
搞数学的应用教育，非不能也，仍不为也，数学教育理论若不正视这一问题，不给予充分的研究，实在不能成为真正的理论。
七、数学后进生问题应在教学教育学中占有重要位置
迄今为止的我国数学教育著作中，很少提及数学后进生的问题，这是由于英才教育观占导的缘故。在九年义务教育制度之前，教育实行淘汰制，数学更是一把筛子，优良的“谷粒”留下，差劣的“秕糠”扬弃，天经地义，所谓的数学教育无非是帮助学生过“筛子”，即应试。
现在不同了，按义务教育法，所有儿童都必须读满九年，至少在这九年内，“谷粒”和“秕糠”同存，而且必须一视同仁，这一重大转变，必然要反映到数学教学的理论中来，工业化国家在五六十年代经历过的事，现在轮到我们这个十多亿人口的大国来实现了，作为数学教育理论研究，必然把立足点移到全民素质教育上来，“大众数学”的口号必须付诸实现。
在大城市，这一趋势十分明显，上海长宁区的“活动教学”给我留下深刻印象，他们讲坐标系，就用两根塑料绳在课堂上以某同学为原点拉成坐标架，然后让每个同学找出自己的坐标，这比在黑板上画两条垂线的灌输型教学要高明得多，特别是后进生，据说，这种活动已积累了许多种，我预计，它将代表着未来数学教育的一种趋势。
报刊上，常见引用斯托利亚尔的话说：“数学教学是数学活动的教学”，但是，看上下文的意思，数学活动就是学生坐在课桌上做练习，开动脑筋思考，
这对中等以上学生当然可以进行，但对后进生，就不见行得通，必须真正地活动起来，把教室弄得活泼热闹，才能更好地调动起后进生的积极性。
八、有关数学史教学不能老是讲比西方早多少年
近年来，为了贯穿爱国主义教育。常常要介绍中国数学史上的人和事，这无疑是很有必要的，但是，我所看到的材料，最终的落脚点，都是把中国古代数学家的成就，说成比西方早多少年。
《九章算术》系统叙述分数，比西方早1400年，祖冲之发现π的密率为355／113，比西方早1100年，贾宪三角比阿拉伯人早300年，等等。这样做，当然也是必要的，但是用这种方式进行爱国主义教育，恐怕远远不够，数学成果如此之多，只在某几点上比外国人早若干年，岂非其他成果都比别人晚多少年吗？仔细一想，就会感到它不能激励多少爱国主义热忱。
正确的态度应该是将科学进步看成人类共同努力的成果，不要分迟早，但是要讲贡献。
中国古算的成就，总的来说，晚于埃及、巴比伦和古希腊，但这并不是说中国古算成绩不大，相反，按照吴文俊先生的看法，中国古算有它自己的特点：讲究实用，突出原理，注重算法代数和几何相互渗透，位置记数方法，等等。
这些特点，正是中国古算对人类文明的贡献，深入挖掘这些西方数学所没有的东西，才能真正贯彻爱国主义教育，产生民族自豪感。
九、计算器（机）的使用
这又是我国数学教育研究的薄弱环节，在计算器的使用上，上海新编教材已正式列入，人民教育出版社的教材也在提倡使用，但终因考试不能用计算器而未能付诸实施。不过，也听到有人担心：“用了计算器将来不会心算、笔算了怎么办”？我想这种担心是多余的，正像发明了汽车不必担心人脚会退化一样，计算器（机）是人脑的延长，只会提高人脑的效率，而不是相反。
我参加过多次数学教育会议，分组活动时，最大的一组必定是计算器（机）在数学教学中的应用。在这一组里，交换软件，相互展示，十分热闹，中国学者在这方面没有什么发言权。
我有时在想，高科技在现今数学教育中的运用已相当深入，而我们仍固守人工计算，原地踏步不前，这似乎像大年用大刀长矛对付火炮火枪一样，虽然功夫了得，但却仍然败下阵来，
我们纵然可以拿奥林匹克数学竞赛冠军，到头来却在技术使用上落在后面，岂不是又要挨打？居安思危，还是未雨绸缪的好（其实雨已下得不小了）。
十、最后，谈谈选题和文风问题
近几年来，可说是数学教育著作出版的黄金时期，各种作品如雨后春笋，一片繁荣景象，其中确有许多真知灼见，汇集起来，当是有相当分量的工作，不过，若从高要求来看，也有一些不足之处，依个人管见，似有以下诸点值得改进（包括作者自己）：
（1）缺乏科学形态。一种科学论文或论著，总是在前人的基础上有所改进，因此，必须要引别人的论著，说明哪些是自己的见解，哪些是别人已有的，不能把别人的东西随意拿来。从版权角度，是版权利益问题，从繁荣科学角度，这是鼓励书人创造，尊重别人劳动的学术环境问题。
（2）缺乏细致论证。如果谈做数学题，必须严格论证，那么理应迁移到数学教育研究上来，但与此相反，有的作品随意谈感想，不加论证，有的作品举出一个论点，举上一个例子就算完事，毫无严谨性可言，从东西方文化角度看，西方人研究问题有如西医，遇到病人，就化验，研究病理，做试验，开刀破肚子在此不计。东方人论证，就像中医，凭经验，辨证施治，没有那套实验手续。依我之见，还是中西医结合为好，我们当前的研究，缺乏西医的那种打破砂锅问到底的劲头。
（3）喜欢用大字眼，比较空泛。有一阵子，喜欢借用系统、信息、反馈、最优控制等等字眼，后来又有套用思维的字眼，解题研究非要说成解题思维，分析综合，演绎归纳本来大家都清楚，现在也非要弄出“分析思维”“综合思维”等，其实内容并无变化，有时数学教育说成数学思维教育，内涵其实不同了，但仍当作一回事。
（4）过分追求某种程式和文字修饰。写经验必定是分三到四段，每段一个小标题，文字讲究对仗，每段内容是一个观点，举上一个例子，其中不乏套话空话，谈一个问题的特征，必定要提出几个“性”出来，以示提炼得非常精确，于是就有了“优美性”“提前性”之类的怪词出来。
（5）选题比较单一。数学教育书刊，多的是解题文章，这本无不可，只是题材和写法过于雷同，数学教育的选题可以很广，宏观上看，民族文化传统对数学教育的影响，经济发展对数学教育的要求，都是可以做的题目；微观上看，男女学生差异，无限观念的调查，智障儿童的数学学习等等都是新的领域，可是国内很少有人涉及，真是“热”的热死，“冷”的冷死。近来又见对数学美十分关注，但是翻阅一下，大同小异，无非是简约美、和谐美、对称美、奇异美那么几条，但对中学教材内容的美作些分析如何？概念之美，证明之美，体系之美，无限之美，平衡之美，可探讨的方面很多，何必总说那几句老话？
（6）研究方法单调。我们缺少实验报告，典型分析，个案报告，跟踪调查，积几十年资料写成的著作还未见（像克鲁捷茨基的《中小学能力心理学》那样的力作）。
（7）关心全局改革的研究太少。中国数学教育究竟应该走什么路？教材应该如何改？数学教育理论应该如何建设，提个什么行动口号？这都是有关全局的事，未来世纪的大事，但目前研究的力度很小。国家兴亡，匹夫有责，不能什么事都要等上级的指示来了才动起来，有些事，数学教育研究部门和师范学院数学系应该先研究出方案，供领导决策时的参考，起参谋作用。
（8）注意研究国际数学教育经验不够。数学教育是最具国际可比性的学科，国外投入数学教育的研究的力量远大于我们，有许多经验可供参考，与其他领域和其他学科相比较，数学教育方面的改革步伐和开放程度都是不大的，恐怕应引起重视。
参考文献：
［1］弗赖登塔尔.Summary of Principles in Msthemstics Education
［2］小平邦彦.数学究竟是什么.数学译林，1986（1）
［3］陈重穆，宋乃庆.淡化形式，注重实质.数学教育学报，1993（2）
［4］唐瑞芳.关于布鲁姆教育目标分类学的思考.数学教育学报，1993（2）
这是华东师范大学张奠宙与湖南零陵师专郑正亚两位教授向中国数学教育界提出的十个问题，这些问题概括了当前国内外数学教育界面临的问题，
有人觉得两位教授提出这十个问题十分具有前瞻性，反映了许多人对于中国数学教育的心路历程，也有人觉得这十个问题过于杞人忧天，
对于这十个问题你们是怎么看的，是否有不同的观点，欢迎在下方的留言区留言，
让我们打一架，来相识.