"圆"这一部分知识，多年来都是中考的重点，锐角三角函数大家也不算陌生，那么当圆遇上三角函数又会出现什么呢？下面就和大家分享一下圆偶遇三角函数之后所发生的一个小片段吧！当然如果想了解具体发生了什么，首先得记住他们的暗号喔，通过下面问题的探讨，不难发现它们携手并进暗号呢。
类型1 已知含有锐角三角函数值，探求圆的综合问题
例1．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝1/3，则点F与点C的最小距离为 ______．
【解析】如图取AB的中点G，连接FG．FC．GC．
∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝1/3，∴AF/AE=1/3，
∵AB＝6，AG＝GB，∴AG＝GB＝3，
∵AD＝9，∴AG/AB=3/9=1/3，∴AF/AE=AG/AD，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B═∠EAF＝90°，
∴∠FAG＝∠EAD，∴△FAG∽△EAD，∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，
∵DE＝3，∴FG＝1，∴点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆，
【点评】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
例2．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点F．
请补全图形并解决下面的问题：
（1）求证：∠BAE＝2∠EBD；
（2）如果AB＝5，sin∠EBD＝√5/5．求BD的长．
【解析】（1）连接AF．
∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BE，
∵AB＝AE，∴∠BAE＝2∠BAF，
∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，
∵∠BAF+∠ABE＝90°，∠ABF+∠EBD＝90°，
∴∠EBD＝∠BAF，∴∠BAE＝2∠EBD．
（2）作EH⊥BD于H．∵∠BAF＝∠EBD，∴sin∠BAF＝sin∠EBD＝√5/5，
∵AB＝5，∴BF＝√5，∴BE＝2BF＝2√5，
【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题，属于中考常考题型．
类型2 探究圆背景下的锐角三角函数值求解
例3．如图，已知△ABC，以A为圆心AB为半径作圆交AC于E，延长BA交圆A于D连DE并延长交BC于F，CE²＝CF•CB．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）如图1，若BE＝CE＝2√3，求⊙A的面积；
（3）如图2，若tan∠CEF＝1/2，求cos∠C的值．
【解析】（1）由题意，先将等积式化为比例式，然后证明△CEF∽△CBE，从而得到对应角相等，再根据直径所对的圆周角是直角，得△ABC为直角三角形；
（2）要求⊙A的面积，主要求半径，设∠EBC＝∠ECB＝x，∠BDE＝∠EBC＝x，△BDF中可解得x＝30°，则可求⊙A的半径为2√3；
（3）由（1）知：∠BDF＝∠CEF＝∠CBE，
∵tan∠CBE＝1/2，设EF＝a，BE＝2a，
【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的性质和勾股定理等知识，根据已知将等积式化为比例式、如何证两个三角形相似是解题关键．
例4．已知⊙O的半径为5，弦AB的长度为m，点C是弦AB所对优弧上的一动点．
（1）如图①，若m＝5，则∠C的度数为_______ °；
（2）如图②，若m＝6．
①求∠C的正切值；
②若△ABC为等腰三角形，求△ABC面积．
【解析】（1）连接OA，OB，判断出△AOB是等边三角形，即可得出结论；
（2）①如图2，连接AO并延长交⊙O于D，连接BD，
∵AD为⊙O的直径，∴AD＝10，∠ABD＝90°，
在Rt△ABD中，AB＝m＝6，根据勾股定理得，BD＝8，
∴tan∠ADB＝AB/BD=3/4，
∵∠C＝∠ADB，∴∠C的正切值为3/4；
②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．
Ⅰ、当AC＝BC时，如图3，连接CO并延长交AB于E，可求S△ABC＝1/2AB×CE＝1/2×6×9＝27；
Ⅱ、当AC＝AB＝6时，如图4，
可求S△ABC＝1/2AF×BC＝1/2×18/5×24/5＝432/25；
Ⅲ、当BA＝BC＝6时，如图5，由对称性知，S△ABC＝432/25．
【点评】此题是圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
综上所述：当圆遇到锐角三角函数时，它们的完美相会的暗语应该为：
锐角三角函数的暗号：欲求值，则一定身处Rt△中，否则等价代换（以相对容易可求相等的角来替代）；圆的暗号：要么创Rt△环境，要么谨记圆周角等（同弧或等弧所对圆周角相等）