主要内容：

已知△ABC的边BC上有一点D,且∠b=45°,∠ADC=60°，BD=851.5,CD=1703，用三种方法求∠C的值。

※.辅助线+余弦定理计算法：

如下图所示，在AD上取一点E,作辅助线CE⊥AD,链接BE,则有如下关系：

在直角三角形RtCDE中，∵∠ADC=60°,∴∠DEC=90°-60°=30°,此时有DE=CD/2=BD=851.5,则三角形△BDE为等腰三角形，且CE=CD*sin60°=1703*sin60°=√3*851.5。

又因为∠BDE=180°-60°=120°,∴∠EBD=∠BED=(180°-120°)/2=30°，进一步有∠ABE=∠BAE=45°-30°=15°,所以△BEA为等腰三角形，AE=BE。

在△BED中，由 余弦定理 计算有：

cos120°=(BD²+ED²-BE²)/(2*BD*ED),

化简可得：BE²=3BD²,即BE=√3*851.5。

综上有：AE=BE=CE=√3*851.5，即△CEA为等腰直角三角形，

则∠ECA=∠EAC=45°,所以所求的∠C为：

∠C=45°+30°=75°

※.正弦定理+三角公式计算法

设AC=b, ∠DAC=t°,由△ABC的内角和为180°，即：

45°+15°+t°+∠C=180°,即t°=120°-∠C;

在△ADC中，使用正弦定理有：

sin∠60°/b=sint°/DC，即sint°=√3*851.5/b；

所以：sin(120°-∠C)=√3*851.5/b，……（1）

在△ABC中，使用 正弦定理 有：

sin∠BAC/BC=sin∠B/b,即：

sin(15°+t°)/3*851.5=sin45°/b,

所以：sin(135°-∠C)=3√2*851.5/2b，……（2）

上述两式(1)(2)相除，并化简有：

√6sin(120°-∠C)=2sin(135°-∠C)，

两边正弦函数展开有：

√6(sin120°cos∠C-cos120°sin∠C)=2(sin135°cos∠C-cos135°sin∠C),化简可得：

3√2cos∠C+√6sin∠C=2√2cos∠C+2√2sin∠C，

即：tan∠C=2+√3，所以∠C=75°。

※.三角形外接圆计算法

由上述辅助线余弦定理计算可知：

AE=BE=CE,即点E刚好是三角形ABC的 外接圆的圆心 ，根据同一个角的圆心角是圆周角度数的2倍来计算。

本题中BD=DE,所以∠EBD=∠BED=(180°-120°)/2=30°，

即：圆心角∠AEB=180°-30°=150°,则其圆周角刚好是∠C的度数，所以：∠C =150°/2=75°.