本文分享2020年成都中考数学的倒数第2题，难度中等以上。以矩形为背景，对图形进行折叠，入手比较简单。但是第三问的条件容易误导，导致思路走偏。本题题目难度适中，是一道比较经典的压轴题。
【中考真题】
（2020•成都）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．（1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；（2）如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长；（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求的值．
【分析】
题（1）求度数，只需要利用2倍的关系，得到∠ABF为30°即可迎刃而解。
题（2）遇到线段乘积，首先想到的必然是相似。根据图形，可以得到一对三垂直的相似。易得AB·DE=AF·DF，代入求解即可。
题（3）求比例关系，可以考虑相似。但是图中很难找到相关的相似三角形。而题目中的角平分线可以是思路的一个突破口，考虑过点N作BF的垂线，利用角平分线的性质得到线段相等。
此时恰好有一对A型相似，可以得到边长的比例关系。由于NF是BF的一半，所以得到相似比为1:2，那么设未知数就可以表示出所有的线段，然后得到aB与BF的比值。
本题如果被条件“NF＝AN+FD”误导，进而进行截长补短等，则时间就浪费了。因为无法直接构造全等。所以这个条件有时候会把人带偏，其实本意想表达的是NF为BF的一半。
当然，这题其实完全可以利用高中的三角函数进行求解。
设∠FBN=α，在△BNF中，∠BNF=90°＋α，且设BF=2NF=2x，
根据正弦定理得，2x/sin（90°+α）=x/sinα，得tanα=1/2，然后利用∠ABF=2α得到AB/BC=AB/BF=cos2α=cos²α-sin²α=3/5。
本题利用高中正弦定理的知识进行求解反而更简单。所以这题出的还是不够好，容易给中考往错误的方向引导。
【答案】解：（1）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，∵BC＝2AB，∴BF＝2AB，∴∠AFB＝30°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBF＝30°，∴∠CBE∠FBC＝15°；（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF，又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，∴∠AFB＝∠DEF，∴△FAB∽△EDF，∴，∴AF•DF＝AB•DE，∵AF•DF＝10，AB＝5，∴DE＝2，∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3，∴EF＝3，∴DF，∴AF2，∴BC＝AD＝AF+DF＝23．（3）过点N作NG⊥BF于点G，
∵NF＝AN+FD，∴NFADBC，∵BC＝BF，∴NFBF，∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°，∴△NFG∽△BFA，∴，设AN＝x，∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，∴AN＝NG＝x，设FG＝y，则AF＝2y，∵＝，∴（）（）＝（），解得yx．∴BF＝BG+GF＝2xxx．∴．
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