十字型相关模型

相似模型合集之十字型模型

原理证明：

• 正方形与十字架：

如图：若在正方形内，AE⊥GF，则AE=GF；反之相等不一定垂直

• 矩形与十字架：

如图：矩形ABCD中，若BF⊥CF，则BE:CF=AB:AD

当BE与CF保持垂直，在相应边运动，比值关系仍然成立。

• 等腰直角三角形与十字架：

如图：三角形ABC为等腰直角三角形。

D为BC中点，BF⊥AD

则：AF：CF=2:1

∠BDA=∠CDF

∠AFB=∠CFD

∠AEC=135°

AE：EC=√2

典型例题：

（1）（2020•拱墅区一模）如图所示，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于G，交CD于F，若BG＝2BE，则DF：CF的长为（　　）

A、（√5-1）/3 B、（√5+1）/3

C、√5/3 D、2/5

【分析】

根据题意，先设BE＝a，则BG＝2a，然后根据线段垂直平分线的性质，可以得到AG＝GE，利用勾股定理可以得到GE的长，然后根据题意可以证明△ABE≌△GMF，从而可以得到BE＝ME，然后即可用含a的代数式表示出DF和CF的长，从而可以得到DF：CF的长．

【解答】

解：作GM⊥CD交CD于点M，连接GE，

设BE＝a，则BG＝2a，则GE＝√5a，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B＝∠C＝90°，

∵GM⊥CD，

∴∠CMG＝90°，

∴四边形BCMG是矩形，

∴BG＝CM＝2a，GM＝BC，

∵FG垂直AE，并且平分AE，

∴AG＝GE＝√5a，

∴AB＝2a+√5a，

∵∠FGM+∠AGF＝90°，∠AGF+∠GAE＝90°，

∴∠FAM＝∠EAB，

在△ABE和△GMF中：

（∠BAE=∠MGF，AB=GM，∠ABE=∠GMF）

∴△ABE≌△GMF（ASA），

∴BE＝MF，

∴MF＝a，

∵DF＝CD﹣CM﹣MF，AB＝CD＝2a+√5a，

CF＝CM+MF＝2a+a＝3a，

∴DF＝2a+√5a﹣2a﹣a＝√5a-a，

∴DF：CF＝

（√5a﹣a）：（3a）＝（√5-1）/3 ，

故选：A．

（2）（2017秋•鼓楼区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，E为AD中点，CF⊥BE，垂足为G，交BC边于点F，则CF的长为　　．

【分析】

证明△ABE∽△BCF，

可得AB/BC＝BE/CF，求出BE即可解决问题．

【解答】

解：∵四边形ABC都是矩形，

∴AD＝BC＝10，∠A＝∠CBF＝90°，

∵CF⊥BE，

∴∠CGB＝90°，

∴∠GCB+∠GBC＝90°，∠GBC+∠ABE＝90°，

∴∠ABE＝∠FCB，

∴△ABE∽△BCF，

∴AB/BC＝BE/CF，

在Rt△ABE中，∵AB＝12，AE＝5，

∴BE＝√5²+√12²＝13，

∴12/10＝13/CF，

∴CF＝65/6，

故答案为65/6．

（3）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于点F，求AF/FC的值．

【分析】

如图，作辅助线；首先证明DE＝DG；然后运用勾股定理、射影定理等求出AE、EG的长度；

运用平行线分线段成比例定理证明AF/FC＝AE/EG=2/1，即可解决问题．

【解答】

解：如图，过点C作CG⊥AD，

交AD的延长线于点G；

∵BE⊥AD，

∴BE∥CG，△BDE∽△CDG，

∴BD/CD=DE/DG，

∵BD＝CD，

∴DE＝DG；

设AB＝2λ，则BD＝λ；

∵∠ABD＝90°，BE⊥AD，

∴AD＝√4λ²+√λ²=√5λ，AB²＝AE•AD，

∴AE＝4√5λ，DE＝AD﹣AE＝√5/5*λ，

∴GE＝2DE＝2√5/5；

∵EF∥CG，

∴AF/FC＝AE/EG=2/1．

【点评】

该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，灵活运用平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定及其性质等来分析、解答．

同步练习：

一、

[问题引入] （1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD两边上的点，且AE⊥BF，垂足为点P．求证：AE＝BF；

[类比探究] （2）如图2，把（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，且AD＝2AB，其余条件不变，请你推断AE、BF满足怎样的数量关系，并说明你的理由；

[实践应用] （3）如图3，Rt△ABC中，∠BAC＝30°，把△ABC沿斜边AC对折得到Rt△ADC，E、F分别为CD、AD边上的点，连接AE、BF，恰好使得AE⊥BF，垂足为点P．请求出AE/BF的值．

【分析】

[问题引入]（1）由“ASA”可证△ABE≌△BCF，可得AE＝BF；

[类比探究]（2）通过证明△ABE∽△BCF，可得BF/AE＝BC/AB=2，可得BF＝2AE；

[实践应用]（3）过点B作BH⊥AD于H，连接BD，可证△ABD是等边三角形，可得AD/BH=2√3/3，通过证明△ADE∽△BHF，

可得AE/BF＝AD/BH＝2√3/3．

【解答】

证明：

[问题引入]

（1）∵正方形ABCD，

∴∠ABC＝∠C，AB＝BC，

∵AE⊥BF，

∴∠APB＝∠BAP+∠ABP＝90°，

∵∠ABP+∠CBF＝90°，

∴∠BAP＝∠CBF，

在△ABE和△BCF中，

（∠BAE=∠CBF，AB=CB，∠ABE=∠BCF），

∴△ABE≌△BCF（ASA），

∴AE＝BF；

（2）BF＝2AE，

理由如下：∵矩形ABCD，

∴∠ABC＝∠C，AD＝BC＝2AB，

∵AE⊥BF，

∴∠APB＝∠BAP+∠ABP＝90°，

∵∠ABP+∠CBF＝90°，

∴∠BAP＝∠CBF，且∠ABE＝∠BCF＝90°，

∴△ABE∽△BCF，

∴BF/AE＝2，

∴BF＝BC/AB=2

∴BF=2AE；

（3）如图3，过点B作BH⊥AD于H，连接BD，

∵把△ABC沿斜边AC对折得到Rt△ADC，

∴AD＝AB，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝∠BAC＝30°，

∴∠DAB＝60°，

∴△ABD是等边三角形，且BH⊥AD，

∴AD＝AB＝2AH，BH＝√3AH，

∴AD/BH=2√3/3，

∵∠ADC+∠EPF+∠DEA+∠DFB＝360°，

∴∠DEA+∠DFB＝180°，

且∠DFB+∠BFA＝180°，

∴∠DEA＝∠BFH，

∵∠BHF＝∠ADE＝90°，

∴△ADE∽△BHF，

∴AE/BF=AD/BH＝2√3/3

【点评】

本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

二、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于E，交BC于F．

（1）如图1，若AB＝4，CD＝1，求AE的长；

（2）如图2，点G时AE上一点，连接CG，若BE＝AE+AG，求证：CG＝√2AE；

（3）如图3，点P是AC上一点，连接FP，若AP＝CD，求证：∠ADB＝∠CPF．

【分析】

（1）由已知条件得出AD＝3，由勾股定求出BD，由三角形的面积求出AE即可；

（2）在BE上截取EH＝AE，连接AH，则AG＝BH，由SAS证明△ABH≌△CAG，得出AH＝CG，在Rt△AEH中，EH＝AE，即可得出结论；

（3）过C作CM⊥AC交AF延长线于M，由（2）知∠EAD＝∠ABD，即∠MAC＝∠ABD，由ASA证明△ABD≌△ACM，得出CM＝AD，∠ADB＝∠CMF，证出CP＝CM，CF＝∠MCF＝45°，由SAS证明△CFP≌△CFM，得出对应角相等，即可得出结论．

【解答】

（1）解：∵AB＝AC＝4，CD＝1，

∴AD＝3，由勾股定理得：

BD＝√AB²+√AD²＝√4²+√3²＝5，

∵Rt△ABD的面积＝½AB•AD＝½AE•BD，

∴½×4×3＝½×AE×5，

解得：AE＝12/5；

（2）证明：在BE上截取EH＝AE，连接AH，如图2所示：

∵BE＝AE+AG，

∴AG＝BH，

∵∠BAD＝∠AED＝90°，∠ADE＝∠ADB，

∴△ADE∽△ADB，

∴∠EAD＝∠ABD，

即∠CAG＝∠ABH，

在△ABH和△CAG中，

（AB/AC,∠ABH=∠CAG,BH=AE），

∴△ABH≌△CAG（SAS），

∴AH＝CG，

在Rt△AEH中，EH＝AE，

∴AH＝√2AE，

∴CG＝√2AE；

（3）证明：过C作CM⊥AC交AF延长线于M，如图3所示：

由（2）知∠EAD＝∠ABD，

即∠MAC＝∠ABD，

在△ABD和△ACM中，

（∠MAC=∠ABD,AC=AB,∠ACM=∠BAD=90°)

∴△ABD≌△ACM（ASA），

∴CM＝AD，∠ADB＝∠CMF，

∵AP＝CD，

∴AD＝CP，

∴CP＝CM，

∵Rt△ABC中，AB＝AC，

∴∠ACB＝45°，

∵∠ACM＝90°，

∴∠PCF＝∠MCF＝45°，

在△CFP和△CFM中，

（CP=CM,∠PCF=∠MCF,CF=CF），

∴△CFP≌△CFM（SAS），

∴∠CPF＝∠CMF，

∴∠ADB＝∠CPF．

【点评】

本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要两次证明三角形全等才能得出结论．

姜姜老师寄语

同学们在学习解答关于相似模型中遇到问题的时候，我们要使用从整体到局部分析的眼光看待问题，虽然看似不难，确是容易出错，思路不清晰的一类题目。相信同学们把姜姜老师整理的相似模型合集学习完以后再遇到这样的问题就可以迎刃而解。

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