序言

论证数学诞生的时间是公元前1000年，诞生地点是小亚细亚半岛的爱琴海岸和希腊。那里出现了最伟大的历史文明，其非凡的成就对西方文化进程产生了永久性的影响。随着希腊国内和跨越地中海贸易的勃兴，希腊人逐渐成为一个流徙不定，热衷冒险的民族，他们比较精明和富裕,在思想和行动上都比以往看到的西方世界更具独立性。这些充满好奇心，且思想自由的商人对权威是不会言听计从的。实际上，随着希腊民主的发展，公民自己就已成为权威(但必须强调指出，公民的定义在古希腊是非常狭隘的)。在这些人看来，对任何问题都可以自由争论，都应该加以分析，对任何观点都不能被动地、无条件地服从和接受。

古希腊地图

到公元前400年时，这一卓越文明已经能以其丰富的(或许可以说是无与伦比的)智力遗产而自豪。史诗诗人荷马，历史学家希罗多德和修昔底德，剧作家埃斯库罗斯、索福克勒斯和欧里包庇得斯，政治家伯里克利和哲学家索克拉蒂斯——所有这些人都在公元前四世纪初叶留下了自己的足迹。在现代社会，名望会很快衰落。因而，现代人可能惊讶，这些古希腊人的名声何以在经历了2000多年之后依然保持其辉煌。直至今日，我们仍然钦佩他们以深邃的理性烛照自然与人类状况的勇气。其理性虽然不乏迷信与无知，但古希腊思想家确实取得了极大的成功。即使他们的结论并非永远正确，但这些希腊人仍旧感到，他们的道路将引导自身从野蛮的过去走向梦想不到的未来。人们在描述这一特别的历史阶段时,常常使用“觉醒”一词,这是十分贴切的。人类的确已从千百万年的沉睡中醒来,以大自然最强大的*器武**——人类思维，勇敢地面对着这一陌生而神秘的世界。

“希腊七贤”之首

数学当然也是如此。公元前约600年，在小亚细亚西海岸的小镇米利都,生活着一位伟人,他的名望重于立法者梭伦，被同时代人推崇为“希腊七贤”之首，他就是古希腊哲学家、数学家和天文学家——泰勒斯(Thales，公元前约640-546年)。

在靠近小亚细亚西海岸的地方，一条名为Meander的河流——名词meander（迂回曲折）就是由它而来的——涌入现在称为土耳其的一个凄凉的、多沼泽的平原。大约2500年以前，在那个沼泽地的中央，有一座当时最繁华的城市——米利都。它还是所谓爱奥尼亚地区——现在充满淤泥的海湾上——的一座海岸城市。米利都被水和山脉包围着，不仅有一条捷径通向市内，而且至少有4个港口，以及一个供东爱琴海进行海上贸易的中心。从这里，船只在岛与半岛之间迂回取道向南驶向塞浦路斯、腓尼基和埃及，或把船头朝西驶向欧洲的希腊。

尽管有不同的说法，但人们一般认为，公元前640年前后的米利都，一对自豪的父母生育出一个男孩，给他取名泰勒斯。泰勒斯通常被誉为世界上第一位科学家与数学家。我们不知道他是否用皮革制品、咸鱼、毛织品或其他米利都人心目中的优良日用品进行过交易，但是，泰勒斯是一位富裕的商人，而且用他的现款去做喜欢的事，转而致力于研究工作与旅行。

泰勒斯

古希腊由许多城邦组成，有一些城邦是民主的，而另一些城邦则由一个小的贵族政府或一个*制专**君王控制。说到希腊的日常生活，我们知道古希腊人喜欢在理发店、寺庙与市场上参加社交活动。古希腊人喜欢午餐聚会。在雅典，午餐在酒会后进行。狂欢者兴高采烈地喝酒，讨论哲学，唱歌，讲笑话和猜谜语。但如果聚会是为了回忆学校生活的往事的话，那么主题就集中于讨论知识。古希腊人重视相互探讨。

看来，泰勒斯必定不满足于对学习的渴望，许多走向黄金时代的希腊人都有这样的特征。在泰勒斯到巴比伦去旅行时，他学习科学和天文学中的数学知识，并由于把这些知识带回希腊而名声大振。

泰勒斯在埃及待了很长时间。埃及人虽然拥有建造金字塔的经验，但是还缺乏测量金字塔高度所需要的知识。泰勒斯对埃及人由经验发现的事实作出理论上的解释。按照这样的理解，泰勒斯能推出几何方法，从一个方法推出另一个方法。由于他已经从个别的实际应用中提出抽象的原理，因此能悄悄地从一个问题的解得到另一个问题的解。泰勒斯用相似三角形性质的知识，测量金字塔的高度，这使埃及人感到震惊。后来，泰勒斯还用类似的方法测量出海上船舶的距离。在古埃及人的心目中，他成了一位名人。

米利都的泰勒斯是第一个在“知其然”的同时提出“其所以然”的学者,并被公认为论证数学之父。因此，泰勒斯是最早的著名数学家。泰勒斯朝几何学的系统化迈出了第一步。他是证明几世纪后欧几里得在《几何原本》中收集的那种几何定理的第一人。泰勒斯还首先提出了第一个逻辑推理系统，他还是考虑空间图形全等概念的第一人。在一个平面上的两个图形可以认为是全等的——如果你能移动或旋转一个图形恰好与另一个图形重合。把数的相等的观念推广到空间物体的全等，是空间实现数学化方面的一次巨大飞跃。

泰勒斯主张，借助于观察与推理，人们能解释自然界中发生的一切。他最后得出革命性的结论:自然界是服从规律的。晴天霹雳似的事件不是由愤怒的宙斯主神发出的嘈杂噪声。对事物的充分解释由观察与推理而得到。而在数学上，有关世界的结论，会随规则而不会随猜测与观察而改变。

泰勒斯还提出了物理空间的概念。他认为，世界上的所有事物，无论如何变幻莫测，必定有相同的内在本质。由于缺乏任何证据，这只能是直觉的闪光。当然，下一个根本的问题是，这种本质是什么?由于生活在港口城市，泰勒斯想到了水。泰勒斯认为，水是万物之本源，万物终归于水。令人啼笑皆非的是，泰勒斯的学生与同事安纳西曼德对于进化观念也有一个与直觉相差不大的飞跃，他们认为人类是由鱼进化而来的。

伟大的会面

当泰勒斯成为一个虚弱的老人时，他本人的老态龙钟已非常可怕了。这时他见到了欧几里得最重要的先行者——萨摩斯的毕达哥拉斯。萨摩斯是位于一个同名大岛的城市，在离米利都不远的爱琴海之中。现在到这个岛的访问者，还能找到某些损坏的圆柱状建筑物及残留在一个剧场的黑色瓷器，在毕达哥拉斯时代那里曾经是一派繁荣昌盛的景象。当毕达哥拉斯18岁时，他的父亲去世。他的叔叔给他一些银币和一封介绍信，让他去拜访在靠近勒斯波斯(Lesbos)的一个岛上的菲勒塞德斯。

根据传说，菲勒塞德斯曾经读过腓尼基人秘密流传的一些著作，并向希腊人介绍灵魂不朽与转世的信仰，毕达哥拉斯正是利用它作为其宗教哲学的基石。毕达哥拉斯与菲勒塞德斯成为终身的朋友，但是毕达哥拉斯在勒斯波斯没待多长时间。那时，他已经20岁了。毕达哥拉斯游历到米利都，见到了泰勒斯。

有这样一幅历史画面:头发邋遢，不穿希腊传统的、长至膝盖的短袖衣，而是穿着裤子，俨然是古代嬉皮士的一个小伙子正在访问“年老的贤人”。那时，泰勒斯已经神光昏暗，早年的智慧光华一去难返。也许从这个小伙子身上，他看到了青春活力的一线希望。他为自己智力的每况愈下感到遗憾。

至于泰勒斯究竟对毕达哥拉斯说过些什么，我们知之不多，但我们明确知道他对这个年轻的天才产生过巨大的影响。在泰勒斯去世后几年，毕达哥拉斯有时会端坐家中一动不动，为去世的预言家唱赞歌。关于上述两人会见的古代记载，在以下这件事上都是一致的:泰勒斯给了毕达哥拉斯一个H·格里利(美国记者，1811~1872)式的主张——一般来说，年轻人最好去西方，但泰勒斯推荐毕达哥拉斯去了埃及。

毕达哥拉斯听从了泰勒斯的建议去了埃及，但是并没有从埃及的数学中感受到诗意。……

希腊的黄金时代来临，在泰勒斯之后，一个个伟大的历史人物即将登场，演绎他们的不朽传奇。欧几里得（Euclid，约公元前330～前275年），阿基米德(Archimedes，公元前287～前212)……

泰勒斯的八卦

有人问泰勒斯，世上什么事最难，他答：“认识你自己。”

李轻舟·《德尔斐囚徒——从苏格拉底到爱因斯坦》片段摘录

德尔斐神庙

德尔斐（Delphi）古城坐落于希腊中部的诗人之山——帕拉苏斯南麓，气势恢宏的神殿曾是古希腊光明之神阿波罗（Apollo）信仰的中心①。而今却只留下残垣断壁徒向苍穹，为游人诉说着往昔尊荣。

今天，苍凉的废墟收容了一个 踽踽独行的哲人——被狂欢驱逐的苏格拉底，一个佝偻瘦小的老头儿。

纵使短途②的跋涉也足以令他气喘吁吁，宽大突出的前额渗出象征虚弱的汗珠。苏格拉底斜倚在阿波罗神庙几近风化的阶级，远眺他刚刚逃离的人群逐渐被天边的暮色淹没。

落日的余晖把阿波罗最后的恩赐给予了德尔斐这片残垣断壁，神庙巨石立柱上一句尘封已久的铭文清晰可见:

γυωθι σεαυτθòυ

认识你自己！

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①德国哲学家、诗人弗里德里希·威廉·尼采（Friedrich Wilhelm Nietzsche，1844-1900）在《悲剧的诞生》（Die Geburt der Tragödie，1872年）中，将古希腊文化的演化归结于两种精神的交织与对抗，分别为象征理性与秩序的“日神精神”（Apollonian Spirit）和象征浪漫与生命的“酒神精神”（Dionysian Spirit）。

②德尔斐位于雅典西北170千米处，所谓“短途”云云，实乃夸张虚构。

亚里士多德记录的一则故事，：人们因为泰勒斯贪穷而讥笑哲学无用，他听后小露一手，通过观察星象预见橄榄将获丰收，便低价租入当地全部橄榄榨油作坊，到油坊紧张时再高价租出去，结果发了大财。他以此表明，哲学家要富起来要极为容易的，如果他们想富的话。然而这不是他们的兴趣所在。”

关于他的生平，我们掌握的确切资料很少。他实际上是作为一个半神话式人物从历史的薄雾中显现的,归于他名下的那些发现是否属实,人们仅仅是猜测而已。传记作家普卢塔克(公元 46-120年)回顾了 700 年前的史迹,他写道:“……当时，泰勒斯独自将纯粹基于实践的哲学上升到理性的高度。”泰勒斯作为著名的数学家和天文学家,以某种方式预言了公元前585年发生的日蚀。希罗多德(公元前5世纪古希腊著名的历史学家)告诉我们，这件事发生在一次战争期间，泰勒斯的预报阻止了战争，带来了持久的和平。

他像所有古板的科学家一样,常常心不在焉或长时间的出神——据传说,有一次,他一边散步，一边仰望星空，竟然掉进了一口深井中。柏拉图记载：“据说泰勒斯仰起头来观看星象，却不慎跌落井内，一个美丽温顺的色雷斯侍女嘲笑说，他急于知道天上的东西，却忽视了身旁的一切。”

泰勒斯虽然被公认为论证数学之“父”，但实际上，他却从未结过婚。泰勒斯说过，互相研究了三周，相爱了三个月，争吵了三年，彼此忍让了30年，然后轮到孩子们重复同样的事，这就是婚姻。当同代人梭伦向他追问不结婚的原因时，他竟开了一个刻薄的玩笑。泰勒斯让人带给梭伦一个消息说你的儿子死了。据普卢塔克记载，梭伦当时:

"……捶胸顿足，痛不欲生,像人们遭遇不幸时惯常所做的那样。但泰勒斯拉着他的手，笑了笑说:‘梭伦，就是这些事情让我不想结婚，也不想生儿育女，这实在太难了；不过，你不必太过伤心，因为这都是假的。’”

显然,泰勒斯不是那种心地善良之辈。从农夫的故事中，我们也可以得到同样的印象。一个农夫常常要将沉重的盐袋驮在驴背上，赶着驴去集市卖盐。聪明的驴子很快就学会了在涉过一条小河时打滚,把许多盐溶化在水里，大大减轻盐袋的重量。农夫非常生气,就去请教泰勒斯。泰勒斯建议农夫在下次赶集时，给驴驮一袋海绵。

当然,泰勒斯对人或动物的不友善,并不妨碍他在数学领域赢得很高的声望。正是泰勒斯曾极力主张，对几何陈述,不能仅凭直觉上的貌似合理就予以接受,相反，必须要经过严密的逻辑证明。这是他留给数学界的一笔相当可观的遗产。

泰勒斯的数学遗产

确切地说，泰勒斯的数学遗产究竟是什么呢？传统上认为，泰勒斯第一个证明了下列几何性质：

■对顶角相等。

■三角形的内角和等于两个直角之和。

■等腰三角形的两个底角相等。

■半圆上的圆周角是直角。

几何学有一个著名的泰勒斯定理。我们知道，三角形各边的垂直平分线相交于一点M，称为三角形外接圆的圆心。外接圆的半径是外心M到三角形顶点的距离。锐角三角形的外心在三角形内，钝角三角形的外心在三角形之外，而直角三角形的外心在斜边上，所以，斜边就是外接圆的直径。

斜边为AB的所有直角三角形的顶点C都在直径为AB的圆上。这一发现应归功于米利都的泰勒斯。为了纪念他，有时称这圆为泰勒斯圆。

泰勒斯定理：两直角边分别通过固定点A和B的所有直角顶点Cᵢ的轨迹是一个以AB为直径的圆。

泰勒斯证明半圆上的圆周角是直角。

证明：以O为圆心，以BC为直径作半圆，选半圆上任意一点A作圆周角BAC(如下图所示)，我们必须证明∠BAC是直角。

图片

连接OA形成ΔAOB。由于OB和OA都是半圆的半径，长度相等，所以ΔAOB是等腰三角形。因为等腰三角形的两个底角相等，所以∠ABO和∠BAO相等，我们称这两个角为α。

同理可证，在ΔAOC中，∠OAC=∠OCA，我们称这两个角为β。

在ΔABC中，有，

两个直角=∠ABC+∠ACB+∠BAC

=α+β+（α+β）

=2α+2β

=2（α+β）

因此，上式两端同除以2可得，

一个直角=α+β=∠BAC。

这正是我们要证明的。 证讫。

备注：习惯上，在证明完毕后，要写明“证讫”，其原为拉丁文Quod erat demonstrandum（Q.E.D.）。提醒读者注意，论证完毕，我们可以转向新的方向了。

遗憾的是，现在都是用一个小方块“□”来取代Q.E.D.了。

解读泰勒斯定理

遥想当年，泰勒斯因为发现了直径所对的圆周角是直角而宰牛欢庆，毕达哥拉斯因为发现勾股定理而举行百牛大祭，我们便可大略体会希腊人对于求知本身怀有多么天真的热忱了。这是人类理性带着新奇的喜悦庆祝它自己的觉醒。

通过重温发现泰勒斯定理的这段历史，我有以*体下**会。

泰勒斯的证明优雅明快，更完整的资料请参阅文末附录：《几何原本》的相关命题。

印象深刻的是辅助线作得漂亮，请大家用心体会。这条辅助线是半圆的半径，它不仅把直角分为α+β，还把大三角形分为两个等腰三角形。

此前，山重水复疑无路；辅助线一出，柳暗花明又一村。

我们知道，等腰三角形是很特殊的三角形，有一个重要性质：三线合一（顶角平分线，中线，高）。添加辅助线，构造等腰三角形，这是很高明的思路。

论证用到了两个知识点：①三角形内角和等于一个平角；②等腰三角形的两个底角相等。这两个知识点都是泰勒斯此前已经掌握并证明了的。于是，我们再次确认温故而知新，这也是符合我们探索未知世界的认知规律的。

再继续深入思考，我们发现特殊中蕴含一般，所以可以推广到一般情况。

古希腊数学家对圆与弦，内接三角形，内接四边形的关系有精深的研究

我们可以把直径看作等于平角的圆心角，再把直径看作圆内的弦，于是得出结论：直径所对的圆周角等于圆心角的一半。

那么，这个结论能不能推广到一般情况呢？当然可以，圆内的弦所对的圆心角是圆周角的两倍，这个结论对所有的弦都成立，无论这条弦是不是直径。

需要注意的是，一条弦所对的圆心角有两个，它们之和等于360°，而圆周角有无数个，在弦的一侧取值α，在另一侧取值β。请不要搞错对应关系。

切线四边形的对边之和相等

我们还可以脑补一下，把半圆扩充为整圆，画出两个直角三角形。仔细想想，这意味着圆的内接四边形对角互补。通过观察有一条对角线是直径的圆内接四边形，我们发现这个四边形的两组对角互补，这个结论能不能推广到一般的圆内接四边形呢？

当然可以。一条不是直径的弦，在它两侧的圆周角分别是α和β，且有α+β=180°。由三角形内角和定理，可以得出圆内接四边形两组对角互补的结论。

而且逆命题也成立。也就是说，如果四边形的两组对角互补，那么四点共圆。

再深入思考，可以得到许多推论：例如，正方形有一内切圆和一外接圆；长方形有外接圆，但是没有内切圆；菱形有一内切圆，但是没有外接圆；一般平行四边形既没有内切圆，也没有外接圆。

附录

特别收录

《几何原本》第三卷 命题31（张卜天 译，江西人民出版社）

圆内半圆上的角是直角，较大弓形上的角小于一直角，较小弓形上的角大于一直角；此外，较大弓形的角大于一直角，较小弓形的角小于一直角。

In a circle the angle in the semicircle is right, that in a greater segment less than a right angle, and that in a less segment greater than a right angle; and further the angle of the greater segment is greater than a right angle, and the angle of the less segment less than a right angle.

设ABCD是一个圆，BC是其直径，E是圆心，连接BA、AC、AD、DC；

我说，半圆BAC上的角BAC是直角，大于半圆的弓形ABC上的角ABC小于一直角，小于半圆的弓形ADC上的角ADC大于一直角。

连接AE，并把BA延长到F。

于是，由于BE等于EA，所以

角ABE也等于角BAE。

［I. 5］

又，由于CE等于EA，所以

角ACE也等于角CAE。

［I. 5］

因此，整个角BAC等于两角ABC、ACB之和。

但三角形ABC的外角FAC也等于两角ABC、ACB之和；

［I. 32］

因此，角BAC也等于角FAC；

因此，每一个角都是直角；

［I. 定义10］

因此，半圆BAC上的角BAC是直角。

接着，由于在三角形ABC中，两角ABC、BAC之和小于两直角，

［I. 17］

而角BAC是直角，所以

角ABC小于直角；

且它是在大于半圆的弓形ABC上的角。

接着，由于ABCD是圆内接四边形，

且圆内接四边形的对角之和等于两直角，

［III. 22］

而角ABC小于一直角，

因此，余下的角ADC大于一直角；

且它是在小于半圆的弓形ADC上的角。

其次我说，较大弓形的角，即圆周ABC与直线AC所夹的角大于一直角；

较小弓形的角，即圆周ADC与直线AC所夹的角小于一直角。

这是显然的。

这是因为，由于直线BA、AC所夹的角是直角，所以

圆周ABC与直线AC所夹的角大于一直角。

又，由于直线AC、AF所夹的角是直角，所以

直线CA与圆周ADC所夹的角小于一直角。

这就是所要证明的。