新定义“平移距离”mini版——2020年秋东城区九年级数学期末第25题
在2020年北京中考压轴题中，我们已经历过平移距离的探索，在这次秋季学期的期末考试中，东城区的压轴题又带来了平移距离，但此距离非彼距离，基本上，可以看作是中考压轴题的简版。只是无论怎么减配，基本的解题思路仍然不会变，对学生的要求是相同的，即对数学概念要深入理解，掌握学习数学概念的方法。
题目
在平面直角坐标系xOy中，圆O的半径为1.
给出如下定义：记线段AB的中点为M，当点M不在圆O上时，平移线段AB，使点M落在圆O上，得到线段A'B'(A'，B'分别为点A，B的对应点).线段AA'长度的最小值称为线段AB到圆O的“平移距离”.
(1)已知点A的坐标为(-1,0)，点B在x轴上.
①若点B与原点O重合，则线段AB到圆O的“平移距离”为__________；
②若线段AB到圆O的“平移距离”为2，则点B的坐标为___________；
(2)若点A，B都在直线y=4/3x+4上，且AB=2，记线段AB到圆O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
(3)若点A的坐标为(3,4)，且AB=2，记线段AB到圆O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围.
解析：
(1)从新定义描述中，关键词是平移，对于线段的平移，平移前后的对应点，我们抓住三个，A与A'，B与B'，一定要关注中点M与M'；
虽然线段AA'长度的最小值被称为线段AB到圆O的“平移距离”，但是我们可用线段MM'来代替.
①点B与原点重合，作图如下：
线段AB的中点M在圆O内，要想平移后使点M落在圆周上，即圆内一点到圆周上的最短路径，我们需要经过点M的半径，而线段AB此时恰好就是半径，点M需要平移至点A的位置，即AM=1/2，所以此时的“平移距离”为1/2；
②此时的线段AB在x轴上，意味着它的中点M落在圆O上，只有两处：(-1,0)和(1,0)；
若线段AB到圆O的“平移距离”为2，即最短的AA'=2，对应的MM'=2，那么在平移前点M可能在哪里呢？
如果平移后点M'与点A重合，即圆O与x轴负半轴的交点处，则平移前点M可能在(-3,0)，不可能在(1,0)，参照题目中“点M不在圆O上”；
如果平移后点M'在圆O与x轴正半轴交点处，即(1,0)，则平移前点M可能在(3,0)，不可能在(-1,0)，理由同上，作图如下：
这样的两种情况中，点M坐标分别为(-3,0)或(3,0)，利用中点公式求出对应的点B坐标可能为(-5,0)或(7,0)；
(2)当线段AB在直线y=4/3x+4上时，中点M可以是这条直线上任意一点，此时的平移距离由点到点变成了点到线，所以指的是垂线段的长度，如下图：
此时的d1=OM-1，先求出y=4/3x+4与坐标轴的两个交点，分别是(-3,0)和(0,4)，然后利用面积法求出OM=2.4，即d1=1.4；
(3)根据条件作草图如下：
由于AB=2，则它们的中点M可能在以A为圆心，1为半径的圆周上，连接OM，与圆O的交点为M'，此时MM'即为d2；
点M在圆O外，根据圆外一点到圆周上的距离最近和最远点，均在两圆的连心线所在直线上，我们作直线OA，与圆A交于点M，与圆O交于点M'，如下图：
利用两点间距离公式先求出OA=5，第一种情况下d2=MM'=5-2=3；第二种情况下d2=MM'=OA=5，即3≤d2≤5.
解题反思
与2020年北京中考压轴题第25题相比，此题属于“高仿”题，连新定义的名称都一样，但细读之下，区别还是比较大，没有平行弦的“干扰”，仅仅只是点到圆周上某点的距离；
虽然难度低了不少，但新定义题型的基本要素一样也不缺，第1小题点A在x轴上，点B也在x轴上，即线段AB在特殊位置，在这个前提下，先求一次“平移距离”，完成对新定义的直接应用，然后给出“平移距离”，确定点B坐标，完成对新定义的初级应用；第2小题中，线段AB在直线y=4/3x+4上，考察点到直线的距离，完成对新定义的进阶应用；第3小题中，线段AB位置并不确定，同时“平移距离”是指某线段长度的最小值，最后求范围，则是在这些最小值中分别找到最大和最小的“平移距离”，完成对新定义的高阶应用；
难度层层递进，对数学概念的理解要求逐步加深，在平时的教学中，我们对学生脑子里数学概念的形成，是否也经历了上述过程？至此也真正理解了，为什么在北京国培听课时，老师们会花上甚至半节课的时间来剖析概念了，数学，真的就是在玩概念。
微信公众号：爱数学做数学